Berechnung der Anfangshöhe des Setzlings

Um die Höhe des Setzlings zum Anfangszeitpunkt herauszufinden musst du den Funktionswert der Funktion $h(t)$ zum Zeitpunkt $t=0$ berechnen.

Setze dazu $t=0$ in $h(t)$ ein.

Berechne diesen Wert anschließend.

Rechne diesen Wert anschließend in Zentimeter um.

Der Setzling ist zu Anfang der Aufzeichnung $9{,}4\;cm$ hoch.

Wachstum der Pflanze in sechs Wochen

Um das Wachstum der Pflanze in den ersten sechs Wochen (=1,5 Monate) herauszufinden musst du die Differenz der Höhe nach sechs Wochen und der Anfangshöhe bilden.

$h_{\Delta6\text{Wochen}}=h(1{,}5)-h(0)$

Den Funktionswert der Anfangshöhe hast du bereits in der Aufgabe $a$ berechnet.

$h(0) = 9{,}4cm$

Du benötigst nun noch den Funktionswert der Höhe nach sechs Wochen.

$h(6 \text{ Wochen}) = h(1{,}5) = \dfrac{1{,}5 e^{1{,}5}}{e^{1{,}5}+15} \approx 0{,}345[m]$

Rechne diese Höhe in Zentimeter um!

$h(1{,}5) = 0{,}35\;m = 34{,}5\;cm$

Anschließend kannst du das Wachstum der Pflanze in den ersten sechs Wochen berechnen:

$h_{\Delta6\text{Wochen}}=h(1{,}5)-h(0) = 34{,}5 \;cm - 9{,}4\;cm =25{,}1\;cm$

Die Pflanze ist $25{,}1\;cm$ innerhalb der ersten sechs Wochen nach Beobachtungsbeginn gewachsen.

Maximale Wachstumsrate

Die Wachstumsrate der Pflanze wird durch die Steigung der Funktion beschrieben. Das bedeutet, du musst die maximale Steigung der Funktion finden.

Die Steigung der Funktion $h(t)$ findest du, indem du nach $t$ ableitest. Nutze dazu die Quotientenregel.

Vereinfache diese Ableitung, indem du $1{,}5e^t$ im Zähler ausklammerst.

Jetzt hast du eine Funktion, die die Steigung der Funktion beschreibt. Du willst nun das Maximum dieser Steigung herausfinden. Nutze dazu den Ansatz zur Extremwertbestimmung von Funktionen. Berechne dafür die zweite Ableitung mithilfe der Quotientenregel und der Kettenregel:

Diese Ableitung kannst du wiederum vereinfachen indem du zuerst $22{,}5e^t$ ausklammerst und die Klammern im Zähler ausrechnest.

Einen Extremwert der Steigung erhältst du, indem du die zweite Ableitung gleich Null setzt.

In diesem Fall reicht es, den Zähler des Bruchs zu betrachten.

Da $e^t$ niemals Null wird, reicht es wiederum nur die Klammer zu betrachten.

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{} \\-e^{2t} +&225 &= 0 &|+e^{2t} \\ &225 &= e^{2t} &| ln(…) \\ &ln(225) &= 2t &|:2 \\ &\dfrac{ln(225)}{2} &= t \\ & t & \approx 2{,}71\end{array}$

Da dies die einzige Extremstelle ist kannst du dir sicher sein, dass es der gefragte Maximalwert ist. Du erhältst also eine maximale Steigung zum Zeitpunkt $t=2{,}71$.

Das bedeutet: $2{,}71$ Monate nach Beobachtungsbeginn wächst die Maispflanze am stärksten.

Maximale Wachstumsrate

Um die maximale Wachstumsrate in $\frac{cm}{\text{Tag}}$ erhältst du indem du die maximale Steigung $h'(t=2{,}71)$ berechnest und anschließend in die gewünschte Einheit umrechnest.

Die Einheit $\frac{m}{Monate}$ erhältst du durch die Ableitung der Zeit. Aus $h(t)$ in $m$ wird also nach Ableitung durch $t$ in $Monaten$:

$h'(t)$ in $\frac{m}{Monate}$

Diese Einheit muss jetzt in $\frac{cm}{Tage}$ umgerechnet werden. Schreibe dazu die alte Einheit $\frac{m}{Monate}$ in $cm$ und $Tage$ um.

Nutze dazu die Umrechnung $30 \; Tage = 1 \;Monat$

Du erhältst also als maximale Wachstumsrate:

Die Pflanze wächst mit maximal $1{,}25 \frac{cm}{Tag}$.

Maximale Höhe der Maispflanze

Wenn man die Funktion nicht bei $7$ Monaten abbrechen würde, sondern weiterzeichnen, sieht man, dass die Funktion eine Art Plateau erreicht.

Der Wert dieses Plateaus scheint die maximale Höhe der Pflanze zu sein.

