Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

Gegeben ist die Funktion $f : x \mapsto \frac{e^{x}}{e^{x} - 2}$ mit maximalem Definitionsbereich $D$ .

Bestimmen Sie $D$ und geben Sie die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $f$ mit der y-Achse an. (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
$f (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} - 2}$
Definitionsbereich bestimmen
Der Funktionsterm ist ein Bruch, der nur definiert ist, wenn der Nenner ungleich null ist. (Durch null darf nicht geteilt werden.)
Setze den Nenner gleich null:
$e^{x} - 2$ $=$ $0$ $+ 2$
↓
Löse nach $x$ auf.
$e^{x}$ $=$ $2$ $\ln$
$x$ $=$ $\ln 2$
Für $\ln 2$ würde der Nenner gleich null sein, das heißt die Zahl $\ln 2$ muss aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden, da bei $\ln 2$ eine Definitonslücke vorliegt.
$D_{f} = ℝ \ {\ln 2}$
Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $f$ mit der y-Achse
Setze $x = 0$ in f(x) ein:
$f (0)$ $=$ $\frac{e^{0}}{e^{0} - 2}$
↓
Es ist $e^{0} = 1$ .
$=$ $\frac{1}{1 - 2}$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $\frac{1}{- 1}$
$=$ $- 1$
Die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $f$ mit der y-Achse sind:
$S_{y} (0 | - 1)$
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Geben Sie einen Term der ersten Ableitungsfunktion von $f$ an. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Term der ersten Ableitungsfunktion von f
Verwende beim Ableiten die Quotientenregel.
$f^{'} (x)$ $=$ $\frac{(e^{x} - 2) \cdot e^{x} - e^{x} \cdot e^{x}}{(e^{x} - 2)^{2}}$
↓
Berechne die Klammer.
$=$ $\frac{e^{2 x} - 2 e^{x} - e^{2 x}}{(e^{x} - 2)^{2}}$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $\frac{- 2 e^{x}}{(e^{x} - 2)^{2}}$
Somit ist $f^{'} (x) = \frac{- 2 e^{x}}{(e^{x} - 2)^{2}}$ .
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Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$e^{x} - 2$	$=$	$0$	$+ 2$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$e^{x}$	$=$	$2$	$\ln$
$x$	$=$	$\ln 2$

$f (0)$	$=$	$\frac{e^{0}}{e^{0} - 2}$
	↓	Es ist $e^{0} = 1$ .
	$=$	$\frac{1}{1 - 2}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\frac{1}{- 1}$
	$=$	$- 1$

$f^{'} (x)$	$=$	$\frac{(e^{x} - 2) \cdot e^{x} - e^{x} \cdot e^{x}}{(e^{x} - 2)^{2}}$
	↓	Berechne die Klammer.
	$=$	$\frac{e^{2 x} - 2 e^{x} - e^{2 x}}{(e^{x} - 2)^{2}}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\frac{- 2 e^{x}}{(e^{x} - 2)^{2}}$

Definitionsbereich bestimmen

Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von f mit der y-Achse

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Term der ersten Ableitungsfunktion von f

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Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $f$ mit der y-Achse