Teil A

Volumen des großen Kegels

$\ V_{\text{Kegel(gr)}}=\dfrac{1}{3}\cdot\overline{\text{AM}}^2\cdot\pi\cdot\overline{\text{CM}}$

Bestimmung von $\overline{\text{AM}}$

$\ \overline{\text{AM}}=\dfrac{\overline{\text{AE}}}{2}=\boxed{4{,}5\ \text{cm}}$

Berechnung von$\ \overline{\text{CM}}\$mithilfe des 2. Strahlensatzes

$\ \dfrac{\overline{\text{AE}}}{\overline{\text{CM}}}=\dfrac{\overline{\text{BD}}}{\overline{\text{CN}}}\Rightarrow\overline{\text{CM}}=\dfrac{\overline{\text{AE}}\cdot\overline{\text{CN}}}{\overline{\text{BD}}}$

$\ \overline{\text{CM}}=\dfrac{9\ \text{cm}\cdot5{,}5\ \text{cm}}{5\ \text{cm}}=\boxed{9{,}9\ \text{cm}}$

Einsetzen von $\overline{\text{AM}}$ und $\overline{\text{CM}}$

Volumen des kleinen Kegels

$\ V_{\text{Kegel(kl)}}=\dfrac{1}{3}\cdot\overline{\text{BN}}^2\cdot\pi\cdot\overline{\text{CN}}$

Bestimmung von $\ \overline{\text{BN}}$

$\ \overline{\text{BN}}=\dfrac{\overline{\text{BD}}}{2}=\boxed{2{,}5\ \text{cm}}$

Einsetzen von $\ \overline{\text{BN}}$ und $\ \overline{\text{CN}}$

Volumen der Halbkugel

$\ V_{\text{Halbkugel}}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot \overline{\text{MF}}^3\cdot\pi$

Bestimmung von $\ \overline{\text{MF}}$

$\ \overline{\text{MF}}=\dfrac{\overline{\text{GF}}}{2}=\boxed{2{,}5\ \text{cm}}$

Einsetzen von $\ \overline{\text{MF}}$

Volumen des Kerzenhalters

$V_{\text{Kerzenh.}}=V_\text{Kegel(gr)}-V_\text{Kegel(kl)}-V_\text{Halbkugel}$

$V_{\text{Kerzenh.}}=\underline{\underline{\ 141{,}22}}$

Das Volumen des Kerzenhalters beträgt:$\ 141{,}22\ \text{cm}^3$

Achtung: Je nachdem, ob du in den Zwischenschritten rundest oder nicht, kannst du leicht abweichende Werte erhalten.

Berechne die Masse, indem du 2,7 g mit dem Volumen des Kerzenhalters in $\text{cm}^3$multiplizierst.

$\ \text{m}=2{,}7\ \cdot 141{,}22\$

$\ \text{m}=\underline{\underline{381\ }}$

Die Masse des Kerzenhalters beträgt:$\ 381\ \text{g}.$

Bestimme die gesuchten Größen mit dem Sinussatz

Berechnung von$\ \sphericalangle \textbf{DBA}$ :

$\dfrac{\overline{\text{AD}}}{\text{sin}\sphericalangle \text{DBA}}=\dfrac{\overline{\text{AB}}}{\text{sin}\sphericalangle \text{ADB}}\Rightarrow{\text{sin}\sphericalangle \text{DBA}}=\dfrac{{\overline{\text{AD}}\cdot\text{sin}\sphericalangle{\text{ADB}}}}{\overline{\text{AB}}}$

$\ {\text{sin}\sphericalangle \text{DBA}}=\dfrac{{3}\cdot\text{sin}\ 80^\circ}{{\text{8}}}=0{,}3693\Rightarrow\text{sin}^{-1}(0{,}3693)=21{,}67^\circ$

$\underline{\text{Das\ Maß\ des\ Winkels\ DBA\ beträgt:\ 21{,}67}^\circ}$

Berechnung von$\ \overline{\textbf{BD}}\$:

