Einzeichnen des Trapezes

Das Trapez $AB_2CD$ mit dem Winkel $\varphi=55^{\circ}$ besitzt dieselben Streckenlängen $\overline{AD}$ und $\overline{CD}$ wie das Trapez $AB_1CD$. An diesen Strecken musst du also nichts ändern.

Auch die Winkel $\sphericalangle DAB_n$ und $\sphericalangle CDA$ bleiben gleich.

Nur der Winkel $\varphi$ muss verändert werden und so der neue Punkt $B_2$ gefunden werden.

Zeichne zunächst den Winkel $\varphi=55^{\circ}$ beim Punkt $C$ ein.

Markiere den Schnittpunkt der Strecke $[AB_1]$ mit dem Schenkel des Winkels $\varphi$ als deinen Punkt $B_2$.

Das Trapez $AB_2CD$ ist damit fertig eingezeichnet.

Intervallgrenze von $\varphi$

Die untere Intervallgrenze ist, wie angegeben, bei $45^{\circ}$. Die Begründung ergibt sich, wenn du den Winkel $\varphi=45^{\circ}$ in die Zeichnung einzeichnest.

Wenn der Winkel $\varphi$ genau $45^{\circ}$ groß ist, wird aus dem Trapez $AB_nCD$ ein Dreieck $ACD$, da der Punkt $B_n$ auf $A$ liegt.

Minimales Volumen

Das Volumen des Rotationskörpers von Trapezen $AB_nCD$ wird immer größer sein, als das Volumen des Rotationskörpers des Dreiecks $ACD$ bei der unteren Intervallgrenze von $\varphi$.

Stelle nun das Volumen des Rotationskörpers vom Dreieck $ACD$ auf. Aus einem Dreieck, das um eine Achse rotiert, wird ein Kegel.

$V_{\text{Kegel}}=\dfrac{1}{3} \cdot r^2 \cdot \pi \cdot h$

Dieser Rotationskörper dreht sich um die Achse $AD$. Damit erhältst du den Radius $r=\overline{CD}=4\, \text{cm}$.

Die Höhe beträgt $h = \overline{AD}=4\, \text{cm}$

$V_{AB_nCD} > V_{\text{Kegel}}$

$V_{AB_nCD} > \frac{1}{3} \cdot (4 \, \text{cm})^2 \cdot \pi \cdot 4 \, \text{cm}$

$V_{AB_nCD} > \dfrac{64}{3} \cdot \pi \, \text{cm}^3$

Das Volumen des Rotationskörpers des Trapezes $AB_nCD$ ist also größer als $\dfrac{64}{3} \cdot \pi \, \text{cm}^3$.

Berechnung der Strecke $\overline{AB_n}$

Betrachte die Strecken im Trapez $AB_2CD$.

Du kannst die Strecke $\overline{AB}$ auf der Strecke $[CD]$ abtragen und erhältst so zwei Streckenteile (in der Skizze grün und türkis markiert).

Du kannst nun die türkise Strecke $4 \, \text{cm} - \overline{AB_n}$ mithilfe des Tangens des Winkels $\varphi$ berechnen.

Stelle die Formel für den Tangens auf!

$\tan(\varphi)= \dfrac{4 \, \text{cm}}{4 \, \text{cm} - \overline{AB}}$

Löse diese Gleichung nach $\overline{AB}$ auf!

$\text{tan}(\varphi)= \dfrac{4 \, \text{cm}}{4 \, \text{cm} - \overline{AB}}\hspace{2cm}|\cdot (4 \, \text{cm}-\overline{AB}) \hspace{1cm}|:\text{tan}(\varphi)$

$4 \, \text{cm} - \overline{AB} = \dfrac{4 \, \text{cm}}{\text{tan}(\varphi)} \hspace{2cm}|-4 \, \text{cm}$

$- \overline{AB} = -4 \, \text{cm} + \dfrac{4 \, \text{cm}}{\tan(\varphi)} \hspace{1.3cm} |\cdot (-1)$

$\overline{AB} = 4 \, \text{cm} - \dfrac{4 \, \text{cm}}{\text{tan}(\varphi)} = \left( 4- \dfrac{4}{\text{tan}(\varphi)} \right) \text{cm}$

Die Strecke $[AB]$ hat die Länge $\overline{AB} = \left( 4- \dfrac{4}{\text{tan}(\varphi)} \right) \text{cm}$.