Normalerweise ist jeder zehnte Gallier mit seinem bei Obelix bestellten Hinkelstein unzufrieden, weil er beschädigt ist. Um dies zu überprüfen, befragt Obelix seine letzten 50 belieferten Gallier (und lässt sich natürlich zu einem Wildschwein einladen).
Die Zufallsgröße H beschreibt die Anzahl der beschädigten Hinkelsteine.
Wähle den korrekten Ansatz aus und berechne anschließend:
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind mehr als 2, aber weniger als 9 seiner Kunden unzufrieden?
Gefragt ist der Bereich ab der 3 und bis zur 8, denn die Grenzen sollen aufgrund der Formulierung "mehr als-weniger als" nicht mitbetrachtet werden.
Ermittle zunächst die Wahrscheinlichkeit für P(H≤8) und anschließend die für P(H≤2) und subtrahiere diese. Übrig bleiben genau die Werte P(3≤H≤8)=P(2<H<9)
Idefix ist inzwischen sicherer im Apportieren von Hinkelsteinen geworden und lässt nun beim Transport weniger Hinkelsteine fallen. Obelix vermutet deshalb, dass die Anzahl der unzufriedenen Kunden unter 10% gesunken ist. Er befragt erneut 50 Gallier.
Gib die Nullhypothese an, sowie eine Entscheidungsregel für den Fehler 1. Art bei einem Signifikanzniveau von 5%
Entscheide anschließend, ob bei 3 unzufriedenen Galliern Obelix das Prädikat "Mehr als 90% zufriedene Kunden" über seinen Steinbruch schreiben darf.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hypothesentest
Testgröße, Stichprobenlänge und Signifikanzniveau
H: Anzahl der Kunden, die unzufrieden mit den Hinkelsteinen sind
n=50 und α=5%
Hypothesen mit Trefferwahrscheinlichkeit
Die Nullhypothese wird so gewählt, dass das, was man selbst beweisen will, in der Gegenhypothese steht. Obelix will zeigen, dass die Anzahl der unzufrieden Kunden auf unter 10% gesunken ist. Die Nullhypothese ist daher das Gegenteil:
H0:p≥0,1, d.h. dass mindestens 10% der Kunden unzufrieden sind.
H1: p<0,1, d.h. dass weniger als 10% der Kunden unzufrieden sind.
Entscheidungsregel in Abhängigkeit von c
Die Nullhypothese gilt, wenn viele Kunden unzufrieden sind. Somit liegt der Annahmebereich rechts vom kritischen Wert und der Ablehnungsbereich links:
A={0;...;c} und A={c+1;...;50}
(Ablehnungsbereich links: linksseitiger Test)
Term zur "Berechnung" von α
α=5% beschreibt die höchstmögliche Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert im Ablehnungsbereich A (also X∈{0;...;c} oder X≤c) erreicht wird, obwohl die Nullhypothese H0 noch gilt. Also bleibt p=0,1 und n=50 und für α gilt:
Ppn(X≤c)≤α
P0,150(X≤c)≤0,05
kritischen Wert c bestimmen
Verwende eine tabellarische Übersicht, wie z.B. das Tafelwerk, um den letzten Wert c zu finden, bei dem die kumulierte WahrscheinlichkeitP(X≤c) noch unter 5% liegt:
Da P0,150(X≤1)=0,03379 und P0,150(X≤2)=0,11173 ist c=1
Entscheidungsregel und Antwort auf weiterführende Frage
Die finale Entscheidungsregel mit c=1 lautet:
A={0;1} und A={2;...;50}. Das bedeutet, dass er nur bei keinem oder einem unzufriedenen Kunden die bisher gültige Nullhypothese hätte verwerfen können und Idefix’ Leistung messbar gewesen wäre.
Zwar sind nach dem Testergebnis nur 3 von 50 Galliern unzufrieden, d.h. 503=0,06=6%, jedoch ist das Testergebnis nicht signifikant, da nach der Entscheidungsregel die Nullhypothese ab 2 unzufriedenen Kunden angenommen werden müsste, insbesondere also bei 3 unzufriedenen Kunden. Dementsprechend kann Obelix nicht ohne weitere Tests durchzuführen die Behauptung "mehr als 90% zufriedene Kunden" aufstellen.
