Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Definitionsmenge

Was im Logarithmus steht, muss immer größer als $0$ sein.

$\ln(\underbrace{x-3}_{\text{Das muss größer als 0 sein}})$

$\Rightarrow\;x-3>0$ bzw. $x>3$

Die Definitionsmenge ist somit:

$D=\{x \in \mathbb R|\;x>3\}$

Nullstelle

Die ln-Funktion hat eine Nullstelle für $x=1$:

Setze $x-3=1\;\Rightarrow\;x=4$

Die Funktion $f$ hat für $x=4$ eine Nullstelle.

Alternative

Die $\ln$-Funktion wurde durch den Term "$x-3$" um drei nach rechts verschoben. Die Nullstelle, die der Graph an der Stelle $x=1$ normalerweise hätte, befindet sich jetzt bei $x=4$.

Berechne die erste Ableitung der Funktion $f$. Beachte die Kettenregel.

$f'(x)=\dfrac{1}{x-3}\cdot 1$

Es soll $f'(x)=2$ sein:

$x=3{,}5$ ist in $D$ enthalten.

Für $x=3{,}5$ hat die erste Ableitung von $f$ den Wert $2$.

Gleichung der waagrechten Asymptote

Bilde den Grenzwert gegen $+\infty:$

Bilde den Grenzwert gegen $-\infty:$

$\Rightarrow\;y=-1$

$y=-1$ ist eine waagerechte Asymptote.

Wertemenge

Alle Funktionswerte der Funktion $g$ liegen oberhalb der Asymptoten $y=-1$.

Somit ergibt sich die Wertemenge zu:

$W=\{y \in\mathbb R|y>-1\}$ oder $W=]-1;+\infty[$

Das Integral $\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^{2} \ g(x) \mathrm{d}x$ hat den Wert $0$.

Der Grad von $f$ ist mindestens $3$

$f'$ hat ein lokales Minimum an der Stelle $x_3$.

Bei $x_3$ liegt somit ein Wendepunkt vor:

Es ist $f'(x_3)=0$ und da bei $x_3$ ein lokales Minimum vorliegt, ist $f''(x_3)=0$

(mit einem Vorzeichenwechsel von $f''$ bei $x_3$).

Die Funktion $f$ hat also einen Wendepunkt und die Gleichung $f''(x)=0$ hat mindestens eine Lösung. $f''$ muss also mindestens den Grad $1$ haben.

$\Rightarrow\; f(x)$ hat mindestens den Grad $3$

Der Graph der Funktion $f$ könnte z.B. so aussehen.

$($Hier ist $x_1=1$, $x_2=2$ und $x_3=3).$

Koordinaten des Tiefpunkts von h(x)

$h(x)=-g(x-3)$

Die Funktion $h(x)$ geht im ersten Schritt durch Spiegelung von $g(x)$ an der x-Achse hervor. Im zweiten Schritt wird dann $-g(x)$ um $3$ nach rechts verschoben.

Der Graph der Funktion $g(x)$ hat einen Hochpunkt $HP(-1|1)$ und einen Tiefpunkt $TP(0|0)$. Bei der Spiegelung an der x-Achse wird aus dem Hochpunkt ein Tiefpunkt (und aus dem Tiefpunkt wird ein Hochpunkt). Der Graph der gespiegelten Funktion $g(x)$ hat dann den Tiefpunkt $TP(-1|-1)$. Damit die Funktion $h(x)$ entsteht, muss die gespiegelte Funktion noch um $3$ Einheiten nach rechts verschoben werden, sodass der Tiefpunkt der Funktion $h(x)$ entsteht.$\;\Rightarrow\;TP(-1+3|-1)$

Der Tiefpunkt hat also die Koordinaten: $TP(2|-1)$

Besondere Punkte des Graphen von $g(x)$

Die Stammfunktion von $g(x)$ ist die Funktion $G(x)$. Es gilt: $G'(x)=g(x)$

Anhand von ein paar besonderen Punkten von $g(x)$ folgen diese Informationen:

• Die Extrempunkte des Graphens der Funktion $g$ sind Wendepunkte des Graphens der Stammfunktion $G$.

• Doppelte Nullstellen des Graphens der Funktion $g$ sind Terrassenstellen des Graphens der Stammfunktion $G$.

Konkret heißt das:

• Der Graph von $G$ hat bei $x=-1$ eine Wendestelle. Die Steigung im Wendepunkt des Graphens von $G$ beträgt $1$, da $g$ an der Stelle $x=-1$ den Funktionswert $1$ hat. Der Funktionswert $1$ ist dann der Wert von $G'(-1)$.

• Der Graph von $G$ hat bei $x=0$ eine Terrassenstelle, da der Graph von $g$ bei $x=0$ eine doppelte Nullstelle hat. Die Steigung im Terrassenpunkt ist $0$.

Wie findet man nun Funktionswerte der Stammfunktion $G$?

Eine Flächeneinheit in der Abbildung 2 des Graphens $g$ besteht aus $4$ Kästchen, d.h. ein Kästchen hat einen Flächeninhalt von $0{,}25 \;\text{FE}.$

Der türkis eingefärbte Bereich zwischen $x=0$ und $x=1$ zwischen dem Graphen von $g$ und der x-Achse ist etwa $0{,}5$ Kästchen groß:

$\Rightarrow\;0{,}5\cdot0{,}25=0{,}125\;\text{FE}$

Somit vergrößert sich der Flächeninhalt zwischen $x=0$ und $x=1$ um $0{,}125\;\text{FE}.$

Im gegebenen Punkt $P$ der Abb. 2 gilt: $G(1)=3\;\Rightarrow\;G(0)=3-0{,}125=2{,}875$

Der gelb eingefärbte Bereich zwischen $x=-1$ und $x=0$ zwischen dem Graphen von $g$ und der x-Achse ist etwa $1{,}75$ Kästchen groß:

$\Rightarrow\;1{,}75\cdot0{,}25\approx0{,}44\;\text{FE}$

Somit vergrößert sich der Flächeninhalt zwischen $x=-1$ und $x=0$ zwischen dem Graphen von $g$ und der x-Achse um etwa $0{,}44\;\text{FE}.$

Im Punkt $P1$ ist $G(0)=2{,}875\;\Rightarrow\;G(-1)=2{,}875-0{,}44\approx2{,}44$

Zusatz

Entsprechend findet man weitere Punkte des Graphens von $G$, sodass sich nach dem Verbinden der eingezeichneten Punkte der Graph der Stammfunktion $G$ ergibt. (Die Berechnung der Koordinaten der anderen eingezeichneten Punkte wird hier nicht weiter ausgeführt.)

Beim Zeichnen ist noch zu beachten, dass die Steigung im Punkt $P1$ gleich $0$ und im Punkt $P2$ gleich $1$ ist.