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Aufgaben zur Kurvendiskussion

Setze hier alle Bestandteile zusammen und √ľbe mit Aufgaben zur Kurvendiskussion.

  1. 1

    Es ist folgende Funktion gegeben:

    In den Teilaufgaben findest du alles, was du f√ľr diese Funktion berechnen k√∂nntest.

    Suche dir das heraus, was du √ľben m√∂chtest.

    Bei sp√§teren Teilaufgaben kann auf fr√ľhere Ergebnisse zur√ľckgegriffen werden.

    Ist dir nicht sofort klar, woher diese Ergebnisse kommen, dann bearbeite zun√§chst diese fr√ľheren Teilaufgaben zur Wissensauffrischung.

    1. Bestimme den Definitionsbereich und die Art der Definitionsl√ľcken.

    2. Vereinfache die Funktionsgleichung.

    3. Berechne die Grenzwerte an den Rändern des Definitionsbereichs.

    4. Setze die Funktion ff - wenn möglich -  stetig zu einer Funktion f^\hat f fort.

    5. Bestimme die Asymptoten.

    6. Bestimme die Nullstellen.

    7. Bestimme die Extrempunkte.

    8. Bestimme das Monotonieverhalten.

    9. Berechne die Wendepunkte.

    10. Bestimme das Kr√ľmmungsverhalten.

    11. Berechne den Wertebereich.

    12. Zeichne den Graph.

    13. √úberpr√ľfe das Symmetrieverhalten.

    14. Bestimme die Tangente zur Funktion ff am allgemeinen Punkt (p‚ą£f(p))(p|f(p)).

    15. Bestimme die Schnittpunkte des Funktionsgraphen GfG_f von ff mit dem Funktionsgraphen GgGg von der Funktion

    16. Berechne die Stammfunktion.

    17. Bestimme die Gr√∂√üe der Fl√§che zwischen dem Graphen der Funktion ff, der x-Achse und den Geraden x=‚ąí0,5x=-0{,}5 und x=0,5x=0{,}5.

    18. Bestimme die Gr√∂√üe der Fl√§che die der Graph der stetigen Funktion f^\widehat{f} mit dem Graphen der Tangente von f^\widehat{f} am Punkt (1‚ąí1e‚ą£4e)\displaystyle \left(1-\frac{1}{e}\left|\frac{4}{e}\right)\right. einschlie√üt.

      Hinweis: Runde die Integrationsgrenzen und das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen

    19. Berechne den Umfang und den Flächeninhalt des Vierecks Nst1TPNst2HP\mathrm{Nst}_1\mathrm{TP}\mathrm{Nst}_2\mathrm{HP}

      Runde Zwischenergebnisse notfalls auf zwei Nachkommastellen.

      Das ist keine typische Analysisaufgabe, sondern eher ein kurzer Abstecher in die Geometrie. Willst du nur Analysis √ľben, dann kannst du diese Aufgabe gerne ignorieren.

  2. 2

    Es ist folgende Funktionenschar gegeben:

    fk(x)=e‚ąíkx,k‚ąąRf_k\left(x\right)= e^{-\sqrt{kx}}, k\in\mathbb{R}

    In den Teilaufgaben findest du vieles, das du f√ľr diese Funktion berechnen kannst.

    Suche dir heraus, was du √ľben m√∂chtest.

    Die Teilaufgaben sind in einer logischen Reihenfolge angeordnet, daher wird in sp√§teren Aufgaben auf Ergebnisse von fr√ľher zur√ľckgegriffen.

    Wenn dir nicht klar ist, woher diese Ergebnisse kommen, dann rechne am besten die zugehörige Teilaufgabe davor nach.

    1. Definitionsbereich bestimmen

    2. Grenzwertbetrachtungen: Bestimme die Grenzwerte an allen Grenzen des Definitionsbereichs.

    3. Asymptoten bestimmen

    4. Nullstellen bestimmen

    5. Symmetrieverhalten √ľberpr√ľfen

    6. Monotonieverhalten bestimmen

    7. Kr√ľmmungsverhalten bestimmen

    8. Extremwerte bestimmen

    9. Wertebereich bestimmen

    10. Tangente bestimmen:

      Bestimme die Tangente an den Funktionsgraphen von fk(x)f_k(x), die¬† f√ľr k<0k < 0 auch durch den Punkt P1(‚ąí1‚ą£0)P_1(-1|0) geht und f√ľr k>0k > 0 durch den Punkt P2(1‚ą£0)P_2(1|0).

