Aufgaben zu Geradengleichungen im Raum

Mit diesen Übungsaufgaben lernst du, Geradengleichungen anhand verschiedener Angaben im Raum aufzustellen.

1
Bestimme eine Gleichung der Geraden in Parameterform anhand eines Punktes und eines Richtungsvektors.
1. Die Gerade läuft durch Punkt $P = (8 | 1 | - 5)$ in Richtung des Vektors $(\begin{array}{c} - 5 \\ 2 \\ 3 \end{array})$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Verwende den Punkt P als Aufpunkt und den gegebenen Vektor als Richtungsvektor der Parameterform.
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 8 \\ 1 \\ - 5 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 5 \\ 2 \\ 3 \end{array})$
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2. Die Gerade läuft durch Punkt $P = (5,4 | 1,3 | - 9,2)$ in Richtung des Vektors $(\begin{array}{c} 3 \\ - 7 \\ 4 \end{array})$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Verwende den Punkt P als Aufpunkt und den gegebenen Vektor als Richtungsvektor der Parameterform.
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 5,4 \\ 1,3 \\ - 9,2 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 7 \\ 4 \end{array})$
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3. Die Gerade läuft durch Punkt $P = (2 | - 1 | 3)$ und parallel zur Geraden mit der Gleichung $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 2 \end{array})$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Verwende den Punkt P als Aufpunkt und den Richtungsvektor der parallelen Geraden als Richtungsvektor der Parameterform.
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 2 \end{array})$
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4. Die Gerade läuft durch Punkt $P = (\frac{2}{3} | - \frac{1}{2} | 3 \frac{1}{3})$ und parallel zur Geraden mit der Gleichung $k : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \frac{2}{3} \\ - 2 \frac{1}{4} \end{array})$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Verwende den Punkt P als Aufpunkt und den gegebenen Richtungsvektor der parallelen Geraden als Richtungsvektor der Parameterform.
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{2} \\ 3 \frac{1}{3} \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \frac{2}{3} \\ - 2 \frac{1}{4} \end{array})$
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2
Bestimme eine Gleichung der Geraden in Parameterform anhand zweier Punkte.
1. Die Gerade verläuft durch die Punkte $A = (3 | - 2 | 1)$ und $B = (0 | 1 | - 2)$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  $A (3 | - 2 | 1)$ und $B (0 | 1 | - 2)$
  Berechne den Verbindungsvektor von $A$ und $B$ für den Richtungsvektor der Geraden
  $\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ 3 \\ - 3 \end{array})$
  Verwende einen der beiden Punkte als Aufpunkt. Zum Beispiel $A$ .
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 3 \\ - 3 \end{array})$
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2. Die Gerade verläuft durch die Punkte $A = (2 | 3 | - 2)$ und $B = (5 | 3 | 0)$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  $A (2 | 3 | - 2)$ und $B (5 | 3 | 0)$
  Berechne den Verbindungsvektor von $A$ und $B$ für den Richtungsvektor der Geraden
  $\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 5 \\ 3 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 2 \end{array})$
  Verwende einen der beiden Punkte als Aufpunkt. Zum Beispiel $A$ .
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ - 2 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 2 \end{array})$
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3. Die Gerade verläuft durch die Punkte $A = (0 | 5 | 1)$ und $B = (- 1 | 2 | 6)$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  $A (0 | 5 | 1)$ und $B (- 1 | 2 | 6)$
  Berechne den Verbindungsvektor von $A$ und $B$ für den Richtungsvektor der Geraden
  $\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 6 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ - 3 \\ 5 \end{array})$
  Verwende einen der beiden Punkte als Aufpunkt. Zum Beispiel $A$ .
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 1 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ - 3 \\ 5 \end{array})$
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4. Die Gerade verläuft durch die Punkte $A = (- 2 | 6 | 1)$ und $B = (3 | - 2 | 4)$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  $A (- 2 | 6 | 1)$ und $B (3 | - 2 | 4)$
  Berechne den Verbindungsvektor von $A$ und $B$ für den Richtungsvektor der Geraden
  $\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \\ 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 2 \\ 6 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 5 \\ - 8 \\ 3 \end{array})$
  Verwende einen der beiden Punkte als Aufpunkt. Zum Beispiel $A$ .
