Nachtermin Teil A - lernen mit Serlo!

Im folgenden Koordinatensystem ist der Graph der Funktion $f$ mit der Gleichung $y=\frac4x$ mit $\mathbb{G}=\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}^+$ dargestellt.

Punkte $Q_n(x|\frac4x)$ auf dem Graphen zu $f$ sind zusammen mit den Punkten $O (0 ∣ 0)$ und $P (3 ∣ - 1)$ die Eckpunkte von Dreiecken $O P Q_{n}$ .
Zeichnen Sie für $x = 2$ das Dreieck $O P Q_{1}$ in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein und überprüfen Sie rechnerisch, ob das Dreieck $O P Q_{1}$ gleichseitig ist.

Teilaufgabe a
Zeichnung des Dreiecks $O P Q_{1}$ :
$P (3 ∣ - 1)$ und $O (0 ∣ 0)$
$Q_{n}$ ( x| $\frac{4}{x}$ ) für $x = 2$ :
$Q_{1}$ (2| $\frac{4}{2}=2$ )
Zeichne die Punkte ein und verbinde sie.
Das Dreieck $O P Q_{1}$ ist nicht gleichseitig. Beweis über drei rechtwinklige Dreiecke und mit Hilfe des Satzes des Pythagoras:
Seite [ $O Q_{1}$ ] im Dreieck $O A Q_{1}$ (orange):
$\overline{OQ_1}=\sqrt{\overline{AO}^2+\overline{AQ_1^2}}$
$\overline{OQ_1}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}\approx2{,}83\ LE$
Seite [OP] im Dreieck $O B P$ (pink):
$\overline{OP}=\sqrt{\overline{OB}^2+\overline{BP^2}}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\approx3{,}16$ LE
Seite [ $P Q_{1}$ ] im Dreieck $C P Q_{1}$ (grün):
$\overline{PQ_1}=\sqrt{\overline{CQ_1}^2+\overline{CP}^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\approx3{,}16\ LE$
$\overline{OP}=\overline{PQ_1}\ne\overline{OQ_1}$
Das Dreieck $O P Q_{1}$ ist nicht gleichseitig, aber gleichschenklig.
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Berechnen Sie das Maß des Winkels $\sphericalangle POQ_1$ auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

Bestimmen Sie rechnerisch den Flächeninhalt $A$ der Dreiecke $O P Q_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $Q_{n}$ .

Existiert unter den Dreiecken $O P Q_{n}$ ein rechtwinkliges Dreieck mit $[O P]$ als Hypotenuse? Begründen Sie Ihre Antwort mithilfe einer Zeichnung in der Aufgabenstellung.
- Ja, es existiert ein rechtwinkliges Dreieck unter den Dreiecken $O P Q_{n}$ .
- Nein, es existiert kein rechtwinkliges Dreieck unter den Dreiecken $O P Q_{n}$ .
Teilaufgabe d
Wenn das Dreieck $O P Q_{n}$ ein rechtwinkliges Dreieck sein soll, mit Hypotenuse [OP], muss $Q_{n}$ auf dem Thaleskreis liegen:
Konstruktion des Thaleskreis:
Mittelpunkt M über die Mittelsenkrechte $i$ (pink)
Kreis um Mittelpunkt M mit Radius $r=\overline{MP}=\overline{OM}$ (lila)
Da die Kreislinie nie die Funktion schneidet, kann es keinen Punkt $Q_{n}$ geben, sodass ein rechtwinkliges Dreieck gebildet werden kann.
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$