Nachtermin Teil A - lernen mit Serlo!

Der Punkt $A(1|2)$ ist gemeinsamer Eckpunkt von gleichschenkligen Dreiecken

$AB_nC_n$ mit den Schenkeln $[AB_n]$ und $[AC_n]$ .

Die Mittelpunkte $M_n (x |- 0{,}4x + 2)$ der Schenkel $[AC_n]$ liegen auf der Geraden $g$

mit der Gleichung $y =-0{,}4x + 2$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ . Es gilt: $\sphericalangle B_nAC_n = 35^\circ$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie die Gerade $g$ sowie die Dreiecke $AB_1C_1$ für $x=-1{,}5$ und $AB_2C_2$ für
$x=3{,}5$ in ein Koordinatensystem ein.
(Maße des Koordinatensystems: $-4\le x\le9$ und $-2\le y\le 9$ )

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion
Einzeichnen der Geraden $g$ sowie der Dreiecke $AB_1C_1$ für $x=-1{,}5$ und $AB_2C_2$ für $x=3{,}5$
Zeichne $y=-0{,}4x+2$ , den Punkt $A(1|-2)$ und den Punkt $M_1$ ein.
Die Mittelpunkte $M_n (x |- 0{,}4x + 2)$ der Schenkel $[AC_n]$ liegen auf der Geraden $g$ .
Die x-Koordinate von $M_1$ ist
$x=-1{,}5$ .
Der Punkt $M_1$ liegt auf der Geraden g.
Konstruktion des Dreiecks $AB_1C_1$
Konstruktion des Punktes $C_1$ .
Zeichne eine Halbgerade beginnend im Punkt $A$ durch den Punkt $M_1$ .
Der Punkt $M_1$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[AC_1]$ . Deshalb wird für die Konstruktion des Punktes $C_1$ die Strecke $[AM_1]$ mithilfe des Zirkels abgetragen. Dabei wird der Zirkel so eingestellt, dass er den Radius $\overline{AM_1}$ hat. Stich in den Punkt $M_1$ ein und ziehe einen Kreisbogen um $M_1$ . Der Schnittpunkt des Kreisbogens mit der Halbgeraden ist der Punkt $C_1$ .
Konstruktion des Punktes $B_1$ .
Zeichne den Winkel $\sphericalangle B_1AC_1 = 35^\circ$ im Punkt $A$ ein. Es entsteht eine zweite Halbgerade.
Stelle den Zirkel so ein, dass er den Radius $\overline{AC_1}$ hat. Stich in den Punkt $A$ ein und ziehe einen Kreisbogen um $A$ .
Der Schnittpunkt des Kreisbogens mit der zweiten Halbgeraden ist der Punkt $B_1$ .
Verbinde $B_1$ mit $C_1$ .
Das Dreieck $AB_1C_1$ ist konstruiert.
Die Abbildung zeigt das konstruierte Dreieck $AB_1C_1$ .
Nach dem gleichen Schema wird das Dreieck $AB_2C_2$ für $x=3{,}5$ konstruiert.
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Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken $[AC_n]$ gilt: $\overline{AC_n}=1{,}66\cdot \overline{B_nC_n}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrische Funktionen

Zwischen den Strecken $\overline{AC_n}$ und $\overline{B_nC_n}$ soll die Beziehung $\overline{AC_n}=1{,}66\cdot \overline{B_nC_n}$ gelten.

Eine trigonometrische Funktion bezieht sich auf Strecken in einem rechtwinkligen Dreieck. Hier handelt es sich aber um ein gleichschenkliges Dreieck ohne rechten Winkel.

Zeichnet man die Höhe über der Basis $B_nC_n$ in das Dreieck $AB_nC_n$ ein, so teilt diese das gleichschenklige Dreieck in zwei gleich große rechtwinkelige Dreiecke.

Dabei sind die Strecken $\overline{DC_n}$ und $\overline{B_nD}$ gleich groß und halb so groß wie die Strecke $\overline{B_nC_n}$ . Die Höhe halbiert auch den Winkel $\sphericalangle B_nAC_n = 35^\circ$ .

