Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

$f(x)={\displaystyle \frac{e^x}{e^x-2}}$

Definitionsbereich bestimmen

Der Funktionsterm ist ein Bruch, der nur definiert ist, wenn der Nenner ungleich null ist. (Durch null darf nicht geteilt werden.)

Setze den Nenner gleich null:

Für $\ln 2$ würde der Nenner gleich null sein, das heißt die Zahl $\ln 2$ muss aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden, da bei $\ln 2$ eine Definitonslücke vorliegt.

Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $f$ mit der y-Achse

Setze $x=0$ in f(x) ein:

Die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $f$ mit der y-Achse sind:

Term der ersten Ableitungsfunktion von f

Verwende beim Ableiten die Quotientenregel.

Somit ist $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{-2e^x}{(e^x-2{)}^2}}$.

Gleichung der Tangente

Gegeben ist $g(x)=\sqrt{x}+1.$

Gesucht ist die Gleichung der Tangente im Punkt $(1|g(1))$.

Berechne $g(1)$:

$g(1)=\sqrt{1}+1=2\Rightarrow P(1|2)$

Weiterhin wird die Steigung des Graphens im Punkt $P$ benötigt.

Berechne die erste Ableitung:

Schreibe die Wurzel als Potenz:

$g(x)=\sqrt{x}+1=x^{\frac{1}{2}}+1$

Wende die Ableitungsregeln für Potenzen an.

Die erste Ableitung von $g(x)$ ist $g^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}}$.

Der Graph von $g$ hat im Punkt $P(1|2)$ die Steigung $g^{\prime }(1)$.

Berechne $g^{\prime }(1)$:

$g^{\prime }(1)={\displaystyle \frac{1}{2\cdot \sqrt{1}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Nun kann in die Formel für die Tangente im Punkt $P(1|2)$ eingesetzt werden:

Dabei ist $g^{\prime }(1)=\frac{1}{2}$ und $g(1)=2.$

Die Gleichung der Tangente im Punkt $(1|2)$ lautet:

Graphische Darstellung (ist nicht gefragt)

Umkehrfunktion

Die Funktionsgleichung $y=\sqrt{x}+1$ wird nach $x$ aufgelöst:

Um die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion $g^{-1}$ zu erhalten, müssen nun noch $x$ und $y$ vertauscht werden.

In der Aufgabenstellung sind die Nullstellen von $f$ angegeben, $x_1=0$ und $x_2=2a$.

Das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der x-Achse einschließt, soll den Inhalt ${\displaystyle \frac{4}{3}}{a}^3$ haben. Somit ergibt sich der folgende Ansatz zur Berechnung:

Damit ist gezeigt, dass das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der x-Achse einschließt, den Inhalt ${\displaystyle \frac{4}{3}}{a}^3$ hat.

Gesucht sind zunächst die Koordinaten des Hochpunktes des Graphen von $f$.

$f(x)=-x^2+2ax$

Berechne $f^{\prime }(x)$:

$f^{\prime }(x)=-2x+2a$

Bei einem Hochpunkt muss $f^{\prime }(x)=0$ sein:

Für $x=a$ hat der Graph von $f$ einen Hochpunkt.

Berechne die y-Koordinate des Hochpunktes, indem $x=a$ in die Funktionsgleichung eingesetzt wird.

$f(a)=a^2$ ist die Höhe des eingezeichneten Quadrates. Das Quadrat hat dann den Flächeninhalt $A_{\square }=(a^2{)}^2=a^4$

Das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der x-Achse einschließt, hat den Inhalt ${\displaystyle \frac{4}{3}}{a}^3$. Die beiden Flächeninhalte sollen gleich groß sein:

Setze $a^4={\displaystyle \frac{4}{3}}{a}^3:$

Du hast die Gleichung $a^3\cdot (a-{\displaystyle \frac{4}{3}})=0$ erhalten. Diese Gleichung kann mit dem Satz vom Nullprodukt gelöst werden.

Es ist $a=0$ oder $a={\displaystyle \frac{4}{3}}.$

Da $a\in ]1;+\infty [$ entfällt die Lösung $a=0$.

Für $a={\displaystyle \frac{4}{3}}$ stimmt der Flächeninhalt des Quadrats mit dem Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von $f$ mit der x-Achsen einschließt, überein.

