Aufgaben zur Kurvendiskussion

Es ist folgende Funktion gegeben:

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\displaystyle \sf \style{font-size:14px}{ f\left( x\right)=\dfrac{\left(2 x^2-2\right)\cdot\ln\left(\left( x-1\right)^2\right)}{1+ x}}

In den Teilaufgaben findest du alles, was du für diese Funktion berechnen könntest.

Suche dir das heraus, was du üben möchtest.

Bei späteren Teilaufgaben kann auf frühere Ergebnisse zurückgegriffen werden.

Ist dir nicht sofort klar, woher diese Ergebnisse kommen, dann bearbeite zunächst diese früheren Teilaufgaben zur Wissensauffrischung.

Definitionsbereich und Art der Definitionslücken bestimmen.

Funktionsgleichung vereinfachen

Grenzwertbetrachtungen

Stetige Fortsetzung:

Setze die Funktion $\sf f$ - wenn möglich - stetig zu einer Funktion $\sf \hat f$ fort.

Asymptoten bestimmen

Nullstellen bestimmen

Extrempunkte bestimmen

Monotonieverhalten bestimmen

Wendepunkte bestimmen

Krümmungsverhalten bestimmen

Wertebereich bestimmen

Graph zeichnen

Symmetrieverhalten überprüfen

Tangente bestimmen:

Bestimme die Tangente zur Funktion f am allgemeinen Punkt $\sf (p|f(p))$ .

Schnittpunkte zweier Funktiongraphen: Bestimme die Schnittpunkte des Funktionsrgaphen $\sf G_f$ von $\sf f$ mit dem Funktionsgraphen $\sf Gg$ von der Funktion

$\sf g:x\mapsto2\left( x-1\right)\cdot\ln\left( x\right), \mathbb{D}_g=\mathbb{R}^+$ .

Stammfunktion finden

Flächenberechnung:

Bestimme die Größe der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion $\sf f$ , der x-Achse und den Geraden $\sf x=-0{,}5$ und $\sf x=0{,}5$ .

Flächenberechnung II:

Bestimme die Größe der Fläche die der Graph der stetigen Funktion $\sf \widehat{f}$ mit dem Graphen der Tangente von $\sf \widehat{f}$ am Punkt $\sf \left(1-\dfrac{1}{e}\left|\dfrac{4}{e}\right)\right.$ einschliesst.

Hinweis: Runde die Integrationsgrenzen und das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen

Geometrie am Funktionsgraphen:

Berechne den Umfang und den Flächeninhalt des Vierecks $\sf {Nst}_1{TP}{Nst}_2{HP}$

Runde Zwischenergebnisse notfalls auf zwei Nachkommastellen.

Das ist keine typische Analysisaufgabe, sondern eher ein kurzer Abstecher in die Geometrie. Willst du nur Analysis üben, dann kannst du diese Aufgabe gerne ignorieren.

Es ist folgende Funktionenschar gegeben:

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\displaystyle \sf \style{font-size:14px}{ f\left( x\right)=\dfrac{\left(2 x^2-2\right)\cdot\ln\left(\left( x-1\right)^2\right)}{1+ x}}

In den Teilaufgaben findest du vieles, das du für diese Funktion berechnen kannst.

Suche dir heraus, was du üben möchtest.

Die Teilaufgaben sind in einer logischen Reihenfolge angeordnet, daher wird in späteren Aufgaben auf Ergebnisse von früher zurückgegriffen.

Wenn dir nicht klar ist, woher diese Ergebnisse kommen, dann rechne am besten die zugehörige Teilaufgabe davor nach.

Definitionsbereich bestimmen

Grenzwertbetrachtungen: Bestimme die Grenzwerte an allen Grenzen des Definitionsbereichs.

Asymptoten bestimmen

Nullstellen bestimmen

Symmetrieverhalten überprüfen

Monotonieverhalten bestimmen

Krümmungsverhalten bestimmen

Extremwerte bestimmen

Wertebereich bestimmen

Tangente bestimmen:

Bestimme die Tangente an den Funktionsgraphen von $\sf f_k(x)$ , die für $\sf k < 0$ auch durch den Punkt $\sf P_1(-1|0)$ geht und für $\sf k > 0$ durch den Punkt $\sf P_2(1|0)$ .

Stammfunktion I:

Zeige, dass

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\displaystyle \sf \style{font-size:14px}{ f\left( x\right)=\dfrac{\left(2 x^2-2\right)\cdot\ln\left(\left( x-1\right)^2\right)}{1+ x}}

eine Stammfunktion von $\sf f_k(x)$ für $\sf k\neq 0$ ist.

