Hier darf der Wert unter Wurzel nicht negativ werden:

Hier musst du für den Definitionsbereich eine Fallunterscheidung machen:

Fall 1: $k<0\Rightarrow {\mathbb{D}}_f=]-\mathrm{\infty };0]k\; \backslash lt\; 0\; \backslash Rightarrow\; \backslash mathbb\{D\}\_f=\backslash left]-\backslash infty;0\backslash right]$

Die positiven Werte von x sind ausgeschlossen.

Fall 2: $k>0\Rightarrow {\mathbb{D}}_f=[0;\mathrm{\infty }[k>0\backslash Rightarrow\; \backslash mathbb\; \{D\}\_f=\backslash left[0;\backslash infty\backslash right[$

Die negativen Werte sind ausgeschlossen.

Fall 3: $k=0\Rightarrow {\mathbb{D}}_f=\mathbb{R}k=0\backslash Rightarrow\; \backslash mathbb\{D\}\_f=\backslash mathbb\{R\}$

Die Wurzel ist für alle x gleich 0.

Da es einen Parameter gibt, ist eine Fallunterscheidung nötig.

Fall 1:

${\mathbb{D}}_f=]-\mathrm{\infty };0]\backslash mathbb\{D\}\_\; f=\backslash left]-\backslash infty;0\backslash right]$

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{e}^{-\stackrel{\to 0}{\overbrace{\sqrt{kx}}}}=1}\backslash displaystyle\; \backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\; 0\}\; e^\{-\backslash overbrace\{\backslash sqrt\{kx\}\}^\{\backslash rightarrow0\}\}=1$

${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{\to 0}{\underbrace{e^{\stackrel{\to -\mathrm{\infty }}{\overbrace{-\stackrel{\to \mathrm{\infty }}{\overbrace{\sqrt{kx}}}}}}}}=0}\backslash displaystyle\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\; -\backslash infty\}\backslash underbrace\{e^\{\backslash overbrace\{-\backslash overbrace\{\backslash sqrt\{kx\}\}^\{\backslash to\backslash infty\}\}^\{\backslash to\; -\backslash infty\}\}\}\_\{\backslash to0\}=0$

Fall 2: $k>0k\; >\; 0$

${\mathbb{D}}_f=[0;\mathrm{\infty }[\backslash mathbb\{D\}\_f=\backslash left[0;\backslash infty\backslash right[$

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{e}^{-\stackrel{\to 0}{\overbrace{\sqrt{kx}}}}=1}\backslash displaystyle\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\; 0\}e^\{-\backslash overbrace\{\backslash sqrt\{kx\}\}^\{\backslash to0\}\}=1$

${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{\to 0}{\underbrace{e^{\stackrel{\to -\mathrm{\infty }}{\overbrace{-\stackrel{\to \mathrm{\infty }}{\overbrace{\sqrt{kx}}}}}}}}=0}\backslash displaystyle\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\; -\backslash infty\}\backslash underbrace\{e^\{\backslash overbrace\{-\backslash overbrace\{\backslash sqrt\{kx\}\}^\{\backslash to\; \backslash infty\}\}^\{\backslash to\; -\backslash infty\}\}\}\_\{\backslash to\; 0\}=0$

Fall 3: $k=0k\; =\; 0$

${\mathbb{D}}_f=(-\mathrm{\infty };\mathrm{\infty })\backslash mathbb\{D\}\_f=\backslash left(-\backslash infty;\backslash infty\backslash right)$

${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{\mathrm{e}}^{-\sqrt{\mathrm{k}\mathrm{x}}}=\underset{\mathrm{x}\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{\mathrm{e}}^{-0}=1}\backslash displaystyle\; \backslash lim\_\{\backslash mathrm\; x\backslash rightarrow-\backslash infty\}\backslash mathrm\; e^\{-\backslash sqrt\{\backslash mathrm\{kx\}\}\}=\backslash lim\_\{\backslash mathrm\; x\backslash rightarrow-\backslash infty\}\backslash mathrm\; e^\{-0\}=1$

${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\mathrm{e}}^{-\sqrt{\mathrm{k}\mathrm{x}}}=1}\backslash displaystyle\; \backslash lim\_\{\backslash mathrm\; x\backslash rightarrow\backslash infty\}\backslash mathrm\; e^\{-\backslash sqrt\{\backslash mathrm\{kx\}\}\}=1$

Waagerechte Asymptoten

Fall 1:

${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{f}_k\left(x\right)=0}\backslash displaystyle\backslash lim\_\{\; x\backslash rightarrow-\backslash infty\}\{\; f\}\_\; k\backslash left(\; x\backslash right)=0$

Eine waagerechte Asymptote ist $y=0y=0$.

