Abbildung 2 zeigt den Graphen der in R definierten Funktion g, dessen einzige Extrempunkte (−1∣1) und (0∣0) sind, sowie den Punkt P.
Geben Sie die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen, der in
R definierten Funktion h mit h(x)=−g(x−3) an. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema
Koordinaten des Tiefpunkts von h(x)
h(x)=−g(x−3)
Die Funktion h(x) geht im ersten Schritt durch Spiegelung von g(x) an der x-Achse hervor. Im zweiten Schritt wird dann −g(x) um 3 nach rechts verschoben.
Der Graph der Funktion g(x) hat einen Hochpunkt HP(−1∣1) und einen Tiefpunkt TP(0∣0). Bei der Spiegelung an der x-Achse wird aus dem Hochpunkt ein Tiefpunkt (und aus dem Tiefpunkt wird ein Hochpunkt). Der Graph der gespiegelten Funktion g(x) hat dann den Tiefpunkt TP(−1∣−1). Damit die Funktion h(x) entsteht, muss die gespiegelte Funktion noch um 3 Einheiten nach rechts verschoben werden, sodass der Tiefpunkt der Funktion h(x) entsteht.⇒TP(−1+3∣−1)
Der Graph einer Stammfunktion von g verläuft durch P. Skizzieren Sie diesen Graphen in Abbildung 2. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion
Besondere Punkte des Graphen von g(x)
Die Stammfunktion von g(x) ist die Funktion G(x). Es gilt: G′(x)=g(x)
Anhand von ein paar besonderen Punkten von g(x) folgen diese Informationen:
Die Extrempunkte des Graphens der Funktion g sind Wendepunkte des Graphens der Stammfunktion G.
Doppelte Nullstellen des Graphens der Funktion g sind Terrassenstellen des Graphens der Stammfunktion G.
Konkret heißt das:
Der Graph von G hat bei x=−1 eine Wendestelle. Die Steigung im Wendepunkt des Graphens von G beträgt 1, da g an der Stelle x=−1 den Funktionswert 1 hat. Der Funktionswert 1 ist dann der Wert von G′(−1).
Der Graph von G hat bei x=0 eine Terrassenstelle, da der Graph von g bei x=0 eine doppelte Nullstelle hat. Die Steigung im Terrassenpunkt ist 0.
Wie findet man nun Funktionswerte der Stammfunktion G?
Eine Flächeneinheit in der Abbildung 2 des Graphens g besteht aus 4 Kästchen, d.h. ein Kästchen hat einen Flächeninhalt von 0,25FE.
Der türkis eingefärbte Bereich zwischen x=0 und x=1 zwischen dem Graphen von g und der x-Achse ist etwa 0,5 Kästchen groß:
⇒0,5⋅0,25=0,125FE
Somit vergrößert sich der Flächeninhalt zwischen x=0 und x=1 um 0,125FE.
Im gegebenen Punkt P der Abb. 2 gilt: G(1)=3⇒G(0)=3−0,125=2,875
Der gelb eingefärbte Bereich zwischen x=−1 und x=0 zwischen dem Graphen von g und der x-Achse ist etwa 1,75 Kästchen groß:
⇒1,75⋅0,25≈0,44FE
Somit vergrößert sich der Flächeninhalt zwischen x=−1 und x=0 zwischen dem Graphen von g und der x-Achse um etwa 0,44FE.
Im Punkt P1 ist G(0)=2,875⇒G(−1)=2,875−0,44≈2,44
Zusatz
Entsprechend findet man weitere Punkte des Graphens von G, sodass sich nach dem Verbinden der eingezeichneten Punkte der Graph der Stammfunktion G ergibt. (Die Berechnung der Koordinaten der anderen eingezeichneten Punkte wird hier nicht weiter ausgeführt.)
Beim Zeichnen ist noch zu beachten, dass die Steigung im Punkt P1 gleich 0 und im Punkt P2 gleich 1 ist.