Stammfunktion II:

Bestimme durch Rechnung die Stammfunktion von $\sf f_k$ .

Achtung, diese Integration ist etwas schwieriger und erfordert mehr Überlegungen und Rechenschritte, als in der Schule normalerweise verlangt werden. Wer allerdings ein paar Tricks beim Integrieren ausprobieren/lernen will kann die Aufgabe gerne bearbeiten oder sich die Lösung anschauen.

Für alle Anderen reicht es, die Aufgabe "Stammfunktion I" zu bearbeiten, die normalem Schulniveau entspricht.

Flächenberechnung I:

Berechne die Fläche, die der Funktionsgraph mit den Koordinatenachsen einschließt.

Flächenberechnung II:

Berechne die Fläche die von der x-Achse, den Geraden $\sf x=-1, x=1$ und dem Graphen von $\sf f_1(|x|)$ eingeschlossen wird.

Graphen zeichnen:

Zeichne folgende Graphen für $\sf k= \pm 3$ in ein oder mehrere Koordinatensysteme:

$\sf { G}_ f$ mit seinen Asymptoten $\sf G_{f'}, G_F$ und $\sf G_T$

Es ist folgende Funktion gegeben:

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\displaystyle \sf \style{font-size:14px}{ f\left( x\right)=\dfrac{\left(2 x^2-2\right)\cdot\ln\left(\left( x-1\right)^2\right)}{1+ x}}

In den folgenden Teilaufgaben werden verschiedene Teile einer Kurvendiskussion abgefragt.

Suche dir das heraus, was du üben möchtest.

Bei späteren Teilaufgaben kann auf frühere Ergebnisse zurückgegriffen werden.

Ist dir nicht sofort klar, woher diese Ergebnisse kommen, dann bearbeite zunächst diese früheren Teilaufgaben zur Wissensauffrischung.

Bestimme den maximalen Definitionsbereich der Funktion.

Bestimme die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

Gib die Asymptoten der Funktion an.

Überprüfe die Funktion auf Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse und Punktsymmetrie zum Ursprung.

Bestimme die Tangente an die Funktion an der Stelle

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\displaystyle \sf \style{font-size:14px}{ f\left( x\right)=\dfrac{\left(2 x^2-2\right)\cdot\ln\left(\left( x-1\right)^2\right)}{1+ x}}

Hat die Funktion Extremstellen? Bestimme sie gegebenenfalls.

Im Labor wird eine Maispflanze beobachtet, um den Wachstumsverlauf zu erforschen. Dazu beginnen die Forscher ihre Aufzeichnungen mit einem Setzling zum Zeitpunkt t=0 und messen die Höhe der Pflanze kontinuierlich über die nächsten sieben Monate.

Die folgende Funktion $\sf h(t)$ konnten die Forscher dabei aufzeichnen:

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Die Funktion kann modellhaft durch die Funktion $\sf h(t) = \dfrac{1{,}5e^t}{e^t+15}$ beschrieben werden.

Dabei ist $\sf t$ die Zeit in Monaten, die seit Beobachtungsbeginn vergangen ist.

$\sf h(t)$ ist die Höhe zur Zeit $\sf t$ in Metern, die die Maispflanze groß ist.

Berechne die Größe in Zentimeter des Setzlings zu Beginn der Beobachtung!

Berechne, wie viele Zentimeter die Maispflanze in den ersten sechs Wochen nach Aufzeichnungsbeginn gewachsen ist!

Zu welchem Zeitpunkt $\sf t$ ist das Wachstum der Pflanze maximal?

Bestimme die Wachstumsrate zu diesem Zeitpunkt in Zentimeter pro Tag!

Bestimme die maximal zu erreichende Höhe dieser Maissorte, indem du den Grenzwert von h(x) gegen Unendlich betrachtest.

Wie müsste die passende Funktionsgleichung $\sf h_2(t)$ aussehen, wenn die Pflanze zu Anfang dieselbe Höhe hätte, also $\sf h(0) = h_2(0)$ , aber jede weitere Höhe von $\sf h(t)$ exakt in der Hälfte der Zeit von $\sf h_2(t)$ erreicht wird ?

Betrachte Teilaufgabe $\sf e)$ . Begründe, warum die anderen beiden Antworten nicht richtig sein können!

Betrachte Teilaufgabe $\sf e)$ . Gebe den entsprechenden Wert von $\sf k$ an!

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