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Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

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  1. 1

    Gegeben ist die Funktion f: xln(x3)x\mapsto ln(x-3) mit maximaler Definitionsmenge DD und Ableitungsfunktion ff'.

    1. Geben Sie DD sowie die Nullstelle von ff an. (2 P)

    2. Ermitteln Sie diejenige Stelle xDx\in D für die f(x)=2f'(x)=2 gilt. (3 P)


  2. 2

    Gegeben ist die in R\mathbb{R}\{0} definierte Funktion g:x1x21.g: x\mapsto \dfrac{1}{x^2}-1.

    1. Geben Sie eine Gleichung der waagrechten Asymptote des Graphen von gg sowie die Wertemenge von gg an. (2 P)

    2. Berechnen Sie den Wert des Integrals 122 g(x)dx.\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^{2} \ g(x) \mathrm{d}x. (3 P)


  3. 3
    Koordinatensystem

    Abb. 1

    Eine in R\mathbb{R} definierte ganzrationale, nicht lineare Funktion ff mit erster Ableitungsfunktion ff' und zweiter Ableitungsfunktion ff'' hat folgende Eigenschaften:

    • ff hat bei x1x_1 eine Nullstelle

    • Es gilt f(x2)=0f'(x_2)=0 und f(x2)0.f''(x_2)\neq 0.

    • ff' hat ein lokales Minimum an der Stelle x3.x_3.

    Die Abbildung 1 zeigt die Postion von x1x_1, x2x_2, und x3x_3

    1. Begründen Sie, dass der Grad von ffmindestens 33 ist. (2 P)

    2. Skizzieren Sie in Abbildung 11 einen möglichen Graphen von f.f. (3 P)

  4. 4
    Graph einer Funktion und Punkt P

    Abb. 2

    Abbildung 2 zeigt den Graphen der in R\mathbb{R} definierten Funktion gg, dessen einzige Extrempunkte (11)(-1 | 1) und (00)(0 | 0) sind, sowie den Punkt PP.

    1. Geben Sie die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen, der in

      R\mathbb{R} definierten Funktion hh mit h(x)=g(x3)h(x)=-g(x-3) an. (2 P)

    2. Der Graph einer Stammfunktion von gg verläuft durch PP. Skizzieren Sie diesen Graphen in Abbildung 2. (3 P)


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