Aufgaben zu Hypothesentests

Es werden $n=50$ Gallier befragt und $p=0{,}1$, da jeder 10. unzufrieden ist und $H$ die Anzahl der unzufriedenen Kunden angibt.

Verwende zum Beispiel das Tafelwerk für die folgende Berechnung.

Mit 83% Wahrscheinlichkeit sind mehr als 2 und weniger als 9 Kunden unzufrieden.

Testgröße, Stichprobenlänge und Signifikanzniveau

$H:$ Anzahl der Kunden, die unzufrieden mit den Hinkelsteinen sind

$n=50$ und $\alpha=5\%$

Hypothesen mit Trefferwahrscheinlichkeit

Die Nullhypothese wird so gewählt, dass das, was man selbst beweisen will, in der Gegenhypothese steht. Obelix will zeigen, dass die Anzahl der unzufrieden Kunden auf unter 10% gesunken ist. Die Nullhypothese ist daher das Gegenteil:

$\mathrm{H_0}:p\ge0{,}1$, d.h. dass mindestens 10% der Kunden unzufrieden sind.

$H_1$: $p<0{,}1$, d.h. dass weniger als 10% der Kunden unzufrieden sind.

Entscheidungsregel in Abhängigkeit von c

Die Nullhypothese gilt, wenn viele Kunden unzufrieden sind. Somit liegt der Annahmebereich rechts vom kritischen Wert und der Ablehnungsbereich links:

$\overline{A}=\left\{0;...;c\right\}$ und $A=\left\{c+1;...;50\right\}$

(Ablehnungsbereich links: linksseitiger Test)

Term zur "Berechnung" von $\alpha$

$\alpha=5\%$ beschreibt die höchstmögliche Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert im Ablehnungsbereich $\overline{A}$ (also $X\in\left\{0;...;c\right\}$ oder $X\le c$) erreicht wird, obwohl die Nullhypothese $H_0$ noch gilt. Also bleibt $p=0{,}1$ und $n=50$ und für $\alpha$ gilt:

$P_p^n\left(X\le c\right)\le\alpha$

$P_{0{,}1}^{50}\left(X\le c\right)\le0{,}05$

kritischen Wert c bestimmen

Verwende eine tabellarische Übersicht, wie z.B. das Tafelwerk, um den letzten Wert c zu finden, bei dem die kumulierte Wahrscheinlichkeit $P\left(X\le c\right)$ noch unter 5% liegt:

Da $P_{0{,}1}^{50}\left(X\le1\right)=0{,}03379$ und $P_{0{,}1}^{50}\left(X\le2\right)=0{,}11173$ ist $c=1$

Entscheidungsregel und Antwort auf weiterführende Frage

Die finale Entscheidungsregel mit $c=1$ lautet:

$\overline{A}=\left\{0;1\right\}$ und $A=\left\{2;...;50\right\}$. Das bedeutet, dass er nur bei keinem oder einem unzufriedenen Kunden die bisher gültige Nullhypothese hätte verwerfen können und Idefix’ Leistung messbar gewesen wäre.

Zwar sind nach dem Testergebnis nur 3 von 50 Galliern unzufrieden, d.h. $\frac{3}{50}=0{,}06=6\%$, jedoch ist das Testergebnis nicht signifikant, da nach der Entscheidungsregel die Nullhypothese ab 2 unzufriedenen Kunden angenommen werden müsste, insbesondere also bei 3 unzufriedenen Kunden. Dementsprechend kann Obelix nicht ohne weitere Tests durchzuführen die Behauptung "mehr als 90% zufriedene Kunden" aufstellen.

Festlegen der Testgröße und des Stichprobenumfangs

Bestimmen der Entscheidungsregel

Somit lautet die Entscheidungsregel: Wenn mindestens $69$ der befragten Personen das Rauchverbot befürworten, wird die Vermutung abgelehnt.

Berechnen des Fehlers 2. Art

Die Nullhypothese wird mit einer Wahrscheinlichkeit von $36{,}7\,\%$ irrtümlich angenommen.

