Aufgaben zu Geradengleichungen im Raum

1

Bestimme eine Gleichung der Geraden in Parameterform anhand eines Punktes und eines Richtungsvektors.

Die Gerade läuft durch Punkt $\mathrm P=(8\vert1\vert-5)$ in Richtung des Vektors $\begin{pmatrix}-5\\2\\3\end{pmatrix}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Verwende den Punkt P als Aufpunkt und den gegebenen Vektor als Richtungsvektor der Parameterform.
$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}8\\1\\-5\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-5\\2\\3\end{pmatrix}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
Die Gerade läuft durch Punkt $\mathrm{P}=(5{,}4|1{,}3|-9{,}2)$ in Richtung des Vektors $\begin{pmatrix}3\\-7\\4\end{pmatrix}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Verwende den Punkt P als Aufpunkt und den gegebenen Vektor als Richtungsvektor der Parameterform.
$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}5{,}4\\1{,}3\\-9{,}2\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}3\\-7\\4\end{pmatrix}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
Die Gerade läuft durch Punkt $\mathrm P=(2\vert-1\vert3)$ und parallel zur Geraden mit der Gleichung $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Verwende den Punkt P als Aufpunkt und den Richtungsvektor der parallelen Geraden als Richtungsvektor der Parameterform.
$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
Die Gerade läuft durch Punkt $\mathrm P=\left({\textstyle\frac23}\vert-{\textstyle\frac12}\vert3\textstyle\frac13\right)$ und parallel zur Geraden mit der Gleichung $\mathrm k:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}\textstyle\frac12\\[1ex]1\textstyle\frac23\\[1ex]-2\textstyle\frac14\end{pmatrix}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Verwende den Punkt P als Aufpunkt und den gegebenen Richtungsvektor der parallelen Geraden als Richtungsvektor der Parameterform.
$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}\textstyle\frac23\\[1ex]-\textstyle\frac12\\[1ex]3\textstyle\frac13\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}\textstyle\frac12\\[1ex]1\textstyle\frac23\\[1ex]-2\textstyle\frac14\end{pmatrix}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉

2

Bestimme eine Gleichung der Geraden in Parameterform anhand zweier Punkte.

Die Gerade verläuft durch die Punkte $\mathrm A=(3\vert-2\vert1)$ und $\mathrm B=(0\vert1\vert-2)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
$\mathrm A(3|-2|1)$ und $\mathrm B(0|1|-2)$
Berechne den Verbindungsvektor von $A$ und $B$ für den Richtungsvektor der Geraden
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\-2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\3\\-3\end{pmatrix}$
Verwende einen der beiden Punkte als Aufpunkt. Zum Beispiel $A$ .
$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}3\\-2\\1\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-3\\3\\-3\end{pmatrix}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
Die Gerade verläuft durch die Punkte $\mathrm A=(2\vert3\vert-2)$ und $\mathrm B=(5\vert3\vert0)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
$\mathrm A(2|3|-2)$ und $\mathrm B(5|3|0)$
Berechne den Verbindungsvektor von $A$ und $B$ für den Richtungsvektor der Geraden
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}5\\3\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\3\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}$
Verwende einen der beiden Punkte als Aufpunkt. Zum Beispiel $A$ .
$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\3\\-2\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
Die Gerade verläuft durch die Punkte $\mathrm A=(0\vert5\vert1)$ und $\mathrm B=(-1\vert2\vert6)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
$\mathrm A(0|5|1)$ und $\mathrm B(-1|2|6)$
Berechne den Verbindungsvektor von $A$ und $B$ für den Richtungsvektor der Geraden
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-1\\2\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\5\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-3\\5\end{pmatrix}$
Verwende einen der beiden Punkte als Aufpunkt. Zum Beispiel $A$ .
$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\5\\1\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\-3\\5\end{pmatrix}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
Die Gerade verläuft durch die Punkte $\mathrm A=(-2\vert6\vert1)$ und $\mathrm B=(3\vert-2\vert4)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
$\mathrm A(-2|6|1)$ und $\mathrm B(3|-2|4)$
Berechne den Verbindungsvektor von $A$ und $B$ für den Richtungsvektor der Geraden
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}3\\-2\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\6\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-8\\3\end{pmatrix}$
Verwende einen der beiden Punkte als Aufpunkt. Zum Beispiel $A$ .
$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-2\\6\\1\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}5\\-8\\3\end{pmatrix}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
Die Gerade verläuft durch die Punkte $\mathrm A=(-7\vert2\vert3)$ und $\mathrm B=(0\vert0\vert0)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
$\mathrm A(-7|2|3)$ und $\mathrm B(0|0|0)$
Berechne den Verbindungsvektor von $A$ und $B$ für den Richtungsvektor der Geraden
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-7\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\-2\\-3\end{pmatrix}$
Verwende einen der beiden Punkte als Aufpunkt. Zum Beispiel $A$ .
$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-7\\2\\3\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}7\\-2\\-3\end{pmatrix}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉

3

Gegeben sind die Punkte $A (4 ∣ 8 ∣ - 9)$ und $B (14 ∣ 3 ∣ 6)$ .

Wie lautet die Gleichung der Geraden $g$ durch $A$ und $B$ ?

Welcher Punkt $Q$ teilt die Strecke $[A B]$ so, dass gilt: $\overline{AQ}=2\cdot \overline{QB}$ ?

Wie lautet die Gleichung einer Geraden $h$ durch den Punkt $Q$ , die senkrecht zu $g$ ist?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zwei zueinander senkrechte Geraden
Bei zwei zueinander senkrechten Geraden ist das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren gleich null.
Der Richtungsvektor der Geraden $g$ ist $\vec u=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$ .
Für den Richtungsvektor $\vec v$ der Geraden $h$ muss dann gelten:
$\vec u\circ\vec v=0\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}=0$
Z.B. erfüllt der Vektor $\vec v=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$ die geforderte Bedingung, denn:
$\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}=2\cdot 1+(-1)\cdot 2+3\cdot 0=2-2=0$
Die Gerade $h$ hat dann folgende Gleichung:
$h:\;\vec X=\vec Q+r\cdot\vec v=\begin{pmatrix}\dfrac{32}{3}\\[2ex]\dfrac{14}{3}\\[2ex]1\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉

$\displaystyle \overrightarrow{AB}$	$=$	$\displaystyle \vec B-\vec A$
	↓	Setze ein.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}14\\3\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\8\\-9\end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}10\\-5\\15\end{pmatrix}$

$\displaystyle \vec Q$	$=$	$\displaystyle \vec A+\dfrac{2}{3}\cdot\overrightarrow{AB}$
	↓	Setze die bekannten Vektoren ein.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}4\\8\\-9\end{pmatrix}+\dfrac{2}{3}\cdot\begin{pmatrix}10\\-5\\15\end{pmatrix}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}4+\dfrac{20}{3}\\[2ex]8-\dfrac{10}{3}\\[2ex]-9+\dfrac{30}{3}\end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}\dfrac{32}{3}\\[2ex]\dfrac{14}{3}\\[2ex]1\end{pmatrix}$

Aufgaben zu Geradengleichungen im Raum

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?