Fall 2: $k>0k\; >\; 0$

${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_k\left(x\right)=0}\backslash displaystyle\backslash lim\_\{\; x\backslash rightarrow\backslash infty\}\{\; f\}\_\; k\backslash left(\; x\backslash right)=0$

Eine waagerechte Asymptote ist $y=0y=0$.

Fall 3: $k=0k\; =\; 0$

$f_0(x)=e^{-\sqrt{0\cdot x}}=e^0=1f\_0(x)=e^\{-\backslash sqrt\{0\backslash cdot\; x\}\}=e^0=1$

Die Grenzwerte existieren zwar (siehe Teilaufgabe b), aber es gibt keine Asymptote, da die Funktion überall den Funktionswert 1 hat und sich ihm nicht bloß annähert.

Senkrechte Asymptoten

Senkrechte Asymptoten gibt es an den Stellen der Definitionslücken. Solche gibt es hier nicht.

Die e-Funktion $e^{x}e^x$ hat die Wertemenge $W={\mathbb{R}}^{+}W=\backslash mathbb\; R^+$, das heißt, sie ist im ganzen Definitionsbereich positv und schneidet nie die x-Achse. Da die Funktion $f_{k}f\_k$ keine Verschiebung der e-Funktion nach oben oder unten bewirkt, hat sie ebenfalls keine Nullstellen.

Fälle 1 und 2: $k\mathrm{\ne }0k\; \backslash neq\; 0$

Die Funktion ist hier nur auf jeweils einer Hälfte der x-Achse definiert. Deshalb kann sie nicht symmetrisch zur y-Achse oder zum Urpsrung sein.

Fall 3: $k=0k\; =\; 0$

Bemerkung: Für $k=0k\; =\; 0$ gilt auch Punktsymmetrie zum Punkt $(0\mathrm{\mid }1)(\; 0\; |\; 1\; )$, aber das nur zur Information

1. Ableitung

Für $k\mathrm{\ne }0k\backslash \; \backslash ne0$:

${\displaystyle {f_k}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=e^{-\sqrt{kx}}\cdot \frac{-1}{2\sqrt{kx}}\cdot k}\backslash displaystyle\; \{f\_\; k\}\text{'}\backslash left(\; x\backslash right)=\; e^\{-\backslash sqrt\{kx\}\}\backslash cdot\backslash frac\{-1\}\{2\backslash sqrt\{kx\}\}\backslash cdot\; k$

Dabei haben wir ist die Kettenregel verwendet.

Für $k=0k\; =\; 0$ gilt:

$f_0\left(x\right)=1\Rightarrow f_0^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=0f\_0\backslash left(x\backslash right)=1\backslash Rightarrow\; f\_0\text{'}\backslash left(x\backslash right)=0$

$ff$ ist konstant, also ist $f^{\mathrm{\prime }}f\text{'}$ gleich null.

Monotonieverhalten

Fall 1:

Hier müssen wir beachten, dass der Definitionsbereich nur negative $xx$-Werte enthält.

Also ist für $f_{k}f\_k$ streng monoton wachsend.

Fall 2: $k>0k\; >\; 0$

Hier liegen nur positive $xx$-Werte im Definitionsbereich.

Also ist für $k>0k>0$ $f_{k}f\_k$ streng monoton fallend.

Fall 3: $k=0k\; =\; 0$

$f_0^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=0f\_0\text{'}\backslash left(x\backslash right)=0$

Für $k=0k\; =\; 0$ ist $f_{k}f\_k$ konstant und somit sowohl monoton fallend als auch wachsend.

2. Ableitung

Hier ist für die 2. Ableitung die Quotientenregel und die Kettenregel nötig.

Für $k\mathrm{\ne }0k\; \backslash neq\; 0$ gilt:

Krümmungsverhalten

Fall 1:

Für ist $f_{k}f\_k$ linksgekrümmt.

Fall 2: $k>0k\; >\; 0$

${\displaystyle {f_k}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{\stackrel{>0}{\overbrace{k}}\cdot \stackrel{>0}{\overbrace{e^{-\sqrt{kx}}\cdot (1+\frac{1}{\sqrt{kx}})}}}{\underset{>0}{\underbrace{4x}}}>0}\backslash displaystyle\{f\_k\}\text{'}\text{'}\backslash left(\; x\backslash right)=\backslash frac\{\backslash overbrace\{k\}^\{>0\}\; \backslash cdot\; \backslash overbrace\{e^\{-\backslash sqrt\{kx\}\}\; \backslash cdot\; \backslash left(1+\backslash dfrac\{1\}\{\backslash sqrt\{kx\}\}\backslash right)\}^\{>0\}\}\{\backslash underbrace\{4x\}\_\{>0\}\}>0$

Für $k>0k\; >\; 0$ ist $f_{k}f\_k$linksgekrümmt.