Im rechtwinkligen Dreieck $ADC_n$ gilt:

$\displaystyle \sin\sphericalangle DAC_n$	$=$	$\displaystyle \dfrac{0{,}5\cdot \overline{B_nC_n}}{\overline{AC_n}}$
	↓	Es ist
$\displaystyle \sin(0{,}5\cdot 35^\circ)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{0{,}5\cdot \overline{B_nC_n}}{\overline{AC_n}}$
$\displaystyle \sin(0{,}5\cdot 35^\circ)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{0{,}5\cdot \overline{B_nC_n}}{\overline{AC_n}}$	$\displaystyle \cdot\overline{A_nC_n}$
$\displaystyle \sin(0{,}5\cdot 35^\circ)\cdot\overline{A_nC_n}$	$=$	$\displaystyle 0{,}5\cdot \overline{B_nC_n}$	$\displaystyle :\sin(0{,}5\cdot 35^\circ)$
$\displaystyle \overline{A_nC_n}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{0{,}5\cdot \overline{B_nC_n}}{\sin(0{,}5\cdot 35^\circ)}$
	$=$	$\displaystyle 1{,}66\cdot \overline{B_nC_n}$

Also ergibt sich:

\displaystyle \overline{A_nC_n}=1{,}66\cdot \overline{B_nC_n}

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Unter den Dreiecken $AB_nC_n$ hat das Dreieck $AB_3C_3$ die kürzesten Schenkel.

Berechnen Sie die Koordinaten des zugehörigen Mittelpunktes $M_3$ des Schenkels $[AC_3]$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Geraden

Damit das Dreieck $AB_3C_3$ die kürzesten Schenkel hat, muss der Vektor $\overrightarrow{AM_3}$ senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden $g$ stehen.

Es muss also gelten:

$\overrightarrow{AM_3}\circ\vec v_g=0$

Für den Vektor $\overrightarrow{AM_3}$ folgt:

$\overrightarrow{AM_3}= \overrightarrow{M_3}-\vec A=\begin{pmatrix}x\\- 0{,}4x + 2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x-1\\- 0{,}4x + 2-(-2)\end{pmatrix} $

$\overrightarrow{AM_3}= \begin{pmatrix}x-1\\- 0{,}4x + 4\end{pmatrix}$

Der Richtungsvektor der Geraden $g:\;y=-0{,}4x+2$ wird über die Steigung der Geraden ermittelt:

$m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=-0{,}4\;\text{oder}\; \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{-0{,}4}{1}$

$\Rightarrow\;\Delta x=v_{x_1}=1\;\text{und}\;\Delta y=v_{x_2}=-0{,}4$

$\Rightarrow\;\vec v_g=\begin{pmatrix}1\\-0{,}4\end{pmatrix}$

$\displaystyle \overrightarrow{AM_3}\circ\vec v_g$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze die beiden Vektoren ein.
$\displaystyle \begin{pmatrix}x-1\\- 0{,}4x + 4\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\-0{,}4\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$\displaystyle (x-1)\cdot1+(- 0{,}4x + 4)\cdot (-0{,}4)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Löse die Klammern auf.
$\displaystyle x-1+0{,}16x-1{,}6$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 1{,}16x-2{,}6$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +2{,}6$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 1{,}16x$	$=$	$\displaystyle 2{,}6$	$\displaystyle :1{,}16$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \dfrac{2{,}6}{1{,}16}$
	$=$	$\displaystyle 2{,}24$

Es ist $x=2{,}24$ (gerundet auf zwei Stellen nach dem Komma):

\displaystyle \overline{A_nC_n}=1{,}66\cdot \overline{B_nC_n}

Die $y$ -Koordinate vom Punkt $M_3$ erhältst du, indem $x=2{,}24$ in die Geradengleichung eingesetzt wird: $y=-0{,}4\cdot 2{,}24+2=1{,}10$

Damit ergibt sich:

\displaystyle \overline{A_nC_n}=1{,}66\cdot \overline{B_nC_n}

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Einzeichnen der Geraden ggg sowie der Dreiecke AB1C1AB_1C_1AB1​C1​ für x=−1,5x=-1{,}5x=−1,5 und AB2C2AB_2C_2AB2​C2​ für x=3,5x=3{,}5x=3,5

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Einzeichnen der Geraden $g$ sowie der Dreiecke $AB_1C_1$ für $x=-1{,}5$ und $AB_2C_2$ für $x=3{,}5$