Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

$f(x)=\dfrac{e^x}{e^x-2}$

Definitionsbereich bestimmen

Der Funktionsterm ist ein Bruch, der nur definiert ist, wenn der Nenner ungleich null ist. (Durch null darf nicht geteilt werden.)

Setze den Nenner gleich null:

Für $\ln2$ würde der Nenner gleich null sein, das heißt die Zahl $\ln2$ muss aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden, da bei $\ln2$ eine Definitonslücke vorliegt.

Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $f$ mit der y-Achse

Setze $x=0$ in f(x) ein:

Die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $f$ mit der y-Achse sind:

Term der ersten Ableitungsfunktion von f

Verwende beim Ableiten die Quotientenregel.

Somit ist $f'(x)=\dfrac{-2e^x}{(e^x-2)^2}$.

Gleichung der Tangente

Gegeben ist $g(x)=\sqrt{x}+1.$

Gesucht ist die Gleichung der Tangente im Punkt $(1|g(1))$.

Berechne $g(1)$:

$g(1)=\sqrt{1}+1=2\;\Rightarrow\;P(1|2)$

Weiterhin wird die Steigung des Graphens im Punkt $P$ benötigt.

Berechne die erste Ableitung:

Schreibe die Wurzel als Potenz:

$g(x)=\sqrt{x}+1=x^{\frac{1}{2}}+1$

Wende die Ableitungsregeln für Potenzen an.

Die erste Ableitung von $g(x)$ ist $g'(x)=\dfrac{1}{2\cdot \sqrt{x}}$.

Der Graph von $g$ hat im Punkt $P(1|2)$ die Steigung $g'(1)$.

Berechne $g'(1)$:

$g'(1)=\dfrac{1}{2\cdot\sqrt{1}}=\dfrac{1}{2}$

Nun kann in die Formel für die Tangente im Punkt $P(1|2)$ eingesetzt werden:

Dabei ist $g'(1)=\frac{1}{2}$ und $g(1)=2.$

Die Gleichung der Tangente im Punkt $(1|2)$ lautet:

Graphische Darstellung (ist nicht gefragt)

Umkehrfunktion

Die Funktionsgleichung $y=\sqrt{x}+1$ wird nach $x$ aufgelöst:

Um die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion $g^{-1}$ zu erhalten, müssen nun noch $x$ und $y$ vertauscht werden.

In der Aufgabenstellung sind die Nullstellen von $f$ angegeben, $x_1=0$ und $x_2= 2a$.

Das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der x-Achse einschließt, soll den Inhalt $\dfrac{4}{3}a^3$ haben. Somit ergibt sich der folgende Ansatz zur Berechnung:

Damit ist gezeigt, dass das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der x-Achse einschließt, den Inhalt $\dfrac{4}{3}a^3$ hat.

Gesucht sind zunächst die Koordinaten des Hochpunktes des Graphen von $f$.

$f(x)= -x^2+2ax$

Berechne $f'(x)$:

$f'(x)=-2x+2a$

Bei einem Hochpunkt muss $f'(x)=0$ sein:

Für $x=a$ hat der Graph von $f$ einen Hochpunkt.

Berechne die y-Koordinate des Hochpunktes, indem $x=a$ in die Funktionsgleichung eingesetzt wird.

$f(a)=a^2$ ist die Höhe des eingezeichneten Quadrates. Das Quadrat hat dann den Flächeninhalt $A_\square=(a^2)^2=a^4$

Das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der x-Achse einschließt, hat den Inhalt $\dfrac{4}{3}a^3$. Die beiden Flächeninhalte sollen gleich groß sein:

Setze $a^4=\dfrac{4}{3}a^3:$

Du hast die Gleichung $a^3\cdot \left(a-\dfrac{4}{3}\right)=0$ erhalten. Diese Gleichung kann mit dem Satz vom Nullprodukt gelöst werden.

Es ist $a=0$ oder $a=\dfrac{4}{3}.$

Da $a\in ]1;+\infty[$ entfällt die Lösung $a=0$.

Für $a=\dfrac{4}{3}$ stimmt der Flächeninhalt des Quadrats mit dem Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von $f$ mit der x-Achsen einschließt, überein.

