Die Geradengleichung durch die zwei Punkte $A$ und $B$ lautet:

$g:\;\vec X=\vec A+r\cdot\overrightarrow{AB}$

Der Vektor $\overrightarrow{AB}$ wird berechnet:

Der Richtungsvektor der Geraden $g$ ist der Vektor $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}10\\-5\\15\end{pmatrix}$.

Wird der Vektor $\overrightarrow{AB}$ mit dem Faktor $5$ verkürzt, so ist der neue Richtungsvektor der Vektor $\vec{u}$ mit $\vec u=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$. Somit erhältst du für die Geradengleichung $g$:

Mit dem unter a) berechneten Vektor $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}10\\-5\\15\end{pmatrix}$ erhält man dann:

Der Punkt $Q\left(\dfrac{32}{3}\Big|\dfrac{14}{3}\Big|1\right)$ teilt die Strecke $[AB]$ so, dass gilt: $\overline{AQ}=2\cdot \overline{QB}$.

Bei zwei zueinander senkrechten Geraden ist das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren gleich null.

Der Richtungsvektor der Geraden $g$ ist $\vec u=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$.

Für den Richtungsvektor $\vec v$ der Geraden $h$ muss dann gelten:

$\vec u\circ\vec v=0\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}=0$

Z.B. erfüllt der Vektor $\vec v=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$die geforderte Bedingung, denn:

$\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}=2\cdot 1+(-1)\cdot 2+3\cdot 0=2-2=0$

Die Gerade $h$ hat dann folgende Gleichung:

$h:\;\vec X=\vec Q+r\cdot\vec v=\begin{pmatrix}\dfrac{32}{3}\\[2ex]\dfrac{14}{3}\\[2ex]1\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$