Fall 3: $k=0k\; =\; 0$

$f_0^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=0\Rightarrow f_0^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\left(x\right)=0f\_0\text{'}\backslash left(x\backslash right)=0\backslash Rightarrow\; f\_0\text{'}\text{'}\backslash left(x\backslash right)=0$

Für $k=0k\; =\; 0$ ist $f_{k}f\_k$ nicht gekrümmt.

Nullstellen der ersten Ableitung

Die erste Ableitung ist für alle $k\mathrm{\ne }0k\; \backslash neq\; 0$ ungleich 0.

Für $k=0k=0$ aber ist die Ableitung konstant.

Deshalb gibt es keine lokalen Extrema.

Funktionswerte an den Grenzen des Definitionsbereichs

${\displaystyle f_k\left(0\right)=e^{-\sqrt{0}}=1=\max \left\{f_k\left(x\right)\right\}}\backslash displaystyle\; \{f\_k\}\backslash left(0\backslash right)=\; e^\{-\backslash sqrt\{0\}\}=1=\backslash max\backslash left\backslash \{\{f\}\_k\backslash left(\; x\backslash right)\backslash right\backslash \}$

An eingeschlossenen Definitionsgrenzen kann eine Funktion auch ein lokales Maximum oder Minimum annehmen. Das ist hier der Fall. Deshalb gibt es einen Hochpunkt, obwohl der Funktionsgraph streng monoton steigt/fällt.

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ HP $(0\mathrm{\mid }1)(0|1)$ für $k\mathrm{\ne }0k\backslash neq\; 0$

kein Extremum für $k=0k=0$

Was du weißt:

Aus den Informationen kannst du ablesen, das sich die Funktion zwischen 0 und 1 bewegt. Die 1 wird angenommen, die 0 nicht.

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ keine Nullstellen

Bemerkung: Die Menge $\{1\}\backslash \{1\backslash \}$ enthält als einzigen Punkt die 1; sie ist kein Intervall. Aber konstante Funktionen nehmen eben nur einen $yy$-Wert an.

1. Tangente:

$T_1:x\mapsto m_{1}x+t_1\{T\}\_1:\; x\backslash mapsto\{\; m\}\_1\; x+\{\; t\}\_1$

Den gegebenen Punkt $P_{1}P\_1$ kannst du einsetzen.

$0=-m_1+t_{1}0=-m\_1+t\_1$

Außerdem gilt für den Berührpunkt $(x_0\mathrm{\mid }{f}_k(x_0))\backslash left(x\_0|f\_k(x\_0)\backslash right)$ an der Funktion:

$f_k\left(x_0\right)={f_k}^{\mathrm{\prime }}\left(x_0\right)x_0+t_1\{f\}\_\; k\backslash left(\{x\}\_0\backslash right)=\{f\_k\}\text{'}\backslash left(\{x\}\_0\backslash right)\{x\}\_0+\{t\}\_1$

Löse dann nach dem Einsetzen nach $x_{0}x\_0$ auf, um den Berührpunkt zu erhalten.

Hier kannst du jetzt die Mitternachtsformel anwenden:

Betrachte jetzt die Klammer.

Die Funktion ist linksgekrümmt. Es kann daher nur einen Berührpunkt geben.

Der liegt auch näher an der 0 als die Nullstelle der Tangente, weil auch die Tangente streng monoton wächst.

Du nimmst also das Minuszeichen, um weiterzurechnen (beachte, dass hier ist).

$x_0=\frac{1}{k}(2-k-2\sqrt{1-k})x\_0=\backslash frac\{1\}\{k\}\backslash left(2-\; k-2\backslash sqrt\{1-\; k\}\backslash right)$

Für dieses $x_{0}x\_0$ erhältst du nun die Steigung und mit der obigen Gleichung den y-Achsenabschnitt.

