Teil 2, Stochastik 2

Wenn 40% der Kunden ein Fichtenmöbelstück kaufen, kauft der Rest ein Möbelstück aus Buche. Der Rest sind 60%

Von den Personen, die sich für Fichtenholz entscheiden, wollen $\frac{1}{3}$ ein lackiertes Möbelstück. Diese Wahrscheinlichkeit ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit, die du auf die 2. Stufe des Baumes zwischen Fichte (F) und Lack (L) schreibst. Erneut kannst du daraus schließen, wie viele nun ein gewachstes Fichtenstück wünschen.

Das gleiche machst du nochmal für die Angabe zum Buchenholz.

Anteil der gewachsten Möbelstücke

Berechne die Wahrscheinlichkeiten für ein gewachstes Möbelstück aus Fichte und ein gewachstes Möbelstück aus Buche und addiere die beiden.

Du benötigst hierfür die Pfadregeln.

$P\left(F\cap G\right)=0{,}4\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{15}$

$P\left(B\cap G\right)=0{,}6\cdot0{,}75=\frac{9}{20}$

Insgesamt ergibt sich:

$P\left(G\right)=P\left(F\cap G\right)+P\left(B\cap G\right)=\frac{4}{15}+\frac{9}{20}\approx0{,}72$

Ungefähr 72% der bestellten Möbelstücke sind gewachst.

Verwende das Baumdiagramm von oben. Du kannst dir zum Beispiel alle Pfade farblich markieren, bei denen das Möbelstück mindestens eine der beiden Eigenschaften besitzt.

Es handelt sich um alle Pfade außer dem Pfad $F\cap L$. Deshalb kannst du mit dem Gegenereignis arbeiten.

$P\left(B\cup G\right)=1-P\left(F\cap L\right)=1-0{,}4\cdot\frac{1}{3}=\frac{13}{15}\approx87\%$

Aufstellen der Gleichungen

Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten der möglichen Ergebnisse muss 1 ergeben:

I) $a+(b-a)+0{,}2+b+0{,}08+0{,}02=1$

Außerdem weißt du, dass der Erwartungswert $E(X)=\mu=3{,}12$ sein soll. Dabei wird jeder Zufallswert mit seiner Wahrscheinlichkeit multipliziert und diese Produkte anschließend addiert:

II)$\ 1\cdot a+2\cdot\left(b-a\right)+3\cdot0{,}2+4\cdot b+5\cdot0{,}08+6\cdot0{,}02=3{,}12$

Fasse diese Gleichungen beide so weit wie möglich zusammen und du erhältst das folgende Gleichungssystem:

I) $2b=0{,}7\$

II) $-a+6b=2$

Gleichungssystem lösen

Da in der Gleichung I) nur die Variable b vorkommt, kannst du ihren Wert direkt durch Umformung ermitteln:

Setze b in die Gleichung II ein, um a zu ermitteln:

Hinweis: Falls du beim Lösen andere Werte erhalten haben solltest, solltest du trotzdem mit dem Teilergebnis $a=0{,}1$ weiterrechnen!

Ergebnis aus der letzten Teilaufgabe

Erwartungswert im Sachkontext

Der Erwartungswert beschreibt einen Durchschnittswert. Hier beschreibt er die durchschnittliche Lieferzeit von 3,12 Wochen.

Wahrscheinlichkeit von $E_1$

Die Aussage "höchstens vier Wochen" sagt dir, dass die Zufallsgröße $X$ einen Wert zwischen 1 und 4 annehmen kann, also $X\le4$. Addiere die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten:

$P\left(E_1\right)=P\left(X\le4\right)=0{,}1+0{,}25+0{,}2+0{,}35\ =0{,}9$

Mit 90% Wahrscheinlichkeit ist das Möbelstück in höchstens 4 Wochen geliefert.

Wahrscheinlichkeit von $E_2$

Da du hier nur fragst: "Hat es eine Woche gedauert oder länger?" handelt es sich um ein Bernoulli-Experiment. Der "Treffer" ist hierbei definiert durch "Möbelstück wird in einer Woche geliefert" und hat eine Wahrscheinlichkeit von $p=0{,}1$.

Insgesamt werden $n=9$ Möbelstücke geliefert. Genau $k=3$ sollen in Woche 1 geliefert werden:

$P\left(X=3\right)=\binom{9_{ }}{3}\cdot0{,}1^3\cdot0{,}9^{9-3}\approx0{,}04464$

Mit ungefähr 4,5% Wahrscheinlichkeit werden genau 3 von 9 Möbelstücken innerhalb von einer Woche geliefert.

Wahrscheinlichkeit von $E_3$

Als "Treffer" wird hier davon ausgegangen, dass das Möbelstück erst in der 6. Woche geliefert wird. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelnes Möbelstück in Woche 6 geliefert wird, beträgt $p=0{,}02$

Von $n=10$ Möbelstücken soll nur genau das letzte Möbelstück in der 6. Woche geliefert werden. Die Position des "Treffers" ist also fest, weshalb nicht die Bernoulli-Formel verwendet wird:

$P\left(E_3\right)=\underbrace{\quad0{,}98^9\quad}_{\text{9 Möbelstücke früher}}\cdot \underbrace{\quad0{,}02\quad}_{\text{letztes Möbelstück in Woche 6}}\approx0{,}01667$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 1,7% wird nur das letzte Möbelstück erst nach 6 Wochen geliefert.

Fülle die Vierfeldertafel mithilfe der Angaben aus Text und Tabelle:

Die 80 Kunden, die in der Umgebung wohnen, sind vom Beginn des Angabentextes, ebenso die 128 Kunden, die nicht beliefert werden.

In der Tabelle zur Anzahl der Möbelstücke und der Entfernung sind nur die 72 Kunden, die beliefert werden. Addierst du die beiden Werte $7+18$ unter dem U, so erhältst du die 25 Kunden, die im Umfeld wohnen und beliefert werden.

Kunde wohnt weit weg und holt Möbel ab

73 Kunden wohnen weiter von der Schreinerei entfernt und holen ihre Möbel selbst ab. Das entspricht einem Anteil von $\frac{73}{200}=0{,}365$, also 36,5% der Kunden.

$P_U(\overline L)$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Kunde sich seine Möbel nicht liefern lassen möchte, wenn bekannt ist, dass er im Umkreis der Schreinerei wohnt.

$P_{\overline U}(\overline L)$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Kunde sich seine Möbel nicht liefern lassen möchte, wenn bekannt ist, dass er nicht im Umkreis der Schreinerei wohnt.

Es ist wahrscheinlicher, dass ein Kunde aus der Umgebung seine Möbel abholt, als dass ein Kunde, der weiter weg ist, dies tut.