Die Geradengleichung durch die zwei Punkte $AA$ und $BB$ lautet:

$g:\vec{X}=\vec{A}+r\cdot \overrightarrow{AB}g:\backslash ;\backslash vec\; X=\backslash vec\; A+r\backslash cdot\backslash overrightarrow\{AB\}$

Der Vektor $\overrightarrow{AB}\backslash overrightarrow\{AB\}$ wird berechnet:

Der Richtungsvektor der Geraden $gg$ ist der Vektor $\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}10\\ -5\\ 15\end{array}\right)\backslash overrightarrow\{AB\}=\backslash begin\{pmatrix\}10\backslash \backslash -5\backslash \backslash 15\backslash end\{pmatrix\}$.

Wird der Vektor $\overrightarrow{AB}\backslash overrightarrow\{AB\}$ mit dem Faktor $55$ verkürzt, so ist der neue Richtungsvektor der Vektor $\vec{u}\backslash vec\{u\}$ mit $\vec{u}=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 3\end{array}\right)\backslash vec\; u=\backslash begin\{pmatrix\}2\backslash \backslash -1\backslash \backslash 3\backslash end\{pmatrix\}$. Somit erhältst du für die Geradengleichung $gg$:

Mit dem unter a) berechneten Vektor $\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}10\\ -5\\ 15\end{array}\right)\backslash overrightarrow\{AB\}=\backslash begin\{pmatrix\}10\backslash \backslash -5\backslash \backslash 15\backslash end\{pmatrix\}$ erhält man dann:

Der Punkt $Q({\displaystyle \frac{32}{3}}\mid {\displaystyle \frac{14}{3}}\mid 1)Q\backslash left(\backslash dfrac\{32\}\{3\}\backslash Big|\backslash dfrac\{14\}\{3\}\backslash Big|1\backslash right)$ teilt die Strecke $[AB][AB]$ so, dass gilt: $\overline{AQ}=2\cdot \overline{QB}\backslash overline\{AQ\}=2\backslash cdot\; \backslash overline\{QB\}$.

Bei zwei zueinander senkrechten Geraden ist das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren gleich null.

Der Richtungsvektor der Geraden $gg$ ist $\vec{u}=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 3\end{array}\right)\backslash vec\; u=\backslash begin\{pmatrix\}2\backslash \backslash -1\backslash \backslash 3\backslash end\{pmatrix\}$.

Für den Richtungsvektor $\vec{v}\backslash vec\; v$ der Geraden $hh$ muss dann gelten:

$\vec{u}\circ \vec{v}=0\Rightarrow \left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 3\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)=0\backslash vec\; u\backslash circ\backslash vec\; v=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash begin\{pmatrix\}2\backslash \backslash -1\backslash \backslash 3\backslash end\{pmatrix\}\backslash circ\backslash begin\{pmatrix\}v\_1\backslash \backslash v\_2\backslash \backslash v\_3\backslash end\{pmatrix\}=0$

Z.B. erfüllt der Vektor $\vec{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\end{array}\right)\backslash vec\; v=\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 2\backslash \backslash 0\backslash end\{pmatrix\}$die geforderte Bedingung, denn:

$\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 3\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\end{array}\right)=2\cdot 1+(-1)\cdot 2+3\cdot 0=2-2=0\backslash begin\{pmatrix\}2\backslash \backslash -1\backslash \backslash 3\backslash end\{pmatrix\}\backslash circ\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 2\backslash \backslash 0\backslash end\{pmatrix\}=2\backslash cdot\; 1+(-1)\backslash cdot\; 2+3\backslash cdot\; 0=2-2=0$

Die Gerade $hh$ hat dann folgende Gleichung:

$h:\vec{X}=\vec{Q}+r\cdot \vec{v}=\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{32}{3}}\\ {\displaystyle \frac{14}{3}}\\ 1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\end{array}\right)h:\backslash ;\backslash vec\; X=\backslash vec\; Q+r\backslash cdot\backslash vec\; v=\backslash begin\{pmatrix\}\backslash dfrac\{32\}\{3\}\backslash \backslash [2ex]\backslash dfrac\{14\}\{3\}\backslash \backslash [2ex]1\backslash end\{pmatrix\}+r\backslash cdot\; \backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 2\backslash \backslash 0\backslash end\{pmatrix\}$