Koordinaten des Tiefpunkts von h(x)

$h(x)=-g(x-3)h(x)=-g(x-3)$

Die Funktion $h(x)h(x)$ geht im ersten Schritt durch Spiegelung von $g(x)g(x)$ an der x-Achse hervor. Im zweiten Schritt wird dann $-g(x)-g(x)$ um $33$ nach rechts verschoben.

Der Graph der Funktion $g(x)g(x)$ hat einen Hochpunkt $HP(-1\mathrm{\mid }1)HP(-1|1)$ und einen Tiefpunkt $TP(0\mathrm{\mid }0)TP(0|0)$. Bei der Spiegelung an der x-Achse wird aus dem Hochpunkt ein Tiefpunkt (und aus dem Tiefpunkt wird ein Hochpunkt). Der Graph der gespiegelten Funktion $g(x)g(x)$ hat dann den Tiefpunkt $TP(-1\mathrm{\mid }-1)TP(-1|-1)$. Damit die Funktion $h(x)h(x)$ entsteht, muss die gespiegelte Funktion noch um $33$ Einheiten nach rechts verschoben werden, sodass der Tiefpunkt der Funktion $h(x)h(x)$ entsteht.$\Rightarrow TP(-1+3\mathrm{\mid }-1)\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;TP(-1+3|-1)$

Der Tiefpunkt hat also die Koordinaten: $TP(2\mathrm{\mid }-1)TP(2|-1)$

Besondere Punkte des Graphen von $g(x)g(x)$

Die Stammfunktion von $g(x)g(x)$ ist die Funktion $G(x)G(x)$. Es gilt: $G^{\mathrm{\prime }}(x)=g(x)G\text{'}(x)=g(x)$

Anhand von ein paar besonderen Punkten von $g(x)g(x)$ folgen diese Informationen:

• Die Extrempunkte des Graphens der Funktion $gg$ sind Wendepunkte des Graphens der Stammfunktion $GG$.

• Doppelte Nullstellen des Graphens der Funktion $gg$ sind Terrassenstellen des Graphens der Stammfunktion $GG$.

Konkret heißt das:

• Der Graph von $GG$ hat bei $x=-1x=-1$ eine Wendestelle. Die Steigung im Wendepunkt des Graphens von $GG$ beträgt $11$, da $gg$ an der Stelle $x=-1x=-1$ den Funktionswert $11$ hat. Der Funktionswert $11$ ist dann der Wert von $G^{\mathrm{\prime }}(-1)G\text{'}(-1)$.

• Der Graph von $GG$ hat bei $x=0x=0$ eine Terrassenstelle, da der Graph von $gg$ bei $x=0x=0$ eine doppelte Nullstelle hat. Die Steigung im Terrassenpunkt ist $00$.

Wie findet man nun Funktionswerte der Stammfunktion $GG$?

Eine Flächeneinheit in der Abbildung 2 des Graphens $gg$ besteht aus $44$ Kästchen, d.h. ein Kästchen hat einen Flächeninhalt von $\mathrm{0,25}\text{FE}\mathrm{.}0\{,\}25\; \backslash ;\backslash text\{FE\}.$

Der türkis eingefärbte Bereich zwischen $x=0x=0$ und $x=1x=1$ zwischen dem Graphen von $gg$ und der x-Achse ist etwa $\mathrm{0,5}0\{,\}5$ Kästchen groß:

$\Rightarrow \mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,25}=\mathrm{0,125}\text{FE}\backslash Rightarrow\backslash ;0\{,\}5\backslash cdot0\{,\}25=0\{,\}125\backslash ;\backslash text\{FE\}$

Somit vergrößert sich der Flächeninhalt zwischen $x=0x=0$ und $x=1x=1$ um $\mathrm{0,125}\text{FE}\mathrm{.}0\{,\}125\backslash ;\backslash text\{FE\}.$

Im gegebenen Punkt $PP$ der Abb. 2 gilt: $G(1)=3\Rightarrow G(0)=3-\mathrm{0,125}=\mathrm{2,875}G(1)=3\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;G(0)=3-0\{,\}125=2\{,\}875$

Der gelb eingefärbte Bereich zwischen $x=-1x=-1$ und $x=0x=0$ zwischen dem Graphen von $gg$ und der x-Achse ist etwa $\mathrm{1,75}1\{,\}75$ Kästchen groß:

$\Rightarrow \mathrm{1,75}\cdot \mathrm{0,25}\approx \mathrm{0,44}\text{FE}\backslash Rightarrow\backslash ;1\{,\}75\backslash cdot0\{,\}25\backslash approx0\{,\}44\backslash ;\backslash text\{FE\}$

Somit vergrößert sich der Flächeninhalt zwischen $x=-1x=-1$ und $x=0x=0$ zwischen dem Graphen von $gg$ und der x-Achse um etwa $\mathrm{0,44}\text{FE}\mathrm{.}0\{,\}44\backslash ;\backslash text\{FE\}.$

Im Punkt $P1P1$ ist $G(0)=\mathrm{2,875}\Rightarrow G(-1)=\mathrm{2,875}-\mathrm{0,44}\approx \mathrm{2,44}G(0)=2\{,\}875\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;G(-1)=2\{,\}875-0\{,\}44\backslash approx2\{,\}44$

Zusatz

Entsprechend findet man weitere Punkte des Graphens von $GG$, sodass sich nach dem Verbinden der eingezeichneten Punkte der Graph der Stammfunktion $GG$ ergibt. (Die Berechnung der Koordinaten der anderen eingezeichneten Punkte wird hier nicht weiter ausgeführt.)

Beim Zeichnen ist noch zu beachten, dass die Steigung im Punkt $P1P1$ gleich $00$ und im Punkt $P2P2$ gleich $11$ ist.