Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Abbildung 2 zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ , dessen einzige Extrempunkte $(- 1 ∣ 1)$ und $(0 ∣ 0)$ sind, sowie den Punkt $P$ .

Graph einer Funktion und Punkt P — Abb. 2

Geben Sie die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen, der in
$\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit $h (x) = - g (x - 3)$ an. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema
Koordinaten des Tiefpunkts von h(x)
$h (x) = - g (x - 3)$
Die Funktion $h (x)$ geht im ersten Schritt durch Spiegelung von $g (x)$ an der x-Achse hervor. Im zweiten Schritt wird dann $- g (x)$ um $3$ nach rechts verschoben.
Der Graph der Funktion $g (x)$ hat einen Hochpunkt $H P (- 1 ∣ 1)$ und einen Tiefpunkt $T P (0 ∣ 0)$ . Bei der Spiegelung an der x-Achse wird aus dem Hochpunkt ein Tiefpunkt (und aus dem Tiefpunkt wird ein Hochpunkt). Der Graph der gespiegelten Funktion $g (x)$ hat dann den Tiefpunkt $T P (- 1 ∣ - 1)$ . Damit die Funktion $h (x)$ entsteht, muss die gespiegelte Funktion noch um $3$ Einheiten nach rechts verschoben werden, sodass der Tiefpunkt der Funktion $h (x)$ entsteht. $\;\Rightarrow\;TP(-1+3|-1)$
Der Tiefpunkt hat also die Koordinaten: $T P (2 ∣ - 1)$
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Der Graph einer Stammfunktion von $g$ verläuft durch $P$ . Skizzieren Sie diesen Graphen in Abbildung 2. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion
Besondere Punkte des Graphen von $g (x)$
Die Stammfunktion von $g (x)$ ist die Funktion $G (x)$ . Es gilt: $G^{'} (x) = g (x)$
Anhand von ein paar besonderen Punkten von $g (x)$ folgen diese Informationen:
Die Extrempunkte des Graphens der Funktion $g$ sind Wendepunkte des Graphens der Stammfunktion $G$ .
Doppelte Nullstellen des Graphens der Funktion $g$ sind Terrassenstellen des Graphens der Stammfunktion $G$ .
Konkret heißt das:
Der Graph von $G$ hat bei $x = - 1$ eine Wendestelle. Die Steigung im Wendepunkt des Graphens von $G$ beträgt $1$ , da $g$ an der Stelle $x = - 1$ den Funktionswert $1$ hat. Der Funktionswert $1$ ist dann der Wert von $G^{'} (- 1)$ .
Der Graph von $G$ hat bei $x = 0$ eine Terrassenstelle, da der Graph von $g$ bei $x = 0$ eine doppelte Nullstelle hat. Die Steigung im Terrassenpunkt ist $0$ .
Wie findet man nun Funktionswerte der Stammfunktion $G$ ?
Der Punkt $P (1 ∣ 3)$ liegt auf dem Graphen von $G (x)$ . Dieser kann eingezeichnet werden und hilft, weitere Punkte zu berechnen.
Eine Flächeneinheit in der Abbildung 2 des Graphens $g$ besteht aus $4$ Kästchen, d.h. ein Kästchen hat einen Flächeninhalt von $0{,}25 \;\text{FE}.$
Der türkis eingefärbte Bereich zwischen $x = 0$ und $x = 1$ zwischen dem Graphen von $g$ und der x-Achse ist etwa $0,5$ Kästchen groß:
$\Rightarrow\;0{,}5\cdot0{,}25=0{,}125\;\text{FE}$
Somit vergrößert sich der Flächeninhalt zwischen $x = 0$ und $x = 1$ um $0{,}125\;\text{FE}.$
Im gegebenen Punkt $P$ der Abb. 2 gilt: $G(1)=3\;\Rightarrow\;G(0)=3-0{,}125=2{,}875$
Ein zweiter Punkt der Graphens von $G$ hat dann die Koordinaten $P_1(0|2{,}875).$
Der gelb eingefärbte Bereich zwischen $x = - 1$ und $x = 0$ zwischen dem Graphen von $g$ und der x-Achse ist etwa $1,75$ Kästchen groß:
$\Rightarrow\;1{,}75\cdot0{,}25\approx0{,}44\;\text{FE}$
Somit vergrößert sich der Flächeninhalt zwischen $x = - 1$ und $x = 0$ zwischen dem Graphen von $g$ und der x-Achse um etwa $0{,}44\;\text{FE}.$
Im Punkt $P 1$ ist $G(0)=2{,}875\;\Rightarrow\;G(-1)=2{,}875-0{,}44\approx2{,}44$
Ein dritter Punkt der Graphens von $G$ hat die Koordinaten $P_2(0|2{,}44)$ .
Zusatz
Entsprechend findet man weitere Punkte des Graphens von $G$ , sodass sich nach dem Verbinden der eingezeichneten Punkte der Graph der Stammfunktion $G$ ergibt. (Die Berechnung der Koordinaten der anderen eingezeichneten Punkte wird hier nicht weiter ausgeführt.)
Beim Zeichnen ist noch zu beachten, dass die Steigung im Punkt $P 1$ gleich $0$ und im Punkt $P 2$ gleich $1$ ist.
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Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

Koordinaten des Tiefpunkts von h(x)

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Besondere Punkte des Graphen von g(x)g(x)g(x)

Wie findet man nun Funktionswerte der Stammfunktion GGG?

Zusatz

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Besondere Punkte des Graphen von $g (x)$

Wie findet man nun Funktionswerte der Stammfunktion $G$ ?