Koordinaten des Tiefpunkts von h(x)

$h(x)=-g(x-3)$

Die Funktion $h(x)$ geht im ersten Schritt durch Spiegelung von $g(x)$ an der x-Achse hervor. Im zweiten Schritt wird dann $-g(x)$ um $3$ nach rechts verschoben.

Der Graph der Funktion $g(x)$ hat einen Hochpunkt $HP(-1|1)$ und einen Tiefpunkt $TP(0|0)$. Bei der Spiegelung an der x-Achse wird aus dem Hochpunkt ein Tiefpunkt (und aus dem Tiefpunkt wird ein Hochpunkt). Der Graph der gespiegelten Funktion $g(x)$ hat dann den Tiefpunkt $TP(-1|-1)$. Damit die Funktion $h(x)$ entsteht, muss die gespiegelte Funktion noch um $3$ Einheiten nach rechts verschoben werden, sodass der Tiefpunkt der Funktion $h(x)$ entsteht.$\Rightarrow TP(-1+3|-1)$

Der Tiefpunkt hat also die Koordinaten: $TP(2|-1)$

Besondere Punkte des Graphen von $g(x)$

Die Stammfunktion von $g(x)$ ist die Funktion $G(x)$. Es gilt: $G^{\prime }(x)=g(x)$

Anhand von ein paar besonderen Punkten von $g(x)$ folgen diese Informationen:

• Die Extrempunkte des Graphens der Funktion $g$ sind Wendepunkte des Graphens der Stammfunktion $G$.

• Doppelte Nullstellen des Graphens der Funktion $g$ sind Terrassenstellen des Graphens der Stammfunktion $G$.

Konkret heißt das:

• Der Graph von $G$ hat bei $x=-1$ eine Wendestelle. Die Steigung im Wendepunkt des Graphens von $G$ beträgt $1$, da $g$ an der Stelle $x=-1$ den Funktionswert $1$ hat. Der Funktionswert $1$ ist dann der Wert von $G^{\prime }(-1)$.

• Der Graph von $G$ hat bei $x=0$ eine Terrassenstelle, da der Graph von $g$ bei $x=0$ eine doppelte Nullstelle hat. Die Steigung im Terrassenpunkt ist $0$.

Wie findet man nun Funktionswerte der Stammfunktion $G$?

Eine Flächeneinheit in der Abbildung 2 des Graphens $g$ besteht aus $4$ Kästchen, d.h. ein Kästchen hat einen Flächeninhalt von $\mathrm{0,25}\text{FE}.$

Der türkis eingefärbte Bereich zwischen $x=0$ und $x=1$ zwischen dem Graphen von $g$ und der x-Achse ist etwa $\mathrm{0,5}$ Kästchen groß:

$\Rightarrow \mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,25}=\mathrm{0,125}\text{FE}$

Somit vergrößert sich der Flächeninhalt zwischen $x=0$ und $x=1$ um $\mathrm{0,125}\text{FE}.$

Im gegebenen Punkt $P$ der Abb. 2 gilt: $G(1)=3\Rightarrow G(0)=3-\mathrm{0,125}=\mathrm{2,875}$

Der gelb eingefärbte Bereich zwischen $x=-1$ und $x=0$ zwischen dem Graphen von $g$ und der x-Achse ist etwa $\mathrm{1,75}$ Kästchen groß:

$\Rightarrow \mathrm{1,75}\cdot \mathrm{0,25}\approx \mathrm{0,44}\text{FE}$

Somit vergrößert sich der Flächeninhalt zwischen $x=-1$ und $x=0$ zwischen dem Graphen von $g$ und der x-Achse um etwa $\mathrm{0,44}\text{FE}.$

Im Punkt $P1$ ist $G(0)=\mathrm{2,875}\Rightarrow G(-1)=\mathrm{2,875}-\mathrm{0,44}\approx \mathrm{2,44}$

Zusatz

Entsprechend findet man weitere Punkte des Graphens von $G$, sodass sich nach dem Verbinden der eingezeichneten Punkte der Graph der Stammfunktion $G$ ergibt. (Die Berechnung der Koordinaten der anderen eingezeichneten Punkte wird hier nicht weiter ausgeführt.)

Beim Zeichnen ist noch zu beachten, dass die Steigung im Punkt $P1$ gleich $0$ und im Punkt $P2$ gleich $1$ ist.