${\displaystyle {f_k}^{\mathrm{\prime }}\left(x_0\right)=\frac{-k\cdot e^{-\sqrt{2-k-2\sqrt{1-k}}}}{2\sqrt{2-k-2\sqrt{1-k}}}=m_1=t_1}\backslash displaystyle\{f\_\; k\}\text{'}\backslash left(\{x\}\_0\backslash right)=\backslash frac\{-\; k\backslash cdot\; e^\{-\backslash sqrt\{2-\; k-2\backslash sqrt\{1-\; k\}\}\}\}\{2\backslash sqrt\{2-\; k-2\backslash sqrt\{1-\; k\}\}\}=m\_1=\{\; t\}\_1$

Du erhältst als Tangentengleichung

${\displaystyle \Rightarrow y=\frac{-k\cdot e^{-\sqrt{2-k-2\sqrt{1-k}}}}{2\sqrt{2-k-2\sqrt{1-k}}}x-\frac{k\cdot e^{-\sqrt{2-k-2\sqrt{1-k}}}}{2\sqrt{2-k-2\sqrt{1-k}}}}\backslash displaystyle\backslash Rightarrow\; y=\backslash frac\{-\; k\backslash cdot\; e^\{-\backslash sqrt\{2-\; k-2\backslash sqrt\{1-\; k\}\}\}\}\{2\backslash sqrt\{2-\; k-2\backslash sqrt\{1-\; k\}\}\}\; x-\backslash frac\{\; k\backslash cdot\; e^\{-\backslash sqrt\{2-\; k-2\backslash sqrt\{1-\; k\}\}\}\}\{2\backslash sqrt\{2-\; k-2\backslash sqrt\{1-\; k\}\}\}$

2. Tangente: k > 0

Hier kannst du die Tangente auch wieder normal ausrechnen.

Es fällt jetzt aber leichter, da du nur dieselben Schritte erneut ausführen musst und sich dabei nur Vorzeichen umdrehen, da jetzt mit $P_{2}P\_2$ eingesetzt $t_2=-m_{2}t\_2=-m\_2$ gilt.

Du erhältst schließlich $T_2:T\_2:$

${\displaystyle \Rightarrow y=\frac{-k\cdot e^{-\sqrt{2+k-2\sqrt{1+k}}}}{2\sqrt{2+k-2\sqrt{1+k}}}x+\frac{k\cdot e^{-\sqrt{2+k-2\sqrt{1+k}}}}{2\sqrt{2+k-2\sqrt{1+k}}}}\backslash displaystyle\backslash Rightarrow\; y=\backslash frac\{-\; k\backslash cdot\; e^\{-\backslash sqrt\{2+\; k-2\backslash sqrt\{1+\; k\}\}\}\}\{2\backslash sqrt\{2+\; k-2\backslash sqrt\{1+\; k\}\}\}\; x+\backslash frac\{\; k\backslash cdot\; e^\{-\backslash sqrt\{2+\; k-2\backslash sqrt\{1+\; k\}\}\}\}\{2\backslash sqrt\{2+\; k-2\backslash sqrt\{1+\; k\}\}\}$

Um eine Stammfunktion zu finden, musst du eigentlich integrieren.

Hast du aber eine Funktion gegeben von der du nur zeigen musst, dass sie eine Stammfunktion ist, dann reicht es diese Funktion abzuleiten. Siehe dazu den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung .

Mit Hilfe der Produktregel und ein bisschen umformen erhältst du die Lösung:

Die Ableitung ist die Funktion $ff$ und damit ist $FF$ auch eine Stammfunktion.

Es gilt, das Integral $\int e^{-\sqrt{kx}}\mathrm{d}x\backslash int\; e^\{-\backslash sqrt\{kx\}\}\backslash mathrm\{d\}x$ zu bestimmen. Dafür sind einige Schritte nötig.

1. Substitution

Du substituierst:

Du nutzt hier aus, dass sich die Wurzel beim Ableiten reproduziert, also als Funktion wieder auftaucht.

Der Ausdruck $\frac{du}{dx}\backslash frac\{du\}\{dx\}$ beschreibt die Ableitung von $uu$ nach $xx$.

Ersetze die Ausdrücke im Integral.

${\displaystyle F_k\left(u\right)=\int e^u\frac{2}{k}u\mathrm{d}u}\backslash displaystyle\{F\}\_\; k\backslash left(\; u\backslash right)=\backslash int\; e^\; u\backslash frac2\{\; k\}\; u\backslash ;\backslash mathrm\{d\}u$

Das sieht schon schöner aus. Jetzt kannst du integrieren.

