Nachtermin Teil A

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Trapeze $A B_{n} C D$ rotieren um die Achse $A D$ . Die Winkel $D C B_{n}$ haben das Maß $φ$ mit $φ \in] 45^{\circ}; 90^{\circ} [$ .
Es gilt: $A D = 4 cm$ ; $C D = 4 cm$ ; $∢ A D C = ∢ B_{n} A D = 90^{\circ}$ .
Die Zeichnung zeigt das Trapez $A B_{1} C D$ für $φ = 80^{\circ}$ .
1. Zeichnen Sie das Trapez $A B_{2} C D$ für $φ = 55^{\circ}$ in die Zeichnung ein.
  (1 Punkt)
  
  Einzeichnen des Trapezes
  Das Trapez $A B_{2} C D$ mit dem Winkel $φ = 55^{\circ}$ besitzt dieselben Streckenlängen $A D$ und $C D$ wie das Trapez $A B_{1} C D$ . An diesen Strecken musst du also nichts ändern.
  Auch die Winkel $∢ D A B_{n}$ und $∢ C D A$ bleiben gleich.
  Nur der Winkel $φ$ muss verändert werden und so der neue Punkt $B_{2}$ gefunden werden.
  Zeichne zunächst den Winkel $φ = 55^{\circ}$ beim Punkt $C$ ein.
  Markiere den Schnittpunkt der Strecke $[A B_{1}]$ mit dem Schenkel des Winkels $φ$ als deinen Punkt $B_{2}$ .
  Das Trapez $A B_{2} C D$ ist damit fertig eingezeichnet.
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2. Bestätigen Sie die untere Intervallgrenze für $φ$ und begründen Sie sodann, dass das Volumen $V$ der Rotationskörper gilt: $V > \frac{64}{3} π {cm}^{3}$ .
  (2 Punkte)
  
  Intervallgrenze von $φ$
  Die untere Intervallgrenze ist, wie angegeben, bei $45^{\circ}$ . Die Begründung ergibt sich, wenn du den Winkel $φ = 45^{\circ}$ in die Zeichnung einzeichnest.
  Wenn der Winkel $φ$ genau $45^{\circ}$ groß ist, wird aus dem Trapez $A B_{n} C D$ ein Dreieck $A C D$ , da der Punkt $B_{n}$ auf $A$ liegt.
  Minimales Volumen
  Das Volumen des Rotationskörpers von Trapezen $A B_{n} C D$ wird immer größer sein, als das Volumen des Rotationskörpers des Dreiecks $A C D$ bei der unteren Intervallgrenze von $φ$ .
  Stelle nun das Volumen des Rotationskörpers vom Dreieck $A C D$ auf. Aus einem Dreieck, das um eine Achse rotiert, wird ein Kegel.
  $V_{Kegel} = \frac{1}{3} \cdot r^{2} \cdot π \cdot h$
  Dieser Rotationskörper dreht sich um die Achse $A D$ . Damit erhältst du den Radius $r = C D = 4 cm$ .
  Die Höhe beträgt $h = A D = 4 cm$
  $V_{A B_{n} C D} > V_{Kegel}$
  $V_{A B_{n} C D} > \frac{1}{3} \cdot (4 cm)^{2} \cdot π \cdot 4 cm$
  $V_{A B_{n} C D} > \frac{64}{3} \cdot π {cm}^{3}$
  Das Volumen des Rotationskörpers des Trapezes $A B_{n} C D$ ist also größer als $\frac{64}{3} \cdot π {cm}^{3}$ .
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3. Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken $[A B_{n}]$ in Abhängigkeit von $φ$ gilt:
  $A B_{n} = (4 - \frac{4}{tan φ}) cm$
  (2 Punkte)
  
  Berechnung der Strecke $A B_{n}$
  Betrachte die Strecken im Trapez $A B_{2} C D$ .
  Du kannst die Strecke $A B$ auf der Strecke $[C D]$ abtragen und erhältst so zwei Streckenteile (in der Skizze grün und türkis markiert).
  Du kannst nun die türkise Strecke $4 cm - A B_{n}$ mithilfe des Tangens des Winkels $φ$ berechnen.
  Stelle die Formel für den Tangens auf!
  $\tan (φ) = \frac{4 cm}{4 cm - A B}$
  Löse diese Gleichung nach $A B$ auf!
  $tan (φ) = \frac{4 cm}{4 cm - A B} | \cdot (4 cm - A B) | : tan (φ)$
  $4 cm - A B = \frac{4 cm}{tan (φ)} | - 4 cm$
  $- A B = - 4 cm + \frac{4 cm}{\tan (φ)} | \cdot (- 1)$
  $A B = 4 cm - \frac{4 cm}{tan (φ)} = (4 - \frac{4}{tan (φ)}) cm$
  Die Strecke $[A B]$ hat die Länge $A B = (4 - \frac{4}{tan (φ)}) cm$ .
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2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Das radioaktive Isotop Cäsium-137 zerfällt mit einer Halbwertszeit von $30$ Jahren, d.h. nach dieser Zeit ist von einer bestimmten Anfangsmasse dieses Isotops nur noch die Hälfte an Cäsium-137 vorhanden. Der Zusammenhang zwischen der Anzahl $x$ der Jahre seit Beginn des Zerfalls und der Masse $y mg$ lässt sich näherungsweise durch eine Funktion der Form $y = y_{0} \cdot {0,5}^{\frac{x}{30}}$ $(𝔾 = ℝ_{0}^{+} \times ℝ_{0}^{+}; y_{0} \in ℝ^{+})$ darstellen, wobei $y_{0} mg$ die Masse zu Beginn eines Versuches darstellt. Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Bei einem Langzeitversuch sind nach sechs Jahren noch $39 mg$ des Isotops Cäsium-137 nachweisbar. Bestimmen Sie rechnerisch die Masse, die zu Beginn des Versuches vorhanden war.
  (2 Punkte)
  
