Um das Monotonieverhalten (steigend/fallend) und das Krümmungsverhalten (links- oder rechtsgekrümmt) zu untersuchen, kannst du ähnliche Methoden verwenden.
In dieser Aufgabe sollst du dir Gedanken über die Gemeinsamkeiten und Unterschiede machen.
Egal, ob du später eine Skizze oder eine Tabelle anfertigen wirst (oder sogar mit einer höheren Ableitung arbeiten wirst), zunächst musst du Vorarbeit leisten.
Vergleiche, wie du die Kandidaten für Extrem- und Wendestellen bekommst.
Monotonieverhalten
Um die Kandidaten für Extremstellen zu bekommen, musst du:
die 1. Ableitung bilden
die Nullstellen der 1. Ableitung bestimmen
Krümmungsverhalten
Um die Kandidaten für Wendestellen zu bekommen, musst du:
die 2. Ableitung bilden
die Nullstellen der 2. Ableitung bestimmen
Vergleich
Die Gemeinsamkeit: Man leitet ab und man berechnet Nullstellen.
Der Unterschied: Es muss einmal die 1. Ableitung und einmal die 2. Ableitung nullgesetzt werden.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Das Monotonieverhalten wird mithilfe der 1. Ableitung beschrieben
Das Krümmungsverhalten wird mithilfe der 2. Ableitung beschrieben.
Die Nullstellen der beiden Ableitungen liefern die einzigen Kandidaten für die besonderen Graphenpunkte Hochpunkt, Tiefpunkt, Terrassenpunkt und Wendepunkt.
Du untersuchst das Monotonie- und Krümmungsverhalten mithilfe einer Skizze. Wodurch unterscheiden sich die Skizzen zur Monotonie und zur Krümmung?
Monotonieverhalten über Skizze von Gf′
Du hast zuvor die Nullstellen von f′ mit ihren Vielfachheiten berechnet. Gemeinsam mit dem Grad und Leitkoeffizient von f′ kannst du den Graphen der Ableitung skizzieren.
Ist der Graph der Ableitung oberhalb der x-Achse, so ist f′(x)>0 und der Graph der Ausgangsfunktion Gf steigt streng monoton.
Analog: ist der Graph der Ableitungsfunktion unterhalb der x-Achse, so ist f′(x)<0 und der Graph der Ausgangsfunktion Gf fällt streng monoton.
Wechselt der Graph von f′ an einer seiner Nullstellen das Vorzeichen, so hat der Graph Gf dort eine Extremstelle (Hochpunkt bei sms zu smf, Tiefpunkt bei smf zu sms).
Wechselt der Graph von f′ an einer Nullstelle das Vorzeichen nicht (die Nullstelle von f′ hat eine gerade Vielfachheit), so hat Gf dort einen Terrassenpunkt.
Gf ist sms für x∈]−∞;−3] und x∈[1;+∞[ und smf für x∈[−3;1]
Krümmungsverhalten
Du hast zuvor die Nullstellen von f′′ mit ihren Vielfachheiten berechnet. Gemeinsam mit dem Grad und Leitkoeffizient von f′′ kannst du den Graphen der 2. Ableitung skizzieren.
Ist der Graph der 2. Ableitung oberhalb der x-Achse, so ist f′′(x)>0 und der Graph der Ausgangsfunktion Gf ist dort linksgekrümmt.
Analog: ist der Graph der Ableitungsfunktion unterhalb der x-Achse, so ist f′′(x)<0 und der Graph der Ausgangsfunktion Gf ist dort rechtsgekrümmt.
Wechselt der Graph von f′′ an einer seiner Nullstellen das Vorzeichen, so hat der Graph Gf dort einen Wendepunkt.
Wechselt der Graph von f′′ an einer Nullstelle das Vorzeichen nicht (die Nullstelle von f′′ hat eine gerade Vielfachheit), so hat Gf dort keinen Wendepunkt!
Gf ist rgk für x∈]−∞;−1] und lgk für x∈[1;+∞[
Vergleich
Der wichtigste Unterschied ist natürlich, dass einmal die 1. Ableitung f′ skizziert werden soll und einmal die 2. Ableitung f′′
Gemeinsamkeiten:
Bei beiden wird mithilfe von Nullstellen mit Vielfachheit, Grad und Leitkoeffizient die jeweilige Ableitungsfunktion skizziert.
