Teil A - lernen mit Serlo!

Aufgabe A 1

Die Vorlage eines Kerzenhalters für kugelförmige Kerzen ist ein Rotationskörper mit der Rotationsachse $M N$ . Die Skizze zeigt den Axialschnitt dieses Rotationskörpers. Der Punkt $C$ ist der Schnittpunkt der Geraden $A B$ und $E D$ .

Es gilt: $\overline{AE}=9\;\text{cm}$ ; $\overline{GF}= 5\;\text{cm}$ ; $\overline{BD}= 5\;\text{cm}$ ; ⁣ $\overline{CN}= 5{,}5\;\text{cm}$ ; $r =\overline{ MG}=\overline{ MF}$ ; $AE\Vert BD.$

Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers.

Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma. (4 P)

$[$ Zwischenergebnis: $\overline{CM}= 9{,}9\;\text{cm}$ ; Ergebnis: $V = 141{,}21\;\text{cm}^3$ $]$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kegel

Volumen des großen Kegels

$\ V_{\text{Kegel(gr)}}=\dfrac{1}{3}\cdot\overline{\text{AM}}^2\cdot\pi\cdot\overline{\text{CM}}$

Bestimmung von $\overline{\text{AM}}$

$\ \overline{\text{AM}}=\dfrac{\overline{\text{AE}}}{2}=\boxed{4{,}5\ \text{cm}}$

Berechnung von $\ \overline{\text{CM}}\$ mithilfe des 2. Strahlensatzes

$\ \dfrac{\overline{\text{AE}}}{\overline{\text{CM}}}=\dfrac{\overline{\text{BD}}}{\overline{\text{CN}}}\Rightarrow\overline{\text{CM}}=\dfrac{\overline{\text{AE}}\cdot\overline{\text{CN}}}{\overline{\text{BD}}}$

$\ \overline{\text{CM}}=\dfrac{9\ \text{cm}\cdot5{,}5\ \text{cm}}{5\ \text{cm}}=\boxed{9{,}9\ \text{cm}}$

Einsetzen von $\overline{\text{AM}}$ und $\overline{\text{CM}}$

$\displaystyle \ V_{\text{Kegel(gr)}}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\overline{\text{AM}}^2\cdot\pi\cdot\overline{\text{CM}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot(4{,}5)^2\cdot\pi\cdot9{,}9$
	$=$	$\displaystyle 209{,}94$

Volumen des kleinen Kegels

$\ V_{\text{Kegel(kl)}}=\dfrac{1}{3}\cdot\overline{\text{BN}}^2\cdot\pi\cdot\overline{\text{CN}}$

Bestimmung von $\ \overline{\text{BN}}$

$\ \overline{\text{BN}}=\dfrac{\overline{\text{BD}}}{2}=\boxed{2{,}5\ \text{cm}}$

Einsetzen von $\ \overline{\text{BN}}$ und $\ \overline{\text{CN}}$

$\displaystyle \ V_{\text{Kegel(kl)}}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\overline{\text{BN}}^2\cdot\pi\cdot\overline{\text{CN}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot(2{,}5)^2\cdot\pi\cdot5{,}5$
	$=$	$\displaystyle 36{,}00$

Volumen der Halbkugel

$\ V_{\text{Halbkugel}}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot \overline{\text{MF}}^3\cdot\pi$

Bestimmung von $\ \overline{\text{MF}}$

$\ \overline{\text{MF}}=\dfrac{\overline{\text{GF}}}{2}=\boxed{2{,}5\ \text{cm}}$

Einsetzen von $\ \overline{\text{MF}}$

$\displaystyle V_\text{Halbkugel}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot \overline{\text{MF}}^3\cdot\pi$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot 2{,}5^3\cdot\pi$
	$=$	$\displaystyle 32{,}72$

Volumen des Kerzenhalters

$V_{\text{Kerzenh.}}=V_\text{Kegel(gr)}-V_\text{Kegel(kl)}-V_\text{Halbkugel}$

$V_{\text{Kerzenh.}}=\underline{\underline{\ 141{,}22}}$

Das Volumen des Kerzenhalters beträgt: $\ 141{,}22\ \text{cm}^3$

Achtung: Je nachdem, ob du in den Zwischenschritten rundest oder nicht, kannst du leicht abweichende Werte erhalten.

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Der Kerzenhalter soll aus Marmor gefertigt werden. $1\;\text{cm}^3$ des verwendeten Marmors hat eine Masse von $2,7 g$ .
Berechnen Sie die Masse des Kerzenhalters. Runden Sie auf ganze Gramm. (1 P)
g
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dichte
Berechne die Masse, indem du 2,7 g mit dem Volumen des Kerzenhalters in $\text{cm}^3$ multiplizierst.
$\ \text{m}=2{,}7\ \cdot 141{,}22\$
$\ \text{m}=\underline{\underline{381\ }}$
Die Masse des Kerzenhalters beträgt: $\ 381\ \text{g}.$
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Multipliziere 2,7 g mit dem Volumen des Kerzenhalters in $\text{cm}^3$ .