  Anfangsmasse
  Überlege dir anhand der Formel $y = y_{0} \cdot {0,5}^{\frac{x}{30}}$ welche Werte du gegeben hast und was du berechnen möchtest.
  Gegeben: $y = Masse nach bestimmmter Zeit = 39 mg$ $x = vergangene Zeit = 6 Jahre$
  Gesucht: $y_{0} = Anfangsmasse$
  Stelle die Formel mit den gegebenen Werten auf und löse sie nach der gesuchten Größe $y_{0}$ auf!
  $y = y_{0} \cdot {0,5}^{\frac{x}{30}}$
  $39 = y_{0} \cdot {0,5}^{\frac{6}{30}}$
  Setze ein und vereinfache die Formel!
  $39 = y_{0} \cdot {0,5}^{\frac{6}{30}} | : {0,5}^{\frac{6}{30}}$
  Löse die Gleichung nach $y_{0}$ auf!
  Du erhältst für die Anfangsmasse einen Wert von $44,80 mg$
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2. In einem anderen Versuch lässt sich der Zerfallsprozess durch die Funktion mit der Gleichung $y = 13,5 \cdot {0,5}^{\frac{x}{30}}$ $(𝔾 = ℝ_{0}^{+} \times ℝ_{0}^{+})$ darstellen. Berechnen Sie, im wievielten Jahr erstmals weniger als $8 mg$ des Isotops nachweisbar sind.
  (2 Punkte)
  
  In dieser Aufgabe ist die Anfangsmasse $y_{0}$ schon gegeben. Es wird dieses Mal die vergangene Zeit ( $x$ ) gesucht, nach der weniger als $8 mg$ vorhanden sind.
  Du kannst diesen Zusammenhang mithilfe einer Ungleichung beschreiben:
  $8 > y$
  $8 > 13,5 \cdot {0,5}^{\frac{x}{30}}$
  Löse diese Ungleichung nun nach $x$ auf!
  $8 > 13,5 \cdot {0,5}^{\frac{x}{30}} | : 13,5$
  $\frac{8}{13,5} > {0,5}^{\frac{x}{30}}$
  Löse die Ungleichung mithilfe des Logarithmus!
  ${log}_{0,5} (\frac{8}{13,5}) > \frac{x}{30} | \cdot 30$
  $30 \cdot {log}_{0,5} (\frac{8}{13,5}) > x$
  $22,65 > x$
  Im $23.$ Jahr ist die Menge an Cäsium-137 auf unter $8 mg$ gesunken.
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3. Wie viel Prozent der ursprünglichen Masse des Isotops Cäsium-137 sind nach zehn Jahren noch vorhanden?
  Kreuzen Sie die zutreffende Lösung an.
  (1 Punkt)
  a) $20,63 %$
  b) $79,37 %$
  c) $66,67 %$
  d) $83,33 %$
  e) $33,33 %$
  
  Die Antwortmöglichkeit b) ist richtig.
  Prozentanteil nach 10 Jahren
  Um die Prozent der ursprünglichen Masse nach 10 Jahren zu berechnen, benötigst du den hinteren Teil der Exponentialfunktion:
  $y = y_{0} \cdot {0,5}^{\frac{x}{30}}$
  Berechnest du von dieser Funktion ${0,5}^{\frac{x}{30}}$ für $x = 10$ , kommst du auf den Prozentanteil nach 10 Jahren.
  ${0,5}^{\frac{10}{30}} = 0,7937 = 79,37 %$
  Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video eine Schritt-für-Schritt Lösung der Aufgabe anschauen.
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Der Punkt $A (1 | 2)$ ist gemeinsamer Eckpunkt von gleichschenkligen Dreiecken

$A B_{n} C_{n}$ mit den Schenkeln $[A B_{n}]$ und $[A C_{n}]$ .

Die Mittelpunkte $M_{n} (x | - 0,4 x + 2)$ der Schenkel $[A C_{n}]$ liegen auf der Geraden $g$

mit der Gleichung $y = - 0,4 x + 2$ $(𝔾 = ℝ \times ℝ)$ . Es gilt: $∢ B_{n} A C_{n} = 35^{\circ}$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie die Gerade $g$ sowie die Dreiecke $A B_{1} C_{1}$ für $x = - 1,5$ und $A B_{2} C_{2}$ für
$x = 3,5$ in ein Koordinatensystem ein.
(Maße des Koordinatensystems: $- 4 \leq x \leq 9$ und $- 2 \leq y \leq 9$ )

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion
Einzeichnen der Geraden $g$ sowie der Dreiecke $A B_{1} C_{1}$ für $x = - 1,5$ und $A B_{2} C_{2}$ für $x = 3,5$
Zeichne $y = - 0,4 x + 2$ , den Punkt $A (1 | - 2)$ und den Punkt $M_{1}$ ein.
Die Mittelpunkte $M_{n} (x | - 0,4 x + 2)$ der Schenkel $[A C_{n}]$ liegen auf der Geraden $g$ .
Die x-Koordinate von $M_{1}$ ist
$x = - 1,5$ .
Der Punkt $M_{1}$ liegt auf der Geraden g.
Konstruktion des Dreiecks $A B_{1} C_{1}$
Konstruktion des Punktes $C_{1}$ .
Zeichne eine Halbgerade beginnend im Punkt $A$ durch den Punkt $M_{1}$ .
Der Punkt $M_{1}$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[A C_{1}]$ . Deshalb wird für die Konstruktion des Punktes $C_{1}$ die Strecke $[A M_{1}]$ mithilfe des Zirkels abgetragen. Dabei wird der Zirkel so eingestellt, dass er den Radius $A M_{1}$ hat. Stich in den Punkt $M_{1}$ ein und ziehe einen Kreisbogen um $M_{1}$ . Der Schnittpunkt des Kreisbogens mit der Halbgeraden ist der Punkt $C_{1}$ .
Konstruktion des Punktes $B_{1}$ .
Zeichne den Winkel $∢ B_{1} A C_{1} = 35^{\circ}$ im Punkt $A$ ein. Es entsteht eine zweite Halbgerade.
Stelle den Zirkel so ein, dass er den Radius $A C_{1}$ hat. Stich in den Punkt $A$ ein und ziehe einen Kreisbogen um $A$ .
Der Schnittpunkt des Kreisbogens mit der zweiten Halbgeraden ist der Punkt $B_{1}$ .
Verbinde $B_{1}$ mit $C_{1}$ .
Das Dreieck $A B_{1} C_{1}$ ist konstruiert.
Die Abbildung zeigt das konstruierte Dreieck $A B_{1} C_{1}$ .
Nach dem gleichen Schema wird das Dreieck $A B_{2} C_{2}$ für $x = 3,5$ konstruiert.
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Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken $[A C_{n}]$ gilt: $A C_{n} = 1,66 \cdot B_{n} C_{n}$ .

Unter den Dreiecken $A B_{n} C_{n}$ hat das Dreieck $A B_{3} C_{3}$ die kürzesten Schenkel.

Berechnen Sie die Koordinaten des zugehörigen Mittelpunktes $M_{3}$ des Schenkels $[A C_{3}]$ .

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\sin ∢ D A C_{n}$	$=$	$\frac{0,5 \cdot B_{n} C_{n}}{A C_{n}}$
	↓	Es ist
$\sin (0,5 \cdot 35^{\circ})$	$=$	$\frac{0,5 \cdot B_{n} C_{n}}{A C_{n}}$
$\sin (0,5 \cdot 35^{\circ})$	$=$	$\frac{0,5 \cdot B_{n} C_{n}}{A C_{n}}$	$\cdot A_{n} C_{n}$
$\sin (0,5 \cdot 35^{\circ}) \cdot A_{n} C_{n}$	$=$	$0,5 \cdot B_{n} C_{n}$	$: \sin (0,5 \cdot 35^{\circ})$
$A_{n} C_{n}$	$=$	$\frac{0,5 \cdot B_{n} C_{n}}{\sin (0,5 \cdot 35^{\circ})}$
	$=$	$1,66 \cdot B_{n} C_{n}$

$\vec{A M_{3}} \circ {\vec{v}}_{g}$	$=$	$0$
	↓	Setze die beiden Vektoren ein.
$(\begin{array}{c} x - 1 \\ - 0,4 x + 4 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ - 0,4 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$(x - 1) \cdot 1 + (- 0,4 x + 4) \cdot (- 0,4)$	$=$	$0$
	↓	Löse die Klammern auf.
$x - 1 + 0,16 x - 1,6$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$1,16 x - 2,6$	$=$	$0$	$+ 2,6$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$1,16 x$	$=$	$2,6$	$: 1,16$
$x$	$=$	$\frac{2,6}{1,16}$
	$=$	$2,24$

Nachtermin Teil A

Einzeichnen des Trapezes

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Intervallgrenze von φ

Minimales Volumen

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Berechnung der Strecke ABn

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Anfangsmasse

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Prozentanteil nach 10 Jahren

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Einzeichnen der Geraden g sowie der Dreiecke AB1C1 für x=−1,5 und AB2C2 für x=3,5

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Intervallgrenze von $φ$

Berechnung der Strecke $A B_{n}$

Einzeichnen der Geraden $g$ sowie der Dreiecke $A B_{1} C_{1}$ für $x = - 1,5$ und $A B_{2} C_{2}$ für $x = 3,5$