Koordinaten des Tiefpunkts von h(x)

$h(x)=-g(x-3)$

Die Funktion $h(x)$ geht im ersten Schritt durch Spiegelung von $g(x)$ an der x-Achse hervor. Im zweiten Schritt wird dann $-g(x)$ um $3$ nach rechts verschoben.

Der Graph der Funktion $g(x)$ hat einen Hochpunkt $HP(-1|1)$ und einen Tiefpunkt $TP(0|0)$. Bei der Spiegelung an der x-Achse wird aus dem Hochpunkt ein Tiefpunkt (und aus dem Tiefpunkt wird ein Hochpunkt). Der Graph der gespiegelten Funktion $g(x)$ hat dann den Tiefpunkt $TP(-1|-1)$. Damit die Funktion $h(x)$ entsteht, muss die gespiegelte Funktion noch um $3$ Einheiten nach rechts verschoben werden, sodass der Tiefpunkt der Funktion $h(x)$ entsteht.$\;\Rightarrow\;TP(-1+3|-1)$

Der Tiefpunkt hat also die Koordinaten: $TP(2|-1)$

Besondere Punkte des Graphen von $g(x)$

Die Stammfunktion von $g(x)$ ist die Funktion $G(x)$. Es gilt: $G'(x)=g(x)$

Anhand von ein paar besonderen Punkten von $g(x)$ folgen diese Informationen:

• Die Extrempunkte des Graphens der Funktion $g$ sind Wendepunkte des Graphens der Stammfunktion $G$.

• Doppelte Nullstellen des Graphens der Funktion $g$ sind Terrassenstellen des Graphens der Stammfunktion $G$.

Konkret heißt das:

• Der Graph von $G$ hat bei $x=-1$ eine Wendestelle. Die Steigung im Wendepunkt des Graphens von $G$ beträgt $1$, da $g$ an der Stelle $x=-1$ den Funktionswert $1$ hat. Der Funktionswert $1$ ist dann der Wert von $G'(-1)$.

• Der Graph von $G$ hat bei $x=0$ eine Terrassenstelle, da der Graph von $g$ bei $x=0$ eine doppelte Nullstelle hat. Die Steigung im Terrassenpunkt ist $0$.

Wie findet man nun Funktionswerte der Stammfunktion $G$?

Eine Flächeneinheit in der Abbildung 2 des Graphens $g$ besteht aus $4$ Kästchen, d.h. ein Kästchen hat einen Flächeninhalt von $0{,}25 \;\text{FE}.$

Der türkis eingefärbte Bereich zwischen $x=0$ und $x=1$ zwischen dem Graphen von $g$ und der x-Achse ist etwa $0{,}5$ Kästchen groß:

$\Rightarrow\;0{,}5\cdot0{,}25=0{,}125\;\text{FE}$

Somit vergrößert sich der Flächeninhalt zwischen $x=0$ und $x=1$ um $0{,}125\;\text{FE}.$

Im gegebenen Punkt $P$ der Abb. 2 gilt: $G(1)=3\;\Rightarrow\;G(0)=3-0{,}125=2{,}875$

Der gelb eingefärbte Bereich zwischen $x=-1$ und $x=0$ zwischen dem Graphen von $g$ und der x-Achse ist etwa $1{,}75$ Kästchen groß:

$\Rightarrow\;1{,}75\cdot0{,}25\approx0{,}44\;\text{FE}$

Somit vergrößert sich der Flächeninhalt zwischen $x=-1$ und $x=0$ zwischen dem Graphen von $g$ und der x-Achse um etwa $0{,}44\;\text{FE}.$

Im Punkt $P1$ ist $G(0)=2{,}875\;\Rightarrow\;G(-1)=2{,}875-0{,}44\approx2{,}44$

Zusatz

Entsprechend findet man weitere Punkte des Graphens von $G$, sodass sich nach dem Verbinden der eingezeichneten Punkte der Graph der Stammfunktion $G$ ergibt. (Die Berechnung der Koordinaten der anderen eingezeichneten Punkte wird hier nicht weiter ausgeführt.)

Beim Zeichnen ist noch zu beachten, dass die Steigung im Punkt $P1$ gleich $0$ und im Punkt $P2$ gleich $1$ ist.