Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

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Gegeben ist die Funktion $f: x\mapsto \dfrac{e^x}{e^x-2}$ mit maximalem Definitionsbereich $D$ .

Bestimmen Sie $D$ und geben Sie die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $f$ mit der y-Achse an. (3 P)

Geben Sie einen Term der ersten Ableitungsfunktion von $f$ an. (2 P)

Gegeben ist die in $\mathbb{R}_0^+$ definierte Funktion $g: x\mapsto \sqrt{x}+1.$

Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $g$ im Punkt $(1 ∣ g (1)) .$ (3 P)

Die Funktion $g$ ist umkehrbar. Die Umkehrfunktion $g^{- 1}$ von g ist in [ $1; +\infty[$ definiert. Bestimmen Sie einen Term von $g^{- 1} .$ (2 P)

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x\mapsto-x^2+2ax$ mit $a\in ]1;+\infty[.$

Die Nullstellen von $f$ sind $0$ und $2 a$ .

Zeigen Sie, dass das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der x-Achse einschließt, den Inhalt $\dfrac{4}{3}a^3$ hat. (2 P)

Der Hochpunkt des Graphen von $f$ liegt auf einer Seite eines Quadrats; zwei Seiten dieses Quadrats liegen auf den Koordinatenachsen (vergleiche Abbildung 1). Der Flächeninhalt des Quadrats stimmt mit dem Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von $f$ mit der x-Achse einschließt, überein. Bestimmen Sie den Wert von $a$ . (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema

Gesucht sind zunächst die Koordinaten des Hochpunktes des Graphen von $f$ .

$f (x) = - x^{2} + 2 a x$

Berechne $f^{'} (x)$ :

$f^{'} (x) = - 2 x + 2 a$

Bei einem Hochpunkt muss $f^{'} (x) = 0$ sein:

$\displaystyle -2x+2a$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +2x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 2a$	$=$	$\displaystyle 2x$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle x$

Für $x = a$ hat der Graph von $f$ einen Hochpunkt.

Berechne die y-Koordinate des Hochpunktes, indem $x = a$ in die Funktionsgleichung eingesetzt wird.

$\displaystyle f(a)$	$=$	$\displaystyle -a^2+2a\cdot a$
	$=$	$\displaystyle -a^2+2a^2$
	$=$	$\displaystyle a^2$

$f (a) = a^{2}$ ist die Höhe des eingezeichneten Quadrates. Das Quadrat hat dann den Flächeninhalt $A_\square=(a^2)^2=a^4$

Das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der x-Achse einschließt, hat den Inhalt $\dfrac{4}{3}a^3$ . Die beiden Flächeninhalte sollen gleich groß sein:

Setze $a^4=\dfrac{4}{3}a^3:$

$\displaystyle a^4$	$=$	$\displaystyle \dfrac{4}{3}a^3$	$\displaystyle -\dfrac{4}{3}a^3$
	↓	Löse nach $a$ auf.
$\displaystyle a^4-\dfrac{4}{3}a^3$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammere $a^{3}$ aus.
$\displaystyle a^3\cdot\left(a-\dfrac{4}{3}\right)$	$=$	$\displaystyle 0$

Du hast die Gleichung $a^3\cdot \left(a-\dfrac{4}{3}\right)=0$ erhalten. Diese Gleichung kann mit dem Satz vom Nullprodukt gelöst werden.

Es ist $a = 0$ oder $a=\dfrac{4}{3}.$

Da $a\in ]1;+\infty[$ entfällt die Lösung $a = 0$ .

Für $a=\dfrac{4}{3}$ stimmt der Flächeninhalt des Quadrats mit dem Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von $f$ mit der x-Achsen einschließt, überein.

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Abbildung 2 zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ , dessen einzige Extrempunkte $(- 1 ∣ 1)$ und $(0 ∣ 0)$ sind, sowie den Punkt $P$ .
Abb. 2
1. Geben Sie die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen, der in
  $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit $h (x) = - g (x - 3)$ an. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema
  Koordinaten des Tiefpunkts von h(x)
  $h (x) = - g (x - 3)$
  Die Funktion $h (x)$ geht im ersten Schritt durch Spiegelung von $g (x)$ an der x-Achse hervor. Im zweiten Schritt wird dann $- g (x)$ um $3$ nach rechts verschoben.
  Der Graph der Funktion $g (x)$ hat einen Hochpunkt $H P (- 1 ∣ 1)$ und einen Tiefpunkt $T P (0 ∣ 0)$ . Bei der Spiegelung an der x-Achse wird aus dem Hochpunkt ein Tiefpunkt (und aus dem Tiefpunkt wird ein Hochpunkt). Der Graph der gespiegelten Funktion $g (x)$ hat dann den Tiefpunkt $T P (- 1 ∣ - 1)$ . Damit die Funktion $h (x)$ entsteht, muss die gespiegelte Funktion noch um $3$ Einheiten nach rechts verschoben werden, sodass der Tiefpunkt der Funktion $h (x)$ entsteht. $\;\Rightarrow\;TP(-1+3|-1)$
  Der Tiefpunkt hat also die Koordinaten: $T P (2 ∣ - 1)$
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2. Der Graph einer Stammfunktion von $g$ verläuft durch $P$ . Skizzieren Sie diesen Graphen in Abbildung 2. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion
  Besondere Punkte des Graphen von $g (x)$
  Die Stammfunktion von $g (x)$ ist die Funktion $G (x)$ . Es gilt: $G^{'} (x) = g (x)$
  Anhand von ein paar besonderen Punkten von $g (x)$ folgen diese Informationen:
  Die Extrempunkte des Graphens der Funktion $g$ sind Wendepunkte des Graphens der Stammfunktion $G$ .
  Doppelte Nullstellen des Graphens der Funktion $g$ sind Terrassenstellen des Graphens der Stammfunktion $G$ .
  Konkret heißt das:
  Der Graph von $G$ hat bei $x = - 1$ eine Wendestelle. Die Steigung im Wendepunkt des Graphens von $G$ beträgt $1$ , da $g$ an der Stelle $x = - 1$ den Funktionswert $1$ hat. Der Funktionswert $1$ ist dann der Wert von $G^{'} (- 1)$ .
  Der Graph von $G$ hat bei $x = 0$ eine Terrassenstelle, da der Graph von $g$ bei $x = 0$ eine doppelte Nullstelle hat. Die Steigung im Terrassenpunkt ist $0$ .
  Wie findet man nun Funktionswerte der Stammfunktion $G$ ?
  Der Punkt $P (1 ∣ 3)$ liegt auf dem Graphen von $G (x)$ . Dieser kann eingezeichnet werden und hilft, weitere Punkte zu berechnen.
  Eine Flächeneinheit in der Abbildung 2 des Graphens $g$ besteht aus $4$ Kästchen, d.h. ein Kästchen hat einen Flächeninhalt von $0{,}25 \;\text{FE}.$
  Der türkis eingefärbte Bereich zwischen $x = 0$ und $x = 1$ zwischen dem Graphen von $g$ und der x-Achse ist etwa $0,5$ Kästchen groß:
  $\Rightarrow\;0{,}5\cdot0{,}25=0{,}125\;\text{FE}$
  Somit vergrößert sich der Flächeninhalt zwischen $x = 0$ und $x = 1$ um $0{,}125\;\text{FE}.$
  Im gegebenen Punkt $P$ der Abb. 2 gilt: $G(1)=3\;\Rightarrow\;G(0)=3-0{,}125=2{,}875$
  Ein zweiter Punkt der Graphens von $G$ hat dann die Koordinaten $P_1(0|2{,}875).$
  Der gelb eingefärbte Bereich zwischen $x = - 1$ und $x = 0$ zwischen dem Graphen von $g$ und der x-Achse ist etwa $1,75$ Kästchen groß:
  $\Rightarrow\;1{,}75\cdot0{,}25\approx0{,}44\;\text{FE}$
  Somit vergrößert sich der Flächeninhalt zwischen $x = - 1$ und $x = 0$ zwischen dem Graphen von $g$ und der x-Achse um etwa $0{,}44\;\text{FE}.$
  Im Punkt $P 1$ ist $G(0)=2{,}875\;\Rightarrow\;G(-1)=2{,}875-0{,}44\approx2{,}44$
  Ein dritter Punkt der Graphens von $G$ hat die Koordinaten $P_2(0|2{,}44)$ .
  Zusatz
  Entsprechend findet man weitere Punkte des Graphens von $G$ , sodass sich nach dem Verbinden der eingezeichneten Punkte der Graph der Stammfunktion $G$ ergibt. (Die Berechnung der Koordinaten der anderen eingezeichneten Punkte wird hier nicht weiter ausgeführt.)
  Beim Zeichnen ist noch zu beachten, dass die Steigung im Punkt $P 1$ gleich $0$ und im Punkt $P 2$ gleich $1$ ist.
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle f(0)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{e^0}{e^0-2}$
	↓	Es ist $e^{0} = 1$ .
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{1-2}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{-1}$
	$=$	$\displaystyle -1$

$\displaystyle f'(x)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{(e^x-2)\cdot e^x-e^x\cdot e^x}{(e^x-2)^2}$
	↓	Berechne die Klammer.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{e^{2x}-2e^x-e^{2x}}{(e^x-2)^2}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-2e^x}{(e^x-2)^2}$

$\displaystyle g'(x)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}$
	↓	Schreibe $x^{-\frac{1}{2}}$ als $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ .
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2\cdot \sqrt{x}}$

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot(x-1)+2$
	↓	Löse die Klammer auf.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}+2$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}x+1{,}5$

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \sqrt{x}+1$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle y-1$	$=$	$\displaystyle \sqrt{x}$	$\displaystyle ()^2$
$\displaystyle (y-1)^2$	$=$	$\displaystyle x$

Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

Definitionsbereich bestimmen

Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $f$ mit der y-Achse

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Term der ersten Ableitungsfunktion von f

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Gleichung der Tangente

Graphische Darstellung (ist nicht gefragt)

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Umkehrfunktion

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Koordinaten des Tiefpunkts von h(x)

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Besondere Punkte des Graphen von $g (x)$

Wie findet man nun Funktionswerte der Stammfunktion $G$ ?

Zusatz

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$\displaystyle e^x-2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +2$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle e^x$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle \ln{}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \ln2$

$\displaystyle \displaystyle \int_{0}^{2a} \left(-x^2+2ax \right) \mathrm{d}x$	$=$	$\displaystyle \displaystyle \left[-\frac{x^3}{3}+ax^2\right]_0^{2a}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert ( $2 a$ ) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert ( $0$ ) gerechnet.
	$=$	$\displaystyle \left(-\dfrac{(2a)^3}{3}+a\cdot(2a)^2\right)-(-0+0)$
	↓	Berechne die Klammern.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{8 a^3}{3}+a\cdot4a^2$
	↓	Vereinfache den 2. Term.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{8 a^3}{3}+4a^3$
	↓	Erweitere den Term $4 a^{3}$ mit $3$ .
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{8 a^3}{3}+\dfrac{12 a^3}{3}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4}{3}\cdot a^3$

Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

Definitionsbereich bestimmen

Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von fff mit der y-Achse

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Term der ersten Ableitungsfunktion von f

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Gleichung der Tangente

Graphische Darstellung (ist nicht gefragt)

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Umkehrfunktion

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Koordinaten des Tiefpunkts von h(x)

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Besondere Punkte des Graphen von g(x)g(x)g(x)

Wie findet man nun Funktionswerte der Stammfunktion GGG?

Zusatz

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Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $f$ mit der y-Achse

Besondere Punkte des Graphen von $g (x)$

Wie findet man nun Funktionswerte der Stammfunktion $G$ ?