Aus diesem Grund kannst du den Grenzwert der Funktion bestimmen und diesen als maximale Höhe festlegen.

Bestimme dazu den Limes von $h(t)$ gegen unendlich.

Den Bruch kannst du aufteilen und die Grenzwerte für den Zähler und Nenner getrennt betrachten:

Im Nenner spielen die $+15$ keine Rolle mehr. Es bleibt übrig:

Du erhältst nach kürzen einen Grenzwert von $1{,}5 \; m$. Das bedeutet, die maximale Höhe der Pflanze beträgt $1{,}5\;m$.

Begründung der Lösung

Die Lösungen

$I \; \; \;\; \; h_2(t) = \dfrac{1{,}5e^{t+k}}{e^{t+k}+15}$

und

$II \; \; \;\; \;h_2(t)=\dfrac{1{,}5e^t}{e^t+15}\cdot k$

aus Aufgabe $e)$ sind falsch.

Du sollst begründen, warum diese Lösungen nicht den geschilderten Sachkontext erfüllen können.

Betrachte dazu nochmal die Aussage, dass der Anfangswert der ursprünglichen Funktion $h(t)$ auch der Anfangswert der Funktion $h_2(t)$ ist. Wichtig ist noch, dass dieser Anfangswert $h(0) = h_2(0) \ne 0$. Das weißt du aus Aufgabe $a)$ oder kannst es aus der Zeichnung auslesen.

Betrachte zunächst $I$ und setze $t=0$ ein.

Das sollte nun gleich $h(0)$ sein.

$h(0) = \dfrac{1{,}5e^0}{e^0+15}=\dfrac{1{,}5}{16}$

Auf dieses Ergebnis kommt man mit $h_2$ aber nur, wenn $k=0$.

$h_2(t) = \dfrac{1{,}5e^{t+0}}{e^{t+0}+15} = \dfrac{1{,}5e^t}{e^t+15}$

Somit kann $I$ keine Lösung des Problems sein, da es mit $k=0$ dieselbe Funktion wie $h(t)$ ist.

Betrachte nun $II$ und setze $t=0$ ein.

$h_2(0)=\dfrac{1{,}5e^0}{e^0+15}\cdot k = h(0) \cdot k$

Für den ersten Teil dieses Terms kann man $h(0)$ einsetzen, da dies genau diesen Bruch ergibt. Da jetzt aber $h_2(0) = h(0)$ sein soll, müsste $k$ genau $1$ sein.

Wenn das so ist, erhältst du wie bei $I$ wiederum genau $h_2(t) = h(t)$, was das Problem nicht löst.

Aus diesem Grund muss die dritte Möglichkeit die Lösung des Problems sein.

$h_2(t) = \dfrac{1{,}5e^{kt}}{e^{kt}+15}$

Berechne damit nun die Aufgabe $g)$!

Bestimmung des Koeffizienten

Berechne nun den Koeffizienten $k$ in $h_2(t)$, so dass das in $e)$ beschriebene Problem gelöst wird.

Du weißt bereits, dass die Höhe $h(0) = h_2(0)$ ist. Außerdem kennst du den Funktionswert $h(1{,}5)=34{,}5\;cm$ aus der Aufgabe $b)$.

Betrachte nun den Wert $h(1{,}5)$ und überlege, wann $h_2(t)$ diese Höhe erreicht hat.

In der Problemstellung steht, dass $h_2$ diesen Wert in der Hälfte der Zeit erreicht. Die Zeit ist in diesem Fall $1{,}5$ Monate. Die Hälfte ist also somit $0{,}75$ Monate.

Jetzt kannst du den Funktionsterm aufstellen, da du weißt: $h_2 (0{,}75) = h(1{,}5)=0{,}345 \; m$.

Diese Gleichung musst du nun nur noch nach dem Koeffizienten $k$ auflösen.

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{} \\&0{,}345 &= &\dfrac{1{,}5e^{0{,}75 \cdot k}}{e^{0{,}75 \cdot k} + 15} &| \cdot (e^{0{,}75 \cdot k} + 15) \\&0{,}345 \cdot (e^{0{,}75k} + 15) &= &1{,}5 e^{0{,}75k} \\&0{,}345 e^{0{,}75k} + 5{,}175 &= &1{,}5 e^{0{,}75k} &|-0{,}345e^{0{,}75k}\\&5{,}175 &=&1{,}155e^{0{,}75k} &|ln(…)\\&ln(5{,}175) &= &1{,}155 \cdot 0{,}75k &|:(1{,}155 \cdot 0{,}75)\\&\dfrac{ln(5{,}175)}{0{,}86625} &= &k\end{array}$

Nach Berechnen mit dem Taschenrechner erhältst du:

Damit kannst du nun eine vollständige Funktionsgleichung aufstellen: