Nachtermin Teil A

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Trapeze $AB_nCD$ rotieren um die Achse $AD$ . Die Winkel $DCB_n$ haben das Maß $\varphi$ mit $\varphi \in \left] 45^{\circ}; 90^{\circ} \right[$ .
Es gilt: $\overline{AD} = 4 \, \text{cm}$ ; $\overline{CD} = 4 \, \text{cm}$ ; $\sphericalangle ADC= \sphericalangle B_nAD = 90^{\circ}$ .
Die Zeichnung zeigt das Trapez $AB_1CD$ für $\varphi = 80^{\circ}$ .
1. Zeichnen Sie das Trapez $AB_2CD$ für $\varphi=55^{\circ}$ in die Zeichnung ein.
  (1 Punkt)
  
  Einzeichnen des Trapezes
  Das Trapez $AB_2CD$ mit dem Winkel $\varphi=55^{\circ}$ besitzt dieselben Streckenlängen $\overline{AD}$ und $\overline{CD}$ wie das Trapez $AB_1CD$ . An diesen Strecken musst du also nichts ändern.
  Auch die Winkel $\sphericalangle DAB_n$ und $\sphericalangle CDA$ bleiben gleich.
  Nur der Winkel $\varphi$ muss verändert werden und so der neue Punkt $B_2$ gefunden werden.
  Zeichne zunächst den Winkel $\varphi=55^{\circ}$ beim Punkt $C$ ein.
  Markiere den Schnittpunkt der Strecke $[AB_1]$ mit dem Schenkel des Winkels $\varphi$ als deinen Punkt $B_2$ .
  Das Trapez $AB_2CD$ ist damit fertig eingezeichnet.
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2. Bestätigen Sie die untere Intervallgrenze für $\varphi$ und begründen Sie sodann, dass das Volumen $V$ der Rotationskörper gilt: $V>\dfrac{64}{3} \pi \, \text{cm}^3$ .
  (2 Punkte)
  
  Intervallgrenze von $\varphi$
  Die untere Intervallgrenze ist, wie angegeben, bei $45^{\circ}$ . Die Begründung ergibt sich, wenn du den Winkel $\varphi=45^{\circ}$ in die Zeichnung einzeichnest.
  Wenn der Winkel $\varphi$ genau $45^{\circ}$ groß ist, wird aus dem Trapez $AB_nCD$ ein Dreieck $ACD$ , da der Punkt $B_n$ auf $A$ liegt.
  Minimales Volumen
  Das Volumen des Rotationskörpers von Trapezen $AB_nCD$ wird immer größer sein, als das Volumen des Rotationskörpers des Dreiecks $ACD$ bei der unteren Intervallgrenze von $\varphi$ .
  Stelle nun das Volumen des Rotationskörpers vom Dreieck $ACD$ auf. Aus einem Dreieck, das um eine Achse rotiert, wird ein Kegel.
  $V_{\text{Kegel}}=\dfrac{1}{3} \cdot r^2 \cdot \pi \cdot h$
  Dieser Rotationskörper dreht sich um die Achse $AD$ . Damit erhältst du den Radius $r=\overline{CD}=4\, \text{cm}$ .
  Die Höhe beträgt $h = \overline{AD}=4\, \text{cm}$
  $V_{AB_nCD} > V_{\text{Kegel}}$
  $V_{AB_nCD} > \frac{1}{3} \cdot (4 \, \text{cm})^2 \cdot \pi \cdot 4 \, \text{cm}$
  $V_{AB_nCD} > \dfrac{64}{3} \cdot \pi \, \text{cm}^3$
  Das Volumen des Rotationskörpers des Trapezes $AB_nCD$ ist also größer als $\dfrac{64}{3} \cdot \pi \, \text{cm}^3$ .
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3. Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken $[AB_n]$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt:
  $\overline{AB_n}= \left( 4 - \dfrac{4}{\text{tan} \varphi} \right) \,\text{cm}$
  (2 Punkte)
  
  Berechnung der Strecke $\overline{AB_n}$
  Betrachte die Strecken im Trapez $AB_2CD$ .
  Du kannst die Strecke $\overline{AB}$ auf der Strecke $[CD]$ abtragen und erhältst so zwei Streckenteile (in der Skizze grün und türkis markiert).
  Du kannst nun die türkise Strecke $4 \, \text{cm} - \overline{AB_n}$ mithilfe des Tangens des Winkels $\varphi$ berechnen.
  Stelle die Formel für den Tangens auf!
  $\tan(\varphi)= \dfrac{4 \, \text{cm}}{4 \, \text{cm} - \overline{AB}}$
  Löse diese Gleichung nach $\overline{AB}$ auf!
  $\text{tan}(\varphi)= \dfrac{4 \, \text{cm}}{4 \, \text{cm} - \overline{AB}}\hspace{2cm}|\cdot (4 \, \text{cm}-\overline{AB}) \hspace{1cm}|:\text{tan}(\varphi)$
  $4 \, \text{cm} - \overline{AB} = \dfrac{4 \, \text{cm}}{\text{tan}(\varphi)} \hspace{2cm}|-4 \, \text{cm}$
  $- \overline{AB} = -4 \, \text{cm} + \dfrac{4 \, \text{cm}}{\tan(\varphi)} \hspace{1.3cm} |\cdot (-1)$
  $\overline{AB} = 4 \, \text{cm} - \dfrac{4 \, \text{cm}}{\text{tan}(\varphi)} = \left( 4- \dfrac{4}{\text{tan}(\varphi)} \right) \text{cm}$
  Die Strecke $[AB]$ hat die Länge $\overline{AB} = \left( 4- \dfrac{4}{\text{tan}(\varphi)} \right) \text{cm}$ .
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2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Das radioaktive Isotop Cäsium-137 zerfällt mit einer Halbwertszeit von $30$ Jahren, d.h. nach dieser Zeit ist von einer bestimmten Anfangsmasse dieses Isotops nur noch die Hälfte an Cäsium-137 vorhanden. Der Zusammenhang zwischen der Anzahl $x$ der Jahre seit Beginn des Zerfalls und der Masse $y \, \text{mg}$ lässt sich näherungsweise durch eine Funktion der Form $y=y_0 \cdot 0{,}5^{\frac{x}{30}}$ $\left( \mathbb{G} = \mathbb{R}^+_0 \times \mathbb{R}^+_0; \; y_0 \in \mathbb{R}^+\right)$ darstellen, wobei $y_0 \, \text{mg}$ die Masse zu Beginn eines Versuches darstellt. Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Bei einem Langzeitversuch sind nach sechs Jahren noch $39 \, \text{mg}$ des Isotops Cäsium-137 nachweisbar. Bestimmen Sie rechnerisch die Masse, die zu Beginn des Versuches vorhanden war.
  (2 Punkte)
  
  Anfangsmasse
  Überlege dir anhand der Formel $y=y_0 \cdot 0{,}5^{\frac{x}{30}}$ welche Werte du gegeben hast und was du berechnen möchtest.
  Gegeben: $y =\text{Masse nach bestimmmter Zeit} = 39 \, \text{mg}$ $x = \text{vergangene Zeit} = 6 \,\text{Jahre}$
  Gesucht: $y_0 = \text{Anfangsmasse}$
  Stelle die Formel mit den gegebenen Werten auf und löse sie nach der gesuchten Größe $y_0$ auf!
  $y=y_0\cdot 0{,}5^{\frac{x}{30}}$
  $39=y_0\cdot 0{,}5^{\frac{6}{30}}$
  Setze ein und vereinfache die Formel!
  $39 = y_0 \cdot 0{,}5^{\frac{6}{30}} \hspace{2cm} |:0{,}5^{\frac{6}{30}}$
  Löse die Gleichung nach $y_0$ auf!
  Du erhältst für die Anfangsmasse einen Wert von $44{,}80 \, \text{mg}$
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2. In einem anderen Versuch lässt sich der Zerfallsprozess durch die Funktion mit der Gleichung $y=13{,}5 \cdot 0{,}5^{\frac{x}{30}}$ $\left( \mathbb{G} = \mathbb{R}^+_0 \times \mathbb{R}^+_0 \right)$ darstellen. Berechnen Sie, im wievielten Jahr erstmals weniger als $8 \, \text{mg}$ des Isotops nachweisbar sind.
  (2 Punkte)
  
  In dieser Aufgabe ist die Anfangsmasse $y_0$ schon gegeben. Es wird dieses Mal die vergangene Zeit ( $x$ ) gesucht, nach der weniger als $8 \, \text{mg}$ vorhanden sind.
  Du kannst diesen Zusammenhang mithilfe einer Ungleichung beschreiben:
  $8 > y$
  $8 > 13{,}5 \cdot 0{,}5^{\frac{x}{30}}$
  Löse diese Ungleichung nun nach $x$ auf!
  $8 > 13{,}5 \cdot 0{,}5^{\frac{x}{30}} \hspace{2cm} |:13{,}5$
  $\dfrac{8}{13{,}5} >0{,}5^{\frac{x}{30}}$
  Löse die Ungleichung mithilfe des Logarithmus!
  $\text{log}_{0{,}5}\left(\dfrac{8}{13{,}5} \right) > \dfrac{x}{30} \hspace{2cm}|\cdot 30$
  $30 \cdot \text{log}_{0{,}5}\left(\dfrac{8}{13{,}5} \right) > x$
  $22{,}65 > x$
  Im $23.$ Jahr ist die Menge an Cäsium-137 auf unter $8 \, \text{mg}$ gesunken.
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3. Wie viel Prozent der ursprünglichen Masse des Isotops Cäsium-137 sind nach zehn Jahren noch vorhanden?
  Kreuzen Sie die zutreffende Lösung an.
  (1 Punkt)
  a) $20{,}63\ \%$
  b) $79{,}37\ \%$
  c) $66{,}67\ \%$
  d) $83{,}33\ \%$
  e) $33{,}33\ \%$
  
  Die Antwortmöglichkeit b) ist richtig.
  Prozentanteil nach 10 Jahren
  Um die Prozent der ursprünglichen Masse nach 10 Jahren zu berechnen, benötigst du den hinteren Teil der Exponentialfunktion:
  $y=y_0 \cdot 0{,}5^{\frac{x}{30}}$
  Berechnest du von dieser Funktion $0{,}5^{\frac{x}{30}}$ für $x=10$ , kommst du auf den Prozentanteil nach 10 Jahren.
  $0{,}5^{\frac{10}{30}}=0{,}7937=79{,}37\ \%$
  Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video eine Schritt-für-Schritt Lösung der Aufgabe anschauen.
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Der Punkt $A(1|2)$ ist gemeinsamer Eckpunkt von gleichschenkligen Dreiecken

$AB_nC_n$ mit den Schenkeln $[AB_n]$ und $[AC_n]$ .

Die Mittelpunkte $M_n (x |- 0{,}4x + 2)$ der Schenkel $[AC_n]$ liegen auf der Geraden $g$

mit der Gleichung $y =-0{,}4x + 2$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ . Es gilt: $\sphericalangle B_nAC_n = 35^\circ$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie die Gerade $g$ sowie die Dreiecke $AB_1C_1$ für $x=-1{,}5$ und $AB_2C_2$ für
$x=3{,}5$ in ein Koordinatensystem ein.
(Maße des Koordinatensystems: $-4\le x\le9$ und $-2\le y\le 9$ )

