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Aufgaben zu Hypothesentests

Wie gut kennst du dich aus? Mit diesen Aufgaben kannst du dein Wissen zu Hypothesentests vertiefen.

  1. 1

    Ein Politiker fĂ€llt wiederholt durch negative Äußerungen auf. WĂ€hrend er bei der letzten Wahl in Umfragen noch 30%30\% Zuspruch erhalten hat, geht das Wahlkampfteam mittlerweile davon aus, dass dieser Wert gesunken ist (Gegenhypothese). In einer Stichprobe werden 200 Personen gefragt, wie ihre Meinung zum Politiker ist. 45 Personen geben weiterhin Zuspruch fĂŒr den Politiker.

    Stelle eine Entscheidungsregel auf einem Signifikanzniveau von 5%5\% auf und entscheide anschließend, ob sich die Nullhypothese mit dieser Stichprobe und Entscheidungsregel noch halten lĂ€sst.

  2. 2

    Eine Fernsehserie hatte im letzten Jahr eine mittlere Einschaltquote von 10%. Das Management des Senders vermutet, dass die Beliebtheit der Serie im letzten Quartal des Vorjahres sogar etwas zugenommen hat.

    Weitere Serien sollen dazugekauft werden, wenn die Beliebtheit der Sendung tatsÀchlich zugenommen hat. Dazu sollen 200 Personen mittels einer Telefonaktion befragt werden.

    Man ist sich auch der ZufÀlligkeit von Stichprobenergebnissen bewusst und gibt sich mit einer Sicherheit von mindestens 95% des Befragungsergebnisses zufrieden.

    Bestimme den Annahme- und Ablehnungsbereich, sowie den tatsÀchlichen Fehler 1.Art.

  3. 3

    Normalerweise ist jeder zehnte Gallier mit seinem bei Obelix bestellten Hinkelstein unzufrieden, weil er beschĂ€digt ist. Um dies zu ĂŒberprĂŒfen, befragt Obelix seine letzten 50 belieferten Gallier (und lĂ€sst sich natĂŒrlich zu einem Wildschwein einladen).

    Die ZufallsgrĂ¶ĂŸe HH beschreibt die Anzahl der beschĂ€digten Hinkelsteine.

    1. WĂ€hle den korrekten Ansatz aus und berechne anschließend:

      Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind mehr als 2, aber weniger als 9 seiner Kunden unzufrieden?

      P(2<H<9)P\left(2<H<9\right)

    2. Idefix ist inzwischen sicherer im Apportieren von Hinkelsteinen geworden und lÀsst nun beim Transport weniger Hinkelsteine fallen. Obelix vermutet deshalb, dass die Anzahl der unzufriedenen Kunden unter 10% gesunken ist. Er befragt erneut 50 Gallier.

      Gib die Nullhypothese an, sowie eine Entscheidungsregel fĂŒr den Fehler 1. Art bei einem Signifikanzniveau von 5%

      Entscheide anschließend, ob bei 3 unzufriedenen Galliern Obelix das PrĂ€dikat "Mehr als 90% zufriedene Kunden" ĂŒber seinen Steinbruch schreiben darf.

  4. 4

    In einer Kleinstadt gibt es 2 Grundschulen. Der Schulleiter der Bismarckschule bestreitet, dass im kommenden Schuljahr wieder nur 35% aller Einschulungen an seine Schule kommen. Man habe die Schule schließlich durch viele Zusatzangebote attraktiver gemacht.

    Eine Meinungsumfrage mit 200 Eltern soll zeigen, dass die Beliebtheit der Schule gestiegen ist.

    Bestimme den Annahme- und Ablehnungsbereich, sowie den tatsÀchlichen Fehler 1. Art. Skizziere grob die Verteilungsfunktion und kennzeichne die markanten Stellen.

    Das Signifikanzniveau sei höchstens 5%.

