Nachtermin Teil A - lernen mit Serlo!

Der Punkt $A (1 | 2)$ ist gemeinsamer Eckpunkt von gleichschenkligen Dreiecken

$A B_{n} C_{n}$ mit den Schenkeln $[A B_{n}]$ und $[A C_{n}]$ .

Die Mittelpunkte $M_{n} (x | - 0,4 x + 2)$ der Schenkel $[A C_{n}]$ liegen auf der Geraden $g$

mit der Gleichung $y = - 0,4 x + 2$ $(𝔾 = ℝ \times ℝ)$ . Es gilt: $∢ B_{n} A C_{n} = 35^{\circ}$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie die Gerade $g$ sowie die Dreiecke $A B_{1} C_{1}$ für $x = - 1,5$ und $A B_{2} C_{2}$ für
$x = 3,5$ in ein Koordinatensystem ein.
(Maße des Koordinatensystems: $- 4 \leq x \leq 9$ und $- 2 \leq y \leq 9$ )

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion
Einzeichnen der Geraden $g$ sowie der Dreiecke $A B_{1} C_{1}$ für $x = - 1,5$ und $A B_{2} C_{2}$ für $x = 3,5$
Zeichne $y = - 0,4 x + 2$ , den Punkt $A (1 | - 2)$ und den Punkt $M_{1}$ ein.
Die Mittelpunkte $M_{n} (x | - 0,4 x + 2)$ der Schenkel $[A C_{n}]$ liegen auf der Geraden $g$ .
Die x-Koordinate von $M_{1}$ ist
$x = - 1,5$ .
Der Punkt $M_{1}$ liegt auf der Geraden g.
Konstruktion des Dreiecks $A B_{1} C_{1}$
Konstruktion des Punktes $C_{1}$ .
Zeichne eine Halbgerade beginnend im Punkt $A$ durch den Punkt $M_{1}$ .
Der Punkt $M_{1}$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[A C_{1}]$ . Deshalb wird für die Konstruktion des Punktes $C_{1}$ die Strecke $[A M_{1}]$ mithilfe des Zirkels abgetragen. Dabei wird der Zirkel so eingestellt, dass er den Radius $A M_{1}$ hat. Stich in den Punkt $M_{1}$ ein und ziehe einen Kreisbogen um $M_{1}$ . Der Schnittpunkt des Kreisbogens mit der Halbgeraden ist der Punkt $C_{1}$ .
Konstruktion des Punktes $B_{1}$ .
Zeichne den Winkel $∢ B_{1} A C_{1} = 35^{\circ}$ im Punkt $A$ ein. Es entsteht eine zweite Halbgerade.
Stelle den Zirkel so ein, dass er den Radius $A C_{1}$ hat. Stich in den Punkt $A$ ein und ziehe einen Kreisbogen um $A$ .
Der Schnittpunkt des Kreisbogens mit der zweiten Halbgeraden ist der Punkt $B_{1}$ .
Verbinde $B_{1}$ mit $C_{1}$ .
Das Dreieck $A B_{1} C_{1}$ ist konstruiert.
Die Abbildung zeigt das konstruierte Dreieck $A B_{1} C_{1}$ .
Nach dem gleichen Schema wird das Dreieck $A B_{2} C_{2}$ für $x = 3,5$ konstruiert.
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Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken $[A C_{n}]$ gilt: $A C_{n} = 1,66 \cdot B_{n} C_{n}$ .

Unter den Dreiecken $A B_{n} C_{n}$ hat das Dreieck $A B_{3} C_{3}$ die kürzesten Schenkel.

Berechnen Sie die Koordinaten des zugehörigen Mittelpunktes $M_{3}$ des Schenkels $[A C_{3}]$ .

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$\sin ∢ D A C_{n}$	$=$	$\frac{0,5 \cdot B_{n} C_{n}}{A C_{n}}$
	↓	Es ist
$\sin (0,5 \cdot 35^{\circ})$	$=$	$\frac{0,5 \cdot B_{n} C_{n}}{A C_{n}}$
$\sin (0,5 \cdot 35^{\circ})$	$=$	$\frac{0,5 \cdot B_{n} C_{n}}{A C_{n}}$	$\cdot A_{n} C_{n}$
$\sin (0,5 \cdot 35^{\circ}) \cdot A_{n} C_{n}$	$=$	$0,5 \cdot B_{n} C_{n}$	$: \sin (0,5 \cdot 35^{\circ})$
$A_{n} C_{n}$	$=$	$\frac{0,5 \cdot B_{n} C_{n}}{\sin (0,5 \cdot 35^{\circ})}$
	$=$	$1,66 \cdot B_{n} C_{n}$

$\vec{A M_{3}} \circ {\vec{v}}_{g}$	$=$	$0$
	↓	Setze die beiden Vektoren ein.
$(\begin{array}{c} x - 1 \\ - 0,4 x + 4 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ - 0,4 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$(x - 1) \cdot 1 + (- 0,4 x + 4) \cdot (- 0,4)$	$=$	$0$
	↓	Löse die Klammern auf.
$x - 1 + 0,16 x - 1,6$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$1,16 x - 2,6$	$=$	$0$	$+ 2,6$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$1,16 x$	$=$	$2,6$	$: 1,16$
$x$	$=$	$\frac{2,6}{1,16}$
	$=$	$2,24$

Einzeichnen der Geraden g sowie der Dreiecke AB1C1 für x=−1,5 und AB2C2 für x=3,5

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Einzeichnen der Geraden $g$ sowie der Dreiecke $A B_{1} C_{1}$ für $x = - 1,5$ und $A B_{2} C_{2}$ für $x = 3,5$