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion
Einzeichnen der Geraden $g$ sowie der Dreiecke $AB_1C_1$ für $x=-1{,}5$ und $AB_2C_2$ für $x=3{,}5$
Zeichne $y=-0{,}4x+2$ , den Punkt $A(1|-2)$ und den Punkt $M_1$ ein.
Die Mittelpunkte $M_n (x |- 0{,}4x + 2)$ der Schenkel $[AC_n]$ liegen auf der Geraden $g$ .
Die x-Koordinate von $M_1$ ist
$x=-1{,}5$ .
Der Punkt $M_1$ liegt auf der Geraden g.
Konstruktion des Dreiecks $AB_1C_1$
Konstruktion des Punktes $C_1$ .
Zeichne eine Halbgerade beginnend im Punkt $A$ durch den Punkt $M_1$ .
Der Punkt $M_1$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[AC_1]$ . Deshalb wird für die Konstruktion des Punktes $C_1$ die Strecke $[AM_1]$ mithilfe des Zirkels abgetragen. Dabei wird der Zirkel so eingestellt, dass er den Radius $\overline{AM_1}$ hat. Stich in den Punkt $M_1$ ein und ziehe einen Kreisbogen um $M_1$ . Der Schnittpunkt des Kreisbogens mit der Halbgeraden ist der Punkt $C_1$ .
Konstruktion des Punktes $B_1$ .
Zeichne den Winkel $\sphericalangle B_1AC_1 = 35^\circ$ im Punkt $A$ ein. Es entsteht eine zweite Halbgerade.
Stelle den Zirkel so ein, dass er den Radius $\overline{AC_1}$ hat. Stich in den Punkt $A$ ein und ziehe einen Kreisbogen um $A$ .
Der Schnittpunkt des Kreisbogens mit der zweiten Halbgeraden ist der Punkt $B_1$ .
Verbinde $B_1$ mit $C_1$ .
Das Dreieck $AB_1C_1$ ist konstruiert.
Die Abbildung zeigt das konstruierte Dreieck $AB_1C_1$ .
Nach dem gleichen Schema wird das Dreieck $AB_2C_2$ für $x=3{,}5$ konstruiert.
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Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken $[AC_n]$ gilt: $\overline{AC_n}=1{,}66\cdot \overline{B_nC_n}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrische Funktionen

Zwischen den Strecken $\overline{AC_n}$ und $\overline{B_nC_n}$ soll die Beziehung $\overline{AC_n}=1{,}66\cdot \overline{B_nC_n}$ gelten.

Eine trigonometrische Funktion bezieht sich auf Strecken in einem rechtwinkligen Dreieck. Hier handelt es sich aber um ein gleichschenkliges Dreieck ohne rechten Winkel.

Zeichnet man die Höhe über der Basis $B_nC_n$ in das Dreieck $AB_nC_n$ ein, so teilt diese das gleichschenklige Dreieck in zwei gleich große rechtwinkelige Dreiecke.

Dabei sind die Strecken $\overline{DC_n}$ und $\overline{B_nD}$ gleich groß und halb so groß wie die Strecke $\overline{B_nC_n}$ . Die Höhe halbiert auch den Winkel $\sphericalangle B_nAC_n = 35^\circ$ .

Im rechtwinkligen Dreieck $ADC_n$ gilt:

$\displaystyle \sin\sphericalangle DAC_n$	$=$	$\displaystyle \dfrac{0{,}5\cdot \overline{B_nC_n}}{\overline{AC_n}}$
	↓	Es ist
$\displaystyle \sin(0{,}5\cdot 35^\circ)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{0{,}5\cdot \overline{B_nC_n}}{\overline{AC_n}}$
$\displaystyle \sin(0{,}5\cdot 35^\circ)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{0{,}5\cdot \overline{B_nC_n}}{\overline{AC_n}}$	$\displaystyle \cdot\overline{A_nC_n}$
$\displaystyle \sin(0{,}5\cdot 35^\circ)\cdot\overline{A_nC_n}$	$=$	$\displaystyle 0{,}5\cdot \overline{B_nC_n}$	$\displaystyle :\sin(0{,}5\cdot 35^\circ)$
$\displaystyle \overline{A_nC_n}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{0{,}5\cdot \overline{B_nC_n}}{\sin(0{,}5\cdot 35^\circ)}$
	$=$	$\displaystyle 1{,}66\cdot \overline{B_nC_n}$

Also ergibt sich:

\displaystyle \overline{A_nC_n}=1{,}66\cdot \overline{B_nC_n}

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Unter den Dreiecken $AB_nC_n$ hat das Dreieck $AB_3C_3$ die kürzesten Schenkel.