Bei beiden interessiert lediglich das Vorzeichen der jeweiligen Ableitung in einem Bereich ("oberhalb oder unterhalb der x-Achse")
Bei beiden muss darauf geachtet werden, ob an der Nullstelle ein Vorzeichenwechsel auftritt oder nicht. Falls dem nicht so ist, liegt dort kein Extrempunkt bzw. Wendepunkt von Gf.
Unterschiede:
Wie oben bereits erwähnt, wird einmal f′ und einmal f′′ skizziert.
Es gibt unterschiedliche Arten von Extrempunkten, deshalb ist bei der Skizze von Gf′ je nach Aufgabe wichtig, von wo nach wo das Vorzeichen wechselt (Art der Extremstelle: Hoch- oder Tiefpunkt). Das ist bei den Wendepunkten egal.
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Nachdem du die Nullstellen der 1. Ableitung (Kandidaten für Extremstellen) und der 2. Ableitung (Kandidaten für Wendestellen) bestimmt hast, weißt du, wo die jeweiligen Ableitungsfunktionen ihr Vorzeichen ändern.
Das Vorzeichen von f′ in einem Intervall gibt an, ob Gf dort steigt (f′(x)>0) oder fällt (f′(x)<0).
Das Vorzeichen von f′′ in einem Intervall gibt an, ob Gf dort links- (f′′(x)>0)oder rechtsgekrümmt (f′′(x)<0)ist.
Statt mit einer Skizze kannst du das Monotonie- und Krümmungsverhalten auch mithilfe von Tabellen untersuchen. Wodurch unterscheiden sich die Monotonietabelle und die Krümmungstabelle voneinander?
Beispiel Monotonietabelle
Eine Monotonietabelle kann z.B. wie folgt aussehen:
x<
-3
<x<
2
<x<
5
<x
Vorzeichen f′
-
0
+
0
+
0
-
Verlauf Gf
↘
smf
TIP
↗
sms
TEP
↗
sms
HOP
↘
smf
Wobei zur Unterteilung der Spalten die Nullstellen der 1. Ableitung verwendet werden.
Beispiel Krümmungstabelle
Eine Krümmungstabelle kann zum Beispiel so aussehen:
x<
-2
<x<
2
<x
Vorzeichen f′′
-
0
+
0
+
Verlauf Gf
rgk
WEP
lgk
------
lgk
Wobei zur Unterteilung der Spalten die Nullstellen der 2. Ableitung verwendet wurden.
Vergleich
Beide Tabellen haben drei Zeilen.
Bei beiden Tabellen wird in der ersten Zeile die x-Achse in mehrere Bereiche unterteilt. Allerdings wird sie einmal bei den Nullstellen der 1. Ableitung und einmal bei denen der 2. Ableitung "zerschnitten".
Bei beiden Tabellen kannst du unter die 2. Zeile unter die gefundenen Nullstellen eine 0 schreiben, denn dort ist f′(x)=0 bzw. f′′(x)=0.
In der zweiten Zeile geht es bei beiden Tabellen um das Vorzeichen in einem Bereich, jedoch erneut einmal um das der 1. Ableitung, einmal um das der 2. Ableitung.
In der 3. Zeile sind bei beiden Tabellen die Informationen über Gf. Diese unterscheiden sich jedoch am stärksten. In der Monotonietabelle werden die Kürzel sms, smf, TIP, HOP, TEP eingetragen, in die Krümmungstabelle lgk, rgk und WEP.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Nachdem du die Nullstellen der 1. Ableitung (Kandidaten für Extremstellen) und der 2. Ableitung (Kandidaten für Wendestellen) bestimmt hast, weißt du, wo die jeweiligen Ableitungsfunktionen ihr Vorzeichen ändern.
Das Vorzeichen von f′ in einem Intervall gibt an, ob Gf dort steigt (f′(x)>0) oder fällt (f′(x)<0).
Das Vorzeichen von f′′ in einem Intervall gibt an, ob Gf dort links- (f′′(x)>0)oder rechtsgekrümmt (f′′(x)<0)ist.
