Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.

Gegeben ist die Funktion $f: x\mapsto \dfrac{e^x}{e^x-2}$ mit maximalem Definitionsbereich $D$ .

Bestimmen Sie $D$ und geben Sie die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $f$ mit der y-Achse an. (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich

$f(x)=\dfrac{e^x}{e^x-2}$

Definitionsbereich bestimmen

Der Funktionsterm ist ein Bruch, der nur definiert ist, wenn der Nenner ungleich null ist. (Durch null darf nicht geteilt werden.)

Setze den Nenner gleich null:

$\displaystyle e^x-2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +2$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle e^x$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle \ln{}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \ln2$

Für $\ln2$ würde der Nenner gleich null sein, das heißt die Zahl $\ln2$ muss aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden, da bei $\ln2$ eine Definitonslücke vorliegt.

\displaystyle D_f=\mathbb{R}\backslash\{\ln2\}

Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $f$ mit der y-Achse

Setze $x=0$ in f(x) ein:

$\displaystyle f(0)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{e^0}{e^0-2}$
	↓	Es ist $e^0=1$ .
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{1-2}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{-1}$
	$=$	$\displaystyle -1$

Die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $f$ mit der y-Achse sind:

\displaystyle D_f=\mathbb{R}\backslash\{\ln2\}

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Geben Sie einen Term der ersten Ableitungsfunktion von $f$ an. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung

Term der ersten Ableitungsfunktion von f

Verwende beim Ableiten die Quotientenregel.

$\displaystyle f'(x)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{(e^x-2)\cdot e^x-e^x\cdot e^x}{(e^x-2)^2}$
	↓	Berechne die Klammer.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{e^{2x}-2e^x-e^{2x}}{(e^x-2)^2}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-2e^x}{(e^x-2)^2}$

Somit ist $f'(x)=\dfrac{-2e^x}{(e^x-2)^2}$ .

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Definitionsbereich bestimmen

Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von fff mit der y-Achse

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Term der ersten Ableitungsfunktion von f

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Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $f$ mit der y-Achse