In der Aufgabenstellung sind die Nullstellen von $ff$ angegeben, $x_1=0x\_1=0$ und $x_2=2ax\_2=\; 2a$.

Das Flächenstück, das der Graph von $ff$ mit der x-Achse einschließt, soll den Inhalt ${\displaystyle \frac{4}{3}}{a}^3\backslash dfrac\{4\}\{3\}a^3$ haben. Somit ergibt sich der folgende Ansatz zur Berechnung:

Damit ist gezeigt, dass das Flächenstück, das der Graph von $ff$ mit der x-Achse einschließt, den Inhalt ${\displaystyle \frac{4}{3}}{a}^3\backslash dfrac\{4\}\{3\}a^3$ hat.

Gesucht sind zunächst die Koordinaten des Hochpunktes des Graphen von $ff$.

$f(x)=-x^2+2axf(x)=\; -x^2+2ax$

Berechne $f^{\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}(x)$:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-2x+2af\text{'}(x)=-2x+2a$

Bei einem Hochpunkt muss $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0f\text{'}(x)=0$ sein:

Für $x=ax=a$ hat der Graph von $ff$ einen Hochpunkt.

Berechne die y-Koordinate des Hochpunktes, indem $x=ax=a$ in die Funktionsgleichung eingesetzt wird.

$f(a)=a^{2}f(a)=a^2$ ist die Höhe des eingezeichneten Quadrates. Das Quadrat hat dann den Flächeninhalt $A_{\mathrm{\square }}=(a^2{)}^2=a^{4}A\_\backslash square=(a^2)^2=a^4$

Das Flächenstück, das der Graph von $ff$ mit der x-Achse einschließt, hat den Inhalt ${\displaystyle \frac{4}{3}}{a}^3\backslash dfrac\{4\}\{3\}a^3$. Die beiden Flächeninhalte sollen gleich groß sein:

Setze $a^4={\displaystyle \frac{4}{3}}{a}^3:a^4=\backslash dfrac\{4\}\{3\}a^3:$

Du hast die Gleichung $a^3\cdot (a-{\displaystyle \frac{4}{3}})=0a^3\backslash cdot\; \backslash left(a-\backslash dfrac\{4\}\{3\}\backslash right)=0$ erhalten. Diese Gleichung kann mit dem Satz vom Nullprodukt gelöst werden.

Es ist $a=0a=0$ oder $a={\displaystyle \frac{4}{3}}\mathrm{.}a=\backslash dfrac\{4\}\{3\}.$

Da $a\in ]1;+\mathrm{\infty }[a\backslash in\; ]1;+\backslash infty[$ entfällt die Lösung $a=0a=0$.

Für $a={\displaystyle \frac{4}{3}}a=\backslash dfrac\{4\}\{3\}$ stimmt der Flächeninhalt des Quadrats mit dem Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von $ff$ mit der x-Achsen einschließt, überein.