2. Partielle Integration

Du integrierst partiell mit:    $\begin{array}{c}v\left(u\right)=e^u,v^{\mathrm{\prime }}\left(u\right)=e^u\\ w\left(u\right)=u,w^{\mathrm{\prime }}\left(u\right)=1\end{array}\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash begin\{array\}\{l\}\; v\backslash left(\; u\backslash right)=\; e^u,\; v\text{'}\backslash left(\; u\backslash right)=\; e^\; u\backslash \backslash \; w\backslash left(\; u\backslash right)=\; u,\; w\text{'}\backslash left(\; u\backslash right)=1\; \backslash end\{array\}$

${\displaystyle \begin{array}{c}\int e^u\frac{2}{k}u\mathrm{d}u=\frac{2}{k}\int e^{u}u\mathrm{d}u=\\ =\frac{2}{k}(e^{u}u-\int e^u\mathrm{d}u)=\frac{2}{k}(e^{u}u-e^u)\\ =\frac{2e^u(u-1)}{k}\end{array}}\backslash def\backslash arraystretch\{2\}\; \backslash displaystyle\backslash begin\{array\}\{l\}\backslash int\; e^\; u\backslash frac2\{\; k\}\; u\backslash mathrm\{d\}u=\backslash frac2\{\; k\}\backslash int\; e^\; u\; u\backslash mathrm\{d\}u=\backslash \backslash =\backslash frac\{2\}\{\; k\}\backslash left(\; e^\; u\; u-\backslash int\; e^\; u\backslash mathrm\{d\}u\backslash right)=\backslash frac\{2\}\{k\}\backslash left(\; e^\; u\; u-\; e^\; u\backslash right)\backslash \backslash =\backslash frac\{2\; e^\; u\backslash left(\; u-1\backslash right)\}\{\; k\}\backslash end\{array\}$

Jetzt ist das Integralzeichen weg. Du bist fast am Ziel.

3. Resubstitution

Nun musst du nur noch resubstituieren…

${\displaystyle \frac{2e^u(u-1)}{k}=\frac{2e^{-\sqrt{kx}}(-\sqrt{kx}-1)}{k}=-\frac{2e^{-\sqrt{kx}}(\sqrt{kx}+1)}{k}}\backslash displaystyle\backslash frac\{2\; e^\; u\backslash left(\; u-1\backslash right)\}\{\; k\}=\backslash frac\{2\; e^\{-\backslash sqrt\{kx\}\}\backslash left(-\backslash sqrt\{kx\}-1\backslash right)\}\{\; k\}=-\backslash frac\{2\; e^\{-\backslash sqrt\{kx\}\}\backslash left(\backslash sqrt\{kx\}+1\backslash right)\}\{\; k\}$

…und bist fertig.

${\displaystyle \Rightarrow F_k\left(x\right)=-\frac{2e^{-\sqrt{kx}}(\sqrt{kx}+1)}{k}+C}\backslash displaystyle\backslash Rightarrow\{F\}\_k\backslash left(\; x\backslash right)=-\backslash frac\{2\; e^\{-\backslash sqrt\{kx\}\}\backslash left(\backslash sqrt\{kx\}+1\backslash right)\}\{k\}+\; C$

Erster Fall:

Die Funktion ist auf $(-\mathrm{\infty };0]\backslash left(-\backslash infty;\; 0\; \backslash right]$ definiert und positiv.

Der Grenzwert ist 0, da die $ee$-Funktion schneller steigt und fällt, als jedes Polynom.

Zweiter Fall: $k>0k>0$

Der Grenzwert ist 0, da die $ee$-Funktion schneller steigt und fällt, als jedes Polynom.

Dritter Fall: $k=0k=0$

Für $k=0k=0$ ist die Funktion konstant 1.

${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)\mathrm{d}x={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}1\mathrm{d}x=\mathrm{\infty }}\backslash displaystyle\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; f\backslash left(\; x\backslash right)\backslash operatorname\{d\}\; x=\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty1\backslash operatorname\{d\}\; x=\backslash infty$

Die Funktion $f_1(\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid })f\_1(|x|)$ ist achsensymmetrisch zur y-Achse und zusammengesetzt für aus $f_{-1}(x)f\_\{-1\}(x)$ und für $x>0x\; >\; 0$ aus $f_1(x)f\_1(x)$.

Überlege dir das am besten anhand einer Skizze

Graphen zeichnen

Bemerkungen:

Die Funktionsgraphen sind mit durchgezogenen Linien eingezeichnet,

die Ableitungen mit lang gestrichelten Linien,

die Stammfunktionen mit kurz gestrichelten Linien,

die Tangenten mit abwechselnd Punkten und Strichen,

und die Asymptote ist lila gepunktet.