Berechnen Sie die Koordinaten des zugehörigen Mittelpunktes $M_3$ des Schenkels $[AC_3]$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Geraden

Damit das Dreieck $AB_3C_3$ die kürzesten Schenkel hat, muss der Vektor $\overrightarrow{AM_3}$ senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden $g$ stehen.

Es muss also gelten:

$\overrightarrow{AM_3}\circ\vec v_g=0$

Für den Vektor $\overrightarrow{AM_3}$ folgt:

$\overrightarrow{AM_3}= \overrightarrow{M_3}-\vec A=\begin{pmatrix}x\\- 0{,}4x + 2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x-1\\- 0{,}4x + 2-(-2)\end{pmatrix} $

$\overrightarrow{AM_3}= \begin{pmatrix}x-1\\- 0{,}4x + 4\end{pmatrix}$

Der Richtungsvektor der Geraden $g:\;y=-0{,}4x+2$ wird über die Steigung der Geraden ermittelt:

$m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=-0{,}4\;\text{oder}\; \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{-0{,}4}{1}$

$\Rightarrow\;\Delta x=v_{x_1}=1\;\text{und}\;\Delta y=v_{x_2}=-0{,}4$

$\Rightarrow\;\vec v_g=\begin{pmatrix}1\\-0{,}4\end{pmatrix}$

$\displaystyle \overrightarrow{AM_3}\circ\vec v_g$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze die beiden Vektoren ein.
$\displaystyle \begin{pmatrix}x-1\\- 0{,}4x + 4\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\-0{,}4\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$\displaystyle (x-1)\cdot1+(- 0{,}4x + 4)\cdot (-0{,}4)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Löse die Klammern auf.
$\displaystyle x-1+0{,}16x-1{,}6$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 1{,}16x-2{,}6$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +2{,}6$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 1{,}16x$	$=$	$\displaystyle 2{,}6$	$\displaystyle :1{,}16$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \dfrac{2{,}6}{1{,}16}$
	$=$	$\displaystyle 2{,}24$

Es ist $x=2{,}24$ (gerundet auf zwei Stellen nach dem Komma):

\displaystyle \overline{A_nC_n}=1{,}66\cdot \overline{B_nC_n}

Die $y$ -Koordinate vom Punkt $M_3$ erhältst du, indem $x=2{,}24$ in die Geradengleichung eingesetzt wird: $y=-0{,}4\cdot 2{,}24+2=1{,}10$

Damit ergibt sich:

\displaystyle \overline{A_nC_n}=1{,}66\cdot \overline{B_nC_n}

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Nachtermin Teil A

Einzeichnen des Trapezes

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Intervallgrenze von φ\varphiφ

Minimales Volumen

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Berechnung der Strecke ABn‾\overline{AB_n}ABn​​

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Anfangsmasse

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Prozentanteil nach 10 Jahren

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Einzeichnen der Geraden ggg sowie der Dreiecke AB1C1AB_1C_1AB1​C1​ für x=−1,5x=-1{,}5x=−1,5 und AB2C2AB_2C_2AB2​C2​ für x=3,5x=3{,}5x=3,5

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Intervallgrenze von $\varphi$

Berechnung der Strecke $\overline{AB_n}$

Einzeichnen der Geraden $g$ sowie der Dreiecke $AB_1C_1$ für $x=-1{,}5$ und $AB_2C_2$ für $x=3{,}5$