$\ \dfrac{\overline{\text{BD}}}{\text{sin}\sphericalangle \text{BAD}}=\dfrac{\overline{\text{AB}}}{\text{sin}\sphericalangle \text{ADB}}\qquad\sphericalangle {\text{BAD}}=180^\circ-80^\circ-21{,}67^\circ=78{,}33^\circ$

$\ \sphericalangle{\text{BAD}}=78{,}33^\circ$

$\overline{\text{BD}}=\dfrac{\overline{\text{AB}}\cdot\text{sin}\sphericalangle{\text{BAD}}}{\text{sin}\sphericalangle{\text{ADB}}}\Rightarrow\overline{\text{BD}}=\dfrac{{8}\cdot\text{sin}\ {78{,}33^\circ}}{\text{sin}\ {{80^\circ}}}$

$\overline{\text{BD}}=7{,}96\ \text{cm}$

$\underline{\text{Die\ Länge\ der\ Strecke\ [BD]\ beträgt:\ 7{,}96\;\text{cm}}}$

Zerlegung in zwei Dreiecke

Das Viereck$\ \text{ABCD}\$ lässt sich in beiden Dreiecke$\ \text{ABD}\$und$\ \text{DBC}\$zerlegen.

Flächeninhalt Dreieck $ABD$

Berechne den Flächeninhalt mithilfe des Sinussatzes.

$\ \text{A}_{\text{ABD}}=\dfrac{1}{2}\cdot\overline{\text{AB}}\cdot\overline{\text{BD}}\cdot\sin(\sphericalangle{\text{ABD}})$

$\ \text{A}_{\text{ABD}}=\dfrac{1}{2}\cdot8\cdot7{,}96\cdot \sin(21{,}67^\circ)\;\text{cm}^2$

Flächeninhalt Dreieck $DBC$

Berechne den Flächeninhalt mithilfe des Sinussatzes.

$\ \text{A}_{\text{BCD}}=\dfrac{1}{2}\cdot\overline{\text{BD}}\cdot\overline{\text{BC}}\cdot\sin(\sphericalangle{\text{DBC}})\qquad\sphericalangle{\text{DBC}}=110^\circ-21{,}67^\circ=88{,}33^\circ$

$\ \text{A}_{\text{BCD}}=\dfrac{1}{2}\cdot7{,}96\cdot8\cdot \sin(88{,}33^\circ)\;\text{cm}^2$

Flächeninhalt des Vierecks

$\ A_{\text{ABCD}}=\left(\dfrac{1}{2}\cdot8\cdot7{,}96\cdot \sin(21{,}67^\circ)+\dfrac{1}{2}\cdot7{,}96\cdot8\cdot \sin( 88{,}33^\circ)\right)\ \text{cm}^2$

$\ A_{\text{ABCD}}=\dfrac{1}{2}\cdot8\cdot7{,}96\cdot \left(\sin(21{,}67^\circ)+\sin(88{,}33^\circ)\right)\ \text{cm}^2$

$\ \underline{A_{\text{ABCD}}\approx 43{,}58\ \text{cm}^2}$

Der Flächeninhalt des Vierecks $\text{ABCD}\$beträgt:$\ \boxed{43{,}58\ \text{cm}^2}$

Der Winkel$\ \text{CME}\$ist ein Stufenwinkel zum Winkel$\ \text{CBA}\$an den Parallelen$\ \text{AB} \$und$\ \text{EM}\$.

Stufenwinkel an parallelen Geraden sind gleich groß.

Somit gilt: ⁣$\ \sphericalangle{\text{CBA}}=\sphericalangle{\text{CME}}=110^\circ\Rightarrow\sphericalangle{\text{EMB}}=180^\circ-110^\circ=70^\circ$.

$\underline{\text{Berechnung der Bogenlänge des Kreisbogens}\ \overset\frown{\text{EB}}\ \text{mit dem Mittelpunkt M.}}$

$\ \overset\frown{\text{EB}}=\overline{\text{BC}}\cdot\pi\cdot\dfrac{\sphericalangle{\text{EMB}}}{360^\circ}\ \text{cm}\Rightarrow\overset\frown{\text{EB}}=8\cdot\pi\cdot\dfrac{70^\circ}{360^\circ}\;\text{cm}$

$\underline{\ \overset\frown{\text{EB}}=4{,}89\ \text{cm}}$

Die Bogenlänge des Kreisbogens$\ \overset\frown{\text{EB}}\$beträgt:$\ 4{,}89\ \text{cm}.$

Die Figur bildet einen Kreissektor.