Berachte zunächst den Aufbau des Tests.

Formuliere dazu die Nullhypothese ${\mathrm H}_0$. (Was ist die Nullhypothese?)

Die Nullhypothese wird so gewählt, dass das, was man selbst beweisen will, in der Gegenhypothese steht. Das Pharmainstitut versucht natürlich zu beweisen, dass das Medikament gut ist.

Formuliere nun die Gegenhypothese ${\mathrm H}_1$.

Die Nullhypothese ist dann also das Gegenteil: ${\mathrm H}_0$: ${\mathrm p}\leq0{,}8$, was bedeutet, dass das Medikament mit einer geringeren Wahrscheinlichkeit als $0{,}8$ wirkt.

Die Gegenhypothese ist ${\mathrm H}_1$:  $\mathrm p>0{,}8$ , also dass das Medikament mit einer Wahrscheinlichkeit von über $80\ \%$ wirkt.

Formuliere den Fehler 1. Art als Gleichung. (Die Wahrscheinlichkeit, dass das Medikament bei 50 Personen bei einer Wirksamkeitswahrscheinlichkeit von $80\ \%$ bei mehr Personen wirkt, als die Entscheidungsregel k angibt, soll höchstens $5\ \%$ betragen)

Eine Übersicht über die Angaben findet sich in der folgenden Tabelle:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c}\;&\mathrm{für \;H_0}&\mathrm{für \;H_1 (gegen \;H_0})\\\;&0 \dots k & k+1 \dots 50 \\\hline H_0:p\leq0{,}8& \; & \mathrm{Fehler \;1.Art < 0{,}05}\\\hline H_1:p> 0{,}8 \; & \; & \\ \hline\end{array}$

Suche in den Tabellen den kleinsten Wert k-1 bei den kumulativen Wahrscheinlichkeitsverteilungen ($n=50$ $p=0{,}8$) für den der Wert gerade noch größer als $0{,}95$ ist.

Tabellenwerk liefert:

$\mathrm P_{0{,}8}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm 43)=0{,}89660$;

$\mathrm P_{0{,}8}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm 44)=0{,}95197$;

$\Rightarrow\mathrm k-1\;\geq\;44$

Formuliere die Entscheidungsregel anhand dieses Wertes.

Die Nullhypothese wird also bei $44$ oder weniger Treffern im Test, also Personen bei denen das Medikament wirkt, angenommen und bei $45$ oder mehr abgelehnt.

Im Test wirkte das Medikament bei $45$ Personen, das liegt im für das Pharmainstitut günstigen Ablehnungsbereich.

Das Ergebnis der Testreihe ist damit signifikant bewiesen.

Formuliere die Nullhypothese ${\mathrm H}_0$. (Was ist die Nullhypothese?)

Die Nullhypothese wird so gewählt, dass das was man selbst beweisen will in der Gegenhypothese steht. Hier wird versucht zu überprüfen, ob das Medikament nicht doch schlechter wirkt, als behauptet.

Die Nullhypothese ist ${\mathrm H}_0$: ${\mathrm p}\;\geq\;0{,}8$, also dass das Medikament mit 80% Wahrscheinlichkeit oder mehr wirkt.

Formuliere die Gegenhypothese ${\mathrm H}_1$.

Die Gegenhypothese ist ${\mathrm H}_1$: $\mathrm{p}<0{,}8$, also dass das Medikament mit einer geringeren Wahrscheinlichkeit als $80\ \%$ wirkt.

