Definitionsmenge

Was im Logarithmus steht, muss immer größer als $00$ sein.

$\ln (\underset{\text{Das muss gr}\ddot{\text{o}}\text{ßer als 0 sein}}{\underbrace{x-3}})\backslash ln(\backslash underbrace\{x-3\}\_\{\backslash text\{Das\; muss\; größer\; als\; 0\; sein\}\})$

$\Rightarrow x-3>0\backslash Rightarrow\backslash ;x-3>0$ bzw. $x>3x>3$

Die Definitionsmenge ist somit:

$D=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{\mid }x>3\}D=\backslash \{x\; \backslash in\; \backslash mathbb\; R|\backslash ;x>3\backslash \}$

Nullstelle

Die ln-Funktion hat eine Nullstelle für $x=1x=1$:

Setze $x-3=1\Rightarrow x=4x-3=1\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x=4$

Die Funktion $ff$ hat für $x=4x=4$ eine Nullstelle.

Alternative

Die $\ln \backslash ln$-Funktion wurde durch den Term "$x-3x-3$" um drei nach rechts verschoben. Die Nullstelle, die der Graph an der Stelle $x=1x=1$ normalerweise hätte, befindet sich jetzt bei $x=4x=4$.

Berechne die erste Ableitung der Funktion $ff$. Beachte die Kettenregel.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{x-3}}\cdot 1f\text{'}(x)=\backslash dfrac\{1\}\{x-3\}\backslash cdot\; 1$

Es soll $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2f\text{'}(x)=2$ sein:

$x=\mathrm{3,5}x=3\{,\}5$ ist in $DD$ enthalten.

Für $x=\mathrm{3,5}x=3\{,\}5$ hat die erste Ableitung von $ff$ den Wert $22$.