$\underline{\ \text{Berechnung des Flächeninhaltes des Kreissektors der durch den Kreisbogen}\ \overset\frown{\text{EB}}}\ \\\ \underline{\text{und den Strecken [EM] und [BM] begrenzt wird.}}$

$\ A_{\text{Sektor}}=\left(\dfrac{\overline{\text{BC}}}{2}\right)^2\cdot\pi\cdot\dfrac{\sphericalangle{\text{EMB}}}{360}\;\text{cm}^2\Rightarrow A_{\text{Sektor}}=16\cdot\pi\cdot\dfrac{70^\circ}{360^\circ}\;\text{cm}^2$

$\underline{\ A_{\text{Sektor}}=9{,}77\ \text{cm}^2}$

Der Flächeninhalt der Figur, die durch den Kreisbogen$\ \overset\frown{\text{EB}}\$und den Strecken$\ [\text{EM}]\$

und$\ [\text{BM}]\$begrenzt wird beträgt:$\ \boxed{9{,}77\ \text{cm}^2}$

$\underline{\ \text{Bestimmung des prozentualen Anteils dieses Flächeninhalts}}\\\underline{\text{ am Flächeninhalt des Vierecks ABCD.}}$

$\ \text{p}=\dfrac{\text{W}}{\text{G}}\qquad\qquad \text{W}=9{,}77\ \text{cm}^2;\qquad \text{G}=43{,}58\ \text{cm}^2$

$\ \text{p}=\dfrac{9{,}77\ \text{cm}^2}{43{,}58\ \text{cm}^2}\Rightarrow\underline{\text{p}=0{,}2242}$

Der prozentuale Anteil dieses Flächeninhalts am Flächeninhalt des Vierecks$ABCD$

ist dann: $\ 0{,}2242\cdot100\;\%=\boxed{22{,}42\;\%}$

Für die allgemeine Form einer quadratischen Funktion

$\ f(x)=ax^2+bx+c$

lautet die Formel zur Berechnung des Scheitelpunkts:

$S\left(-\dfrac b{2~\cdot~ a}\left|c-\dfrac{b^2}{4 ~\cdot ~a}\right.\right)$

Setze die Werte aus$\ f(x)=-0{,}1x^2+3{,}5x\$in die Formel ein und berechne den Scheitelpunkt$\ S.$

$S\left(-\dfrac {3{,}5}{2~\cdot~ (-0{,}1)}\left|0-\dfrac{3{,}5^2}{4 ~\cdot ~(-0{,}1)}\right.\right)\Rightarrow S\left(17{,}5|30{,}625\right)$

Die Koordinaten des Scheitel $S$ der Parabel sind: $\ S\left(17{,}5|30{,}625\right)$, die maximale Höhe ist also, gerundet auf ganze Zentimeter, $\boxed{\ 31\ \text{cm}}$

Die Weite des Sprungs beträgt: $\boxed{\ 35\ \text{cm}}$

Um wieviel mal ist der Mann größer als der Floh?

Wandle die Größe des Mannes zunächst in Millimeter um.

$\ 1\ \text{m}=\ 1000\ \text{mm}\$

$\Rightarrow\ 1{,}80\ \cdot1000\text{ mm}=1800\ \text{mm}$

Teile die Größe vom Mann durch die Größe vom Floh, um zu bestimmen, um wie viel mal größer der Mann ist.

$1800:3=600$

$\Rightarrow\$Der Mann ist 600 mal größer als der Floh.

Wie weit kann der Mann dann springen?

Multipliziere den Faktor $600$ mit der Sprungweite des Flohs.

$600\cdot0{,}6=360$

$\Rightarrow$ Ein$\ 1{,}80\ \text{m}$ großer Mensch würde ungefähr$\ 360\ \text{m}\$weit springen, wenn er im Verhältnis zu seiner Körpergröße genauso weit wie dieser Floh springen könnte.