Formuliere den Fehler erster Art als Gleichung. (Die Wahrscheinlichkeit, dass das Medikament bei $50$ Personen bei einer Wirksamkeitswahrscheinlichkeit von $80\ \%$ bei weniger Personen wirkt, als die Entscheidungsregel k angibt, soll höchstens $5\ \%$ betragen)

Eine Übersicht über die Angaben findet sich in der folgenden Tabelle:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c}\;&\mathrm{für \;H_0}&\mathrm{für \;H_1 (gegen \;H_0})\\\;&k+1 \dots 50 & 0 \dots k \\\hline H_0:p\geq0{,}8& \; & \mathrm{Fehler \;1.Art < 0{,}05}\\\hline H_1:p<0{,}8 \; & \; & \\ \hline\end{array}$

Suche in den Tabellen den größten Wert k bei den kumulativen Wahrscheinlichkeitsverteilungen ($n=50$ $p=0{,}8$) für den der Wert gerade noch kleiner als $0{,}05$ ist.

Tabellenwerk liefert:

$\mathrm P_{0{,}8}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm 34)=0{,}03080$

$\mathrm P_{0{,}8}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm 35)=0{,}06072$;

$\Rightarrow\mathrm k\;\leq\;34$

Formuliere die Entscheidungsregel anhand dieses Wertes und damit die Lösung.

Die Nullhypothese wird bei $34$ oder weniger Patienten, bei denen das Medikament wirkt, abgelehnt und demnach bei $35$ oder mehr Patienten angenommen.

Betrachte zunächst den Aufbau des Tests.

Formuliere dazu die Nullhypothese ${\mathrm H}_0$. (Was ist die Nullhypothese?)

Die Nullhypothese wird so gewählt, dass das, was man selbst beweisen will, in der Gegenhypothese steht. Es wird vermutet, dass die Zustimmung zum Austritt aus der Atomenergie abgenommen hat.

Die Nullhypothese geht daher von einer Konstanz des Zustimmungsverhaltens aus: ${\mathrm H}_0$: ${\mathrm p}=0{,}8$.

Formuliere nun die Gegenhypothese ${\mathrm H}_1$.

Die Gegenhypothese ist ${\mathrm H}_1$:  $\mathrm p<0{,}8$ , d.h. weniger als $80\ \%$ stimmen dem Austritt aus der Atomenergie zu.

Als Übersicht über die Angaben, kann die folgende Tabelle benutzt werden.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c}\;&\mathrm{für \;H_0}&\mathrm{für \;H_1 (gegen \;H_0})\\\;&k+1 \dots 200 & 0 \dots k \\\hline H_0:p=0{,}8& \; & \mathrm{Fehler \;1.Art < 0{,}05}\\\hline H_1:p<0{,}8 \; & \; & \\ \hline\end{array}$

Formuliere den Fehler erster Art als Gleichung. (Wir nehmen an, dass sich $80\ \%$ der Befragten für einen Ausstieg aus der Atomenergie aussprechen. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich von 200 Personen weniger für einen Ausstieg aussprechen als die Entscheidungsregel k angibt, soll höchstens $5\ \%$ betragen.)

$\mathrm P_{0{,}8}^{200}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm k)\;\leq\;0{,}05$

Suche in den Tabellen den größten Wert $k$ bei den kumulativen Wahrscheinlichkeitsverteilungen ($n=200;\ p=0{,}8$) für den der Wert gerade noch kleiner als $0{,}05$ ist.

Tabellenwerk liefert:

$\mathrm P_{0{,}8}^{200}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm 150)=0{,}04935$;

$\mathrm P_{0{,}8}^{200}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm 151)=0{,}06903$;

$\Rightarrow\mathrm k\;\leq\;150$

Formuliere die Entscheidungsregel anhand dieses Wertes und damit die Lösung.

Es dürfen also höchstens 150 Personen für einen Ausstieg stimmen, damit die Nullhypothese verworfen wird und sie wird angenommen, falls 151 oder mehr Personen zustimmen.

Nach der Annahme liegt die Zustimmung zur Atomkraft unter den Deutschen bei $25\ \%$ und der Rest, also $75\ \%$ der Deutschen sprechen sich für einen schnellen Ausstieg aus der Atomenergie aus. Sei X die Anzahl der befragten Personen, die sich für einen schnellen Ausstieg aus der Atomenergie aussprechen. Dann ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit als:

Unter den gegebenen Angaben ist die Wahrscheinlichkeit also nur $4\ \%$ hoch, dass sich mehr als 160 Personen für einen schnellen Ausstieg aus der Atomenergie aussprechen.

