Aufgaben zu Geradengleichungen im Raum

Verwende den Punkt P als Aufpunkt und den gegebenen Vektor als Richtungsvektor der Parameterform.

$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}8\\1\\-5\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-5\\2\\3\end{pmatrix}$

Verwende den Punkt P als Aufpunkt und den gegebenen Vektor als Richtungsvektor der Parameterform.

$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}5{,}4\\1{,}3\\-9{,}2\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}3\\-7\\4\end{pmatrix}$

Verwende den Punkt P als Aufpunkt und den Richtungsvektor der parallelen Geraden als Richtungsvektor der Parameterform.

$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}$

Verwende den Punkt P als Aufpunkt und den gegebenen Richtungsvektor der parallelen Geraden als Richtungsvektor der Parameterform.

$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}\textstyle\frac23\\[1ex]-\textstyle\frac12\\[1ex]3\textstyle\frac13\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}\textstyle\frac12\\[1ex]1\textstyle\frac23\\[1ex]-2\textstyle\frac14\end{pmatrix}$

$\mathrm A(3|-2|1)$  und  $\mathrm B(0|1|-2)$

Berechne den Verbindungsvektor von $A$ und $B$ für den Richtungsvektor der Geraden

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\-2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\3\\-3\end{pmatrix}$

Verwende einen der beiden Punkte als Aufpunkt. Zum Beispiel $A$.

$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}3\\-2\\1\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-3\\3\\-3\end{pmatrix}$

$\mathrm A(2|3|-2)$  und  $\mathrm B(5|3|0)$

Berechne den Verbindungsvektor von $A$ und $B$ für den Richtungsvektor der Geraden

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}5\\3\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\3\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}$

Verwende einen der beiden Punkte als Aufpunkt. Zum Beispiel $A$.

$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\3\\-2\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}$

$\mathrm A(0|5|1)$  und  $\mathrm B(-1|2|6)$

Berechne den Verbindungsvektor von $A$ und $B$ für den Richtungsvektor der Geraden

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-1\\2\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\5\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-3\\5\end{pmatrix}$

Verwende einen der beiden Punkte als Aufpunkt. Zum Beispiel $A$.

$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\5\\1\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\-3\\5\end{pmatrix}$

$\mathrm A(-2|6|1)$  und  $\mathrm B(3|-2|4)$

Berechne den Verbindungsvektor von $A$ und $B$ für den Richtungsvektor der Geraden

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}3\\-2\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\6\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-8\\3\end{pmatrix}$

Verwende einen der beiden Punkte als Aufpunkt. Zum Beispiel $A$.

$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-2\\6\\1\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}5\\-8\\3\end{pmatrix}$

$\mathrm A(-7|2|3)$  und  $\mathrm B(0|0|0)$

Berechne den Verbindungsvektor von $A$ und $B$ für den Richtungsvektor der Geraden

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-7\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\-2\\-3\end{pmatrix}$

Verwende einen der beiden Punkte als Aufpunkt. Zum Beispiel $A$.

$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-7\\2\\3\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}7\\-2\\-3\end{pmatrix}$

Die Geradengleichung durch die zwei Punkte $A$ und $B$ lautet:

$g:\;\vec X=\vec A+r\cdot\overrightarrow{AB}$

Der Vektor $\overrightarrow{AB}$ wird berechnet:

Der Richtungsvektor der Geraden $g$ ist der Vektor $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}10\\-5\\15\end{pmatrix}$.

Wird der Vektor $\overrightarrow{AB}$ mit dem Faktor $5$ verkürzt, so ist der neue Richtungsvektor der Vektor $\vec{u}$ mit $\vec u=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$. Somit erhältst du für die Geradengleichung $g$:

Mit dem unter a) berechneten Vektor $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}10\\-5\\15\end{pmatrix}$ erhält man dann:

Der Punkt $Q\left(\dfrac{32}{3}\Big|\dfrac{14}{3}\Big|1\right)$ teilt die Strecke $[AB]$ so, dass gilt: $\overline{AQ}=2\cdot \overline{QB}$.

Bei zwei zueinander senkrechten Geraden ist das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren gleich null.

Der Richtungsvektor der Geraden $g$ ist $\vec u=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$.

Für den Richtungsvektor $\vec v$ der Geraden $h$ muss dann gelten:

$\vec u\circ\vec v=0\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}=0$

Z.B. erfüllt der Vektor $\vec v=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$die geforderte Bedingung, denn:

$\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}=2\cdot 1+(-1)\cdot 2+3\cdot 0=2-2=0$

Die Gerade $h$ hat dann folgende Gleichung:

$h:\;\vec X=\vec Q+r\cdot\vec v=\begin{pmatrix}\dfrac{32}{3}\\[2ex]\dfrac{14}{3}\\[2ex]1\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$