  5. 5

    Es wird vermutet, dass der Anteil der BefĂŒrworter des Rauchverbots an Bushaltestellen und Bahnhöfen in der Bevölkerung gegenwĂ€rtig bei höchstens 60%60 \% liegt. Um diese Vermutung zu testen, wird eine Befragung von 100100 zufĂ€llig ausgewĂ€hlten Personen durchgefĂŒhrt.

    1. Wie muss die Entscheidungsregel mit einem möglichst großen Ablehnungsbereich lauten, wenn die Vermutung mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 5%5\% irrtĂŒmlich abgelehnt werden soll?

    2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird bei dieser Entscheidungsregel die Vermutung angenommen, obwohl der Anteil der Rauchverbot-BefĂŒrworter tatsĂ€chlich 70%70\% betrĂ€gt?

  6. 6

    Ein Pharmainstitut behauptet, ein bestimmtes Medikament wirke mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80 %80\ \%. Daraufhin wird das Medikament an 5050 Personen verabreicht.

    1. In der ersten Testreihe zeigt das Mittel bei 4545 der 5050 Personen Wirkung. Ist damit die Behauptung des Pharmainstituts auf dem Signifikanzniveau von 5 %5\ \% bewiesen?

    2. Einige Zeit, nachdem das neue Medikament zugelassen ist, bekommt der angesehene Medizinprofessor Dr. Zweifel den Verdacht, das Pharmainstitut habe die Studie gefĂ€lscht und das Mittel wirke doch nicht so gut wie behauptet. Er lĂ€sst daraufhin erneut einen Test an 5050 Personen durchfĂŒhren. Formuliere fĂŒr Professor Zweifels Test Nullhypothese und Gegenhypothese. Wie muss seine Entscheidungsregel lauten, wenn er seine Vermutung auf dem Signifikanzniveau von 5 %5\ \% belegen will?

  7. 7

    Nach einer Umfrage eines renommierten Umfrageinstitutes stimmten im Januar 80 %80\ \% der Deutschen fĂŒr einen schnellen Ausstieg aus der Atomenergie. Aufgrund des steigenden Strompreises mehrten sich Stimmen, die gern bei der Atomenergie bleiben wĂŒrden, um die Preise niedrig zu halten. Um zu ĂŒberprĂŒfen, ob sich die öffentliche Meinung geĂ€ndert hat, wird eine zweite, reprĂ€sentative Umfrage mit 200 Personen durchgefĂŒhrt.

    1. Wie viele BĂŒrger dĂŒrfen nun höchstens fĂŒr einen Ausstieg stimmen, damit die Ergebnisse der ersten Studie auf einem Signifikanzniveau von 5 %5\ \% verworfen werden können?

    2. Angenommen, die aktuelle Zustimmung der Deutschen zur Atomkraft lĂ€ge bei 25 %25\ \% und der Rest spricht sich fĂŒr einen schnellen Atomausstieg aus. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stimmen dennoch mehr als 160 Leute fĂŒr einen schnellen Atomausstieg?

  8. 8

    Der Hersteller eines GlĂŒcksspielautomaten behauptet, dass die Wahrscheinlichkeit fĂŒr eine bestimmte Gewinnkombination p=0,3p=0{,}3 betrĂ€gt. In 200 Spielstunden soll diese Angabe ĂŒberprĂŒft werden.

    1. Gib die Entscheidungsregel fĂŒr das Signifikanzniveau α≀10 %\mathrm\alpha\leq10\,\% an und berechne den Fehler 1. Art. Skizziere grob die Verteilungsfunktion und markiere die markanten Werte.

    2. Bestimme die Wahrscheinlichkeit fĂŒr den Fehler 2. Art, falls die tatsĂ€chliche Wahrscheinlichkeit dieser Gewinnkombination nur p=0,2p=0{,}2 betrĂ€gt. Skizziere grob die Verteilungsfunktion und markiere die markanten Werte.


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