In dieser Aufgabe setzt du dich mit dem statistischen Hypothesentest und den dabei auftretenden Fehlern 1. und 2. Art auseinander.

Teilaufgabe 1

Stelle die Testparameter auf. Lies dazu zuerst die nötigen Werte aus dem Text.

Du verwendest den Binomialtest mit $n = 200$ und $p = 0{,}3$. Die Wahl von $p$ wird klarer, wenn du die Null-Hypothese formuliert hast.

Null-Hypothese $H_0$:

Die Null-Hypothese ist die Aussage, die widerlegt werden soll.

$H_0$ ist also: Der Gewinn hat Wahrscheinlichkeit $30\,\%$. $\Rightarrow p = 0{,}3$

Gegenhypothese $H_1$:

Die Gegenhypothese ist die Aussage, die gezeigt werden soll.

$H_1$ ist also: Der Gewinn hat nicht Wahrscheinlichkeit 30 %. $\Rightarrow p\ne 0{,}3$

Es handelt sich um einen zweiseitigen Test. Fehler 1. Art:

Das ist die Wahrscheinlichkeit für unerwartet viele bzw. wenige Gewinne, obwohl die Gewinnchance unverändert $30\,\%$ ist.

Stelle die Formel auf und setze sie kleiner dem Signifikanzniveau von $10\,\%$.

In einem zweiseitigen Test teilt sich die Formel auf:

i) $P^{200}_{0{,}3}(X\le k_1)\le \frac{\alpha}{2}=0{,}05$

ii) $P^{200}_{0{,}3}(X \ge k_2)\le \frac{\alpha}{2}=0{,}05$

$\Leftrightarrow 1 - P^{200}_{0{,}3}(X< k_2)\le 0{,}05$$\Leftrightarrow 1-0{,}05 \le P^{200}_{0{,}3}(X< k_2)$$\Leftrightarrow 0{,}95 \le P^{200}_{0{,}3}(X \le k_2-1)$

Suche im Tafelwerk jeweils die kleinsten $k_1, k_2$, die diese Bedingungen noch erfüllen.

$\Rightarrow k_1=48,k_2-1=71 \Rightarrow k_2=72$

Die Entscheidungsregel besteht also aus: Annahmebereich $A=\{49,…,71\}$ und

Ablehnungsbereich $\bar A=\{0{,}1,…,48{,}72{,}73,…,200\}$.

Bestimme den Fehler 1. Art mit den exakten Werten.

$P^{200}_{0{,}3}(X\le 48)+P^{200}_{0{,}3}(X\ge 72)$

$=0{,}03595+(1-P^{200}_{0{,}3}(X< 72))$

$=0{,}03595+1-P^{200}_{0{,}3}(X\le 71)$

$=1{,}03595-0{,}96037=0{,}07558\approx 7{,}6\,\%$

Der Fehler 1. Art tritt mit Wahrscheinlichkeit $7{,}6\,\%$ ein.

Teilaufgabe 2

Durch die Angabe einer zweiten Wahrscheinlichkeit handelt es sich nun um einen Alternativtest. Hier berechnet sich der Fehler 2. Art genau wie der 1. Art, bloß für die andere Hypothese.

Bestimme also die Wahrscheinlichkeit, dass für $X\in A$ genau $X$ viele Gewinne verteilt werden, obwohl sich die Trefferwahrscheinlichkeit auf $0{,}2$ reduziert hat.

$P_{0{,}2}^{200}(X\in A)=P_{0{,}2}^{200}(X\le71)-P_{0{,}2}^{200}(X\le48)$

Da $X$ zwischen $49$ und $71$ liegen muss.

Lies die Werte aus dem Tafelwerk ab.

$P_{0{,}2}^{200}(X\in A)=1-0{,}93097=0{,}06903\approx 7\,\%$

Die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler 2. Art zu begehen, liegt also bei $7\,\%$.