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 6 \\ 1 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 5 \\ - 8 \\ 3 \end{array})$
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5. Die Gerade verläuft durch die Punkte $A = (- 7 | 2 | 3)$ und $B = (0 | 0 | 0)$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  $A (- 7 | 2 | 3)$ und $B (0 | 0 | 0)$
  Berechne den Verbindungsvektor von $A$ und $B$ für den Richtungsvektor der Geraden
  $\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 7 \\ 2 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 7 \\ - 2 \\ - 3 \end{array})$
  Verwende einen der beiden Punkte als Aufpunkt. Zum Beispiel $A$ .
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 7 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 7 \\ - 2 \\ - 3 \end{array})$
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3
Gegeben sind die Punkte $A (4 | 8 | - 9)$ und $B (14 | 3 | 6)$ .
1. Wie lautet die Gleichung der Geraden $g$ durch $A$ und $B$ ?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Die Geradengleichung durch die zwei Punkte $A$ und $B$ lautet:
  $g : \vec{X} = \vec{A} + r \cdot \vec{A B}$
  Der Vektor $\vec{A B}$ wird berechnet:
  $\vec{A B}$ $=$ $\vec{B} - \vec{A}$
  ↓
  Setze ein.
  $=$ $(\begin{array}{c} 14 \\ 3 \\ 6 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 8 \\ - 9 \end{array})$
  $=$ $(\begin{array}{c} 10 \\ - 5 \\ 15 \end{array})$
  Der Richtungsvektor der Geraden $g$ ist der Vektor $\vec{A B} = (\begin{array}{c} 10 \\ - 5 \\ 15 \end{array})$ .
  Wird der Vektor $\vec{A B}$ mit dem Faktor $5$ verkürzt, so ist der neue Richtungsvektor der Vektor $\vec{u}$ mit $\vec{u} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$ . Somit erhältst du für die Geradengleichung $g$ :
  $g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 4 \\ 8 \\ - 9 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$
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2. Welcher Punkt $Q$ teilt die Strecke $[A B]$ so, dass gilt: $A Q = 2 \cdot Q B$ ?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Strecke
  Vektoriell gilt:
  $\vec{A Q} = 2 \cdot \vec{Q B}$
  Andererseits gilt für den Vektor $\vec{Q}$ :
  $\vec{Q} = \vec{A} + \frac{2}{3} \cdot \vec{A B}$
  Mit dem unter a) berechneten Vektor $\vec{A B} = (\begin{array}{c} 10 \\ - 5 \\ 15 \end{array})$ erhält man dann:
  $\vec{Q}$ $=$ $\vec{A} + \frac{2}{3} \cdot \vec{A B}$
  ↓
  Setze die bekannten Vektoren ein.
  $=$ $(\begin{array}{c} 4 \\ 8 \\ - 9 \end{array}) + \frac{2}{3} \cdot (\begin{array}{c} 10 \\ - 5 \\ 15 \end{array})$
  ↓
  Fasse zusammen.
  $=$ $(\begin{array}{c} 4 + \frac{20}{3} \\ 8 - \frac{10}{3} \\ - 9 + \frac{30}{3} \end{array})$
  $=$ $(\begin{array}{c} \frac{32}{3} \\ \frac{14}{3} \\ 1 \end{array})$
  Der Punkt $Q (\frac{32}{3} | \frac{14}{3} | 1)$ teilt die Strecke $[A B]$ so, dass gilt: $A Q = 2 \cdot Q B$ .
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3. Wie lautet die Gleichung einer Geraden $h$ durch den Punkt $Q$ , die senkrecht zu $g$ ist?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zwei zueinander senkrechte Geraden
  Bei zwei zueinander senkrechten Geraden ist das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren gleich null.
  Der Richtungsvektor der Geraden $g$ ist $\vec{u} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$ .
  Für den Richtungsvektor $\vec{v}$ der Geraden $h$ muss dann gelten:
  $\vec{u} \circ \vec{v} = 0 \Rightarrow (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{array}) = 0$
  Z.B. erfüllt der Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})$ die geforderte Bedingung, denn:
  $(\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}) = 2 \cdot 1 + (- 1) \cdot 2 + 3 \cdot 0 = 2 - 2 = 0$
  Die Gerade $h$ hat dann folgende Gleichung:
  $h : \vec{X} = \vec{Q} + r \cdot \vec{v} = (\begin{array}{c} \frac{32}{3} \\ \frac{14}{3} \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})$
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\vec{A B}$	$=$	$\vec{B} - \vec{A}$
	↓	Setze ein.
	$=$	$(\begin{array}{c} 14 \\ 3 \\ 6 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 8 \\ - 9 \end{array})$
	$=$	$(\begin{array}{c} 10 \\ - 5 \\ 15 \end{array})$

$\vec{Q}$	$=$	$\vec{A} + \frac{2}{3} \cdot \vec{A B}$
	↓	Setze die bekannten Vektoren ein.
	$=$	$(\begin{array}{c} 4 \\ 8 \\ - 9 \end{array}) + \frac{2}{3} \cdot (\begin{array}{c} 10 \\ - 5 \\ 15 \end{array})$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$(\begin{array}{c} 4 + \frac{20}{3} \\ 8 - \frac{10}{3} \\ - 9 + \frac{30}{3} \end{array})$
	$=$	$(\begin{array}{c} \frac{32}{3} \\ \frac{14}{3} \\ 1 \end{array})$

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