Aufstellen der Gleichungen

Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten der möglichen Ergebnisse muss 1 ergeben:

I) $a+(b-a)+0{,}2+b+0{,}08+0{,}02=1$

Außerdem weißt du, dass der Erwartungswert $E(X)=\mu=3{,}12$ sein soll. Dabei wird jeder Zufallswert mit seiner Wahrscheinlichkeit multipliziert und diese Produkte anschließend addiert:

II)$\ 1\cdot a+2\cdot\left(b-a\right)+3\cdot0{,}2+4\cdot b+5\cdot0{,}08+6\cdot0{,}02=3{,}12$

Fasse diese Gleichungen beide so weit wie möglich zusammen und du erhältst das folgende Gleichungssystem:

I) $2b=0{,}7\$

II) $-a+6b=2$

Gleichungssystem lösen

Da in der Gleichung I) nur die Variable b vorkommt, kannst du ihren Wert direkt durch Umformung ermitteln:

Setze b in die Gleichung II ein, um a zu ermitteln:

Hinweis: Falls du beim Lösen andere Werte erhalten haben solltest, solltest du trotzdem mit dem Teilergebnis $a=0{,}1$ weiterrechnen!

Ergebnis aus der letzten Teilaufgabe

Erwartungswert im Sachkontext

Der Erwartungswert beschreibt einen Durchschnittswert. Hier beschreibt er die durchschnittliche Lieferzeit von 3,12 Wochen.

Wahrscheinlichkeit von $E_1$

Die Aussage "höchstens vier Wochen" sagt dir, dass die Zufallsgröße $X$ einen Wert zwischen 1 und 4 annehmen kann, also $X\le4$. Addiere die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten:

$P\left(E_1\right)=P\left(X\le4\right)=0{,}1+0{,}25+0{,}2+0{,}35\ =0{,}9$

Mit 90% Wahrscheinlichkeit ist das Möbelstück in höchstens 4 Wochen geliefert.

Wahrscheinlichkeit von $E_2$

Da du hier nur fragst: "Hat es eine Woche gedauert oder länger?" handelt es sich um ein Bernoulli-Experiment. Der "Treffer" ist hierbei definiert durch "Möbelstück wird in einer Woche geliefert" und hat eine Wahrscheinlichkeit von $p=0{,}1$.

Insgesamt werden $n=9$ Möbelstücke geliefert. Genau $k=3$ sollen in Woche 1 geliefert werden:

$P\left(X=3\right)=\binom{9_{ }}{3}\cdot0{,}1^3\cdot0{,}9^{9-3}\approx0{,}04464$

Mit ungefähr 4,5% Wahrscheinlichkeit werden genau 3 von 9 Möbelstücken innerhalb von einer Woche geliefert.

Wahrscheinlichkeit von $E_3$

Als "Treffer" wird hier davon ausgegangen, dass das Möbelstück erst in der 6. Woche geliefert wird. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelnes Möbelstück in Woche 6 geliefert wird, beträgt $p=0{,}02$

Von $n=10$ Möbelstücken soll nur genau das letzte Möbelstück in der 6. Woche geliefert werden. Die Position des "Treffers" ist also fest, weshalb nicht die Bernoulli-Formel verwendet wird:

$P\left(E_3\right)=\underbrace{\quad0{,}98^9\quad}_{\text{9 Möbelstücke früher}}\cdot \underbrace{\quad0{,}02\quad}_{\text{letztes Möbelstück in Woche 6}}\approx0{,}01667$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 1,7% wird nur das letzte Möbelstück erst nach 6 Wochen geliefert.