    11. Stammfunktion I:

      Zeige, dass

      Fk(x)=‚ąí2‚čÖe‚ąíkx(kx+1)k\displaystyle{F}_ k\left( x\right)=-\frac{2\cdot e^{-\sqrt{kx}}\left(\sqrt{kx}+1\right)}{\mathrm k}

      eine Stammfunktion von fk(x)f_k(x) f√ľr k‚Ȇ0k\neq 0 ist.

    12. Stammfunktion II:

      Bestimme durch Rechnung die Stammfunktion von fkf_k .

       

      Achtung, diese Integration ist etwas schwieriger und erfordert mehr Überlegungen und Rechenschritte, als in der Schule normalerweise verlangt werden. Wer allerdings ein paar Tricks beim Integrieren ausprobieren/lernen will kann die Aufgabe gerne bearbeiten oder sich die Lösung anschauen.

      F√ľr alle Anderen reicht es, die Aufgabe "Stammfunktion I" zu bearbeiten, die normalem Schulniveau entspricht.

    13. Flächenberechnung I:

      Berechne die Fläche, die der Funktionsgraph mit den Koordinatenachsen einschließt.

    14. Flächenberechnung II:

      Berechne die Fl√§che die von der x-Achse, den Geraden x=‚ąí1,x=1x=-1, x=1 und dem Graphen von f1(‚ą£x‚ą£)f_1(|x|) eingeschlossen wird.

    15. Graphen zeichnen:

      Zeichne folgende Graphen f√ľr k=¬Ī3k= \pm 3 in ein oder mehrere Koordinatensysteme:

      Gf{\mathrm G}_ f mit seinen Asymptoten Gf′,GF\mathrm G_{f'}, G_F und GTG_T

  3. 3

    Es ist folgende Funktion gegeben:

    In den folgenden Teilaufgaben werden verschiedene Teile einer Kurvendiskussion abgefragt.

    Suche dir das heraus, was du √ľben m√∂chtest.

    Bei sp√§teren Teilaufgaben kann auf fr√ľhere Ergebnisse zur√ľckgegriffen werden.

    Ist dir nicht sofort klar, woher diese Ergebnisse kommen, dann bearbeite zun√§chst diese fr√ľheren Teilaufgaben zur Wissensauffrischung.

    1. Bestimme den maximalen Definitionsbereich der Funktion.

    2. Bestimme die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

    3. Gib die Asymptoten der Funktion an.

    4. √úberpr√ľfe die Funktion auf Achsensymmetrie bez√ľglich der y-Achse und Punktsymmetrie zum Ursprung.

    5. Bestimme die Tangente an die Funktion an der Stelle

    6. Hat die Funktion Extremstellen? Bestimme sie gegebenenfalls.

  4. 4

    Im Labor wird eine Maispflanze beobachtet, um den Wachstumsverlauf zu erforschen. Dazu beginnen die Forscher ihre Aufzeichnungen mit einem Setzling zum Zeitpunkt t=0 und messen die H√∂he der Pflanze kontinuierlich √ľber die n√§chsten sieben Monate.

    Die folgende Funktion h(t)h(t) konnten die Forscher dabei aufzeichnen:

    Skizze der Funktion h

    Die Funktion kann modellhaft durch die Funktion h(t)=1,5etet+15h(t) = \dfrac{1{,}5e^t}{e^t+15} beschrieben werden.

    Dabei ist tt die Zeit in Monaten, die seit Beobachtungsbeginn vergangen ist.

    h(t)h(t) ist die Höhe zur Zeit tt in Metern, die die Maispflanze groß ist.

    1. Berechne die Größe in Zentimeter des Setzlings zu Beginn der Beobachtung!

    2. Berechne, wie viele Zentimeter die Maispflanze in den ersten sechs Wochen nach Aufzeichnungsbeginn gewachsen ist!

    3. Zu welchem Zeitpunkt tt ist das Wachstum der Pflanze maximal?

      Bestimme die Wachstumsrate zu diesem Zeitpunkt in Zentimeter pro Tag!

