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Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

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  1. 1

    Gegeben ist die Funktion f:xexex2f: x\mapsto \dfrac{e^x}{e^x-2} mit maximalem Definitionsbereich DD.

    1. Bestimmen Sie DD und geben Sie die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von ff mit der y-Achse an. (3 P)

    2. Geben Sie einen Term der ersten Ableitungsfunktion von ff an. (2 P)

  2. 2

    Gegeben ist die in R0+\mathbb{R}_0^+ definierte Funktion g:xx+1.g: x\mapsto \sqrt{x}+1.

    1. Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von gg im Punkt (1g(1)).(1|g(1)). (3 P)

    2. Die Funktion gg ist umkehrbar. Die Umkehrfunktion g1g^{-1} von g ist in [1;+[1; +\infty[ definiert. Bestimmen Sie einen Term von g1.g^{-1}. (2 P)

  3. 3

    Gegeben ist die in R\mathbb{R} definierte Funktion f:xx2+2axf: x\mapsto-x^2+2ax mit a]1;+[.a\in ]1;+\infty[.

    Die Nullstellen von ff sind 00 und 2a2a.

    1. Zeigen Sie, dass das Flächenstück, das der Graph von ff mit der x-Achse einschließt, den Inhalt 43a3\dfrac{4}{3}a^3 hat. (2 P)

    2. Parabel

      Abb.1

      Der Hochpunkt des Graphen von ff liegt auf einer Seite eines Quadrats; zwei Seiten dieses Quadrats liegen auf den Koordinatenachsen (vergleiche Abbildung 1). Der Flächeninhalt des Quadrats stimmt mit dem Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von ff mit der x-Achse einschließt, überein. Bestimmen Sie den Wert von aa. (3 P)


  4. 4
    Graph einer Funktion und Punkt P

    Abb. 2

    Abbildung 2 zeigt den Graphen der in R\mathbb{R} definierten Funktion gg, dessen einzige Extrempunkte (11)(-1 | 1) und (00)(0 | 0) sind, sowie den Punkt PP.

    1. Geben Sie die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen, der in

      R\mathbb{R} definierten Funktion hh mit h(x)=g(x3)h(x)=-g(x-3) an. (2 P)

    2. Der Graph einer Stammfunktion von gg verläuft durch PP. Skizzieren Sie diesen Graphen in Abbildung 2. (3 P)


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