Einzeichnen des Trapezes

Das Trapez $A{B}_{2}CD$ mit dem Winkel $\phi ={55}^{\circ }$ besitzt dieselben Streckenlängen $\overline{AD}$ und $\overline{CD}$ wie das Trapez $A{B}_{1}CD$. An diesen Strecken musst du also nichts ändern.

Auch die Winkel $\sphericalangle DA{B}_n$ und $\sphericalangle CDA$ bleiben gleich.

Nur der Winkel $\phi$ muss verändert werden und so der neue Punkt $B_2$ gefunden werden.

Zeichne zunächst den Winkel $\phi ={55}^{\circ }$ beim Punkt $C$ ein.

Markiere den Schnittpunkt der Strecke $[A{B}_1]$ mit dem Schenkel des Winkels $\phi$ als deinen Punkt $B_2$.

Das Trapez $A{B}_{2}CD$ ist damit fertig eingezeichnet.

Intervallgrenze von $\phi$

Die untere Intervallgrenze ist, wie angegeben, bei ${45}^{\circ }$. Die Begründung ergibt sich, wenn du den Winkel $\phi ={45}^{\circ }$ in die Zeichnung einzeichnest.

Wenn der Winkel $\phi$ genau ${45}^{\circ }$ groß ist, wird aus dem Trapez $A{B}_{n}CD$ ein Dreieck $ACD$, da der Punkt $B_n$ auf $A$ liegt.

Minimales Volumen

Das Volumen des Rotationskörpers von Trapezen $A{B}_{n}CD$ wird immer größer sein, als das Volumen des Rotationskörpers des Dreiecks $ACD$ bei der unteren Intervallgrenze von $\phi$.

Stelle nun das Volumen des Rotationskörpers vom Dreieck $ACD$ auf. Aus einem Dreieck, das um eine Achse rotiert, wird ein Kegel.

$V_{\text{Kegel}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot r^2\cdot \pi \cdot h$

Dieser Rotationskörper dreht sich um die Achse $AD$. Damit erhältst du den Radius $r=\overline{CD}=4\text{cm}$.

Die Höhe beträgt $h=\overline{AD}=4\text{cm}$

$V_{A{B}_{n}CD}>V_{\text{Kegel}}$

$V_{A{B}_{n}CD}>\frac{1}{3}\cdot (4\text{cm}{)}^2\cdot \pi \cdot 4\text{cm}$

$V_{A{B}_{n}CD}>{\displaystyle \frac{64}{3}}\cdot \pi {\text{cm}}^3$

Das Volumen des Rotationskörpers des Trapezes $A{B}_{n}CD$ ist also größer als ${\displaystyle \frac{64}{3}}\cdot \pi {\text{cm}}^3$.

Berechnung der Strecke $\overline{A{B}_n}$

Betrachte die Strecken im Trapez $A{B}_{2}CD$.

Du kannst die Strecke $\overline{AB}$ auf der Strecke $[CD]$ abtragen und erhältst so zwei Streckenteile (in der Skizze grün und türkis markiert).

Du kannst nun die türkise Strecke $4\text{cm}-\overline{A{B}_n}$ mithilfe des Tangens des Winkels $\phi$ berechnen.

Stelle die Formel für den Tangens auf!

$\tan (\phi )={\displaystyle \frac{4\text{cm}}{4\text{cm}-\overline{AB}}}$

Löse diese Gleichung nach $\overline{AB}$ auf!

$\text{tan}(\phi )={\displaystyle \frac{4\text{cm}}{4\text{cm}-\overline{AB}}}|\cdot (4\text{cm}-\overline{AB})|:\text{tan}(\phi )$

$4\text{cm}-\overline{AB}={\displaystyle \frac{4\text{cm}}{\text{tan}(\phi )}}|-4\text{cm}$

$-\overline{AB}=-4\text{cm}+{\displaystyle \frac{4\text{cm}}{\tan (\phi )}}|\cdot (-1)$

$\overline{AB}=4\text{cm}-{\displaystyle \frac{4\text{cm}}{\text{tan}(\phi )}}=(4-{\displaystyle \frac{4}{\text{tan}(\phi )}})\text{cm}$

Die Strecke $[AB]$ hat die Länge $\overline{AB}=(4-{\displaystyle \frac{4}{\text{tan}(\phi )}})\text{cm}$.