Aufgaben zur Kurvendiskussion - lernen mit Serlo!

Gegeben ist die Funktion $f(x)=e^{x^2-2x}$ mit $D_f=\R$ und dem Graph $G_f$ .

Bestimme die Art und Lage des Extrempunktes.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen

Du benötigst die Kettenregel, da du eine e-Funktion ableiten musst.

$f'(x)=(2x-2)e^{x^2-2x}$

Die Kandidaten für Extremstellen von $f$ liegen bei den Nullstellen von $f'$ :

$\displaystyle f'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \left(2x-2\right)e^{x^2-2x}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Nach dem Satz vom Nullprodukt kann man die Faktoren einzeln betrachten. Dabei liefert $e^{x^2-2x}$ keine Nullstellen, da $e^x>0$ für alle x.
$\displaystyle 2x-2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1$

Da die Nullstelle die Vielfachheit 1 hat, wird bei $x=1$ eine Extremstelle von f liegen.

Leite $f'(x)=(2x-2)e^{x^2-2x}$ nochmal ab, um die Art der Extremstelle mit der 2. Ableitung zu bestimmen. Du brauchst nun zusätzlich die Produktregel.

$\displaystyle f''\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2\cdot e^{x^2-2x}+\left(2x-2\right)\cdot\left(2x-2\right)e^{x^2-2x}$
	↓	Klammere $e^{x^2-2x}$ aus
	$=$	$\displaystyle e^{x^2-2x}\cdot\left(2+\left(2x-2\right)^2\right)$
	↓	Multipliziere mit der binomischen Formel aus.
	$=$	$\displaystyle e^{x^2-2x}\cdot\left(2+4x^2-8x+4\right)$
	$=$	$\displaystyle e^{x^2-2x}\cdot\left(4x^2-8x+6\right)$

Setze deinen gefundenen Kandidaten $x=1$ in die 2. Ableitung ein:

$f''(1)=e^{-1}\cdot 2>0$ und somit liegt bei $x=1$ ein Tiefpunkt.

Setze $x=1$ in f ein, um den zugehörigen Funktionswert zu bestimmen:

$f(1)=e^{-1}=\frac 1 e$

Der Graph hat also den Tiefpunkt $TIP(1|\frac 1 e)$

Hast du eine Frage oder Feedback?

Untersuche, ob der Graph Wendepunkte besitzt und gib sein Krümmungsverhalten an. Folgere daraus, ob es Stellen stärkster Zu- oder Abnahme gibt.

Gib den Globalverlauf von f für $x\to\pm\infty$ an.

$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}(e^{x^2-2x})$
	↓	Im Exponenten dominiert $"(-\infty)^2"="+\infty"$
	$=$	$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\left(e^{"+\infty"}\right)$
	↓	Verlauf der natürlichen Exponentialfunktion
	$=$	$\displaystyle +\infty$

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}(e^{x^2-2x})$
	↓	Im Exponenten dominiert $"(+\infty)^2"="+\infty"$
	$=$	$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\left(e^{"+\infty"}\right)$
	↓	Verlauf der natürlichen Exponentialfunktion
	$=$	$\displaystyle +\infty$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle e^{x^2-2x}$	$=$	$\displaystyle 0$