    4. Bestimme die maximal zu erreichende Höhe dieser Maissorte, indem du den Grenzwert von h(x) gegen Unendlich betrachtest.

    5. Wie m√ľsste die passende Funktionsgleichung h2(t)h_2(t) aussehen, wenn die Pflanze zu Anfang dieselbe H√∂he h√§tte, also h(0)=h2(0)h(0) = h_2(0), aber jede weitere H√∂he von h(t)h(t) exakt in der H√§lfte der Zeit von h2(t)h_2(t) erreicht wird ?

    6. Betrachte Teilaufgabe e)e). Begr√ľnde, warum die anderen beiden Antworten nicht richtig sein k√∂nnen!

    7. Betrachte Teilaufgabe e)e). Gebe den entsprechenden Wert von kk an!

  5. 5

    Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion g(x)=‚ąíx2‚čÖx+2g(x)=-\frac{x}{2}\cdot\sqrt{x+2}.

    Wurzelfunktion
    1. Gib den maximalen Definitionsbereich der Funktion gg an.

    2. Berechne die Nullstellen.

    3. Skaliere in der Abbildung die Koordinatenachsen.

    4. Bestimme die Koordinaten des Hochpunktes von g.

      Die Untersuchung der notwendigen Bedingung ist ausreichend.

  6. 6

    GfG_f ist der achsensymmetrische Graph einer Funktion 4. Grades.

    Erläutere nur unter Bezugnahme auf Symmetrie und Globalverlauf des Graphen, warum nur Funktionsterm f4f_4 infrage kommt.

    Bild

    f1(x)=‚ąí0,1x4+x2‚ąí0,5f2(x)=0,1x4+x3‚ąí0,5f3(x)=0,1x3+x‚ąí0,5f4(x)=0,1x4‚ąíx2‚ąí0,5\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ll} f_1(x)&=-0{,}1x^4+x^2-0{,}5\\ f_2(x)&=0{,}1x^4+x^3-0{,}5\\ f_3(x)&=0{,}1x^3+x-0{,}5\\ f_4(x)&=0{,}1x^4-x^2-0{,}5 \end{array}

  7. 7

    Graphenzuordnung

  8. 8

    Um das Monotonieverhalten (steigend/fallend) und das Kr√ľmmungsverhalten (links- oder rechtsgekr√ľmmt) zu untersuchen, kannst du √§hnliche Methoden verwenden.

    In dieser Aufgabe sollst du dir Gedanken √ľber die Gemeinsamkeiten und Unterschiede machen.

    1. Egal, ob du später eine Skizze oder eine Tabelle anfertigen wirst (oder sogar mit einer höheren Ableitung arbeiten wirst), zunächst musst du Vorarbeit leisten.

      Vergleiche, wie du die Kandidaten f√ľr Extrem- und Wendestellen bekommst.

    2. Du untersuchst das Monotonie- und Kr√ľmmungsverhalten mithilfe einer Skizze. Wodurch unterscheiden sich die Skizzen zur Monotonie und zur Kr√ľmmung?

    3. Statt mit einer Skizze kannst du das Monotonie- und Kr√ľmmungsverhalten auch mithilfe von Tabellen untersuchen. Wodurch unterscheiden sich die Monotonietabelle und die Kr√ľmmungstabelle voneinander?

  9. 9

    Gegeben ist die Funktion f(x)=ex2‚ąí2xf(x)=e^{x^2-2x} mit Df=RD_f=\R und dem Graph GfG_f.

    1. Bestimme die Art und Lage des Extrempunktes.

    2. Untersuche, ob der Graph Wendepunkte besitzt und gib sein Kr√ľmmungsverhalten an. Folgere daraus, ob es Stellen st√§rkster Zu- oder Abnahme gibt.

    3. Bestimme die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

    4. Gib den Globalverlauf von f f√ľr x‚Üí¬Ī‚ąěx\to\pm\infty an.

    5. Zeichne den Graphen GfG_f f√ľr x‚ąą[0;2,5]x\in [0;2{,}5], wobei auf beiden Achsen 2cm=^1LE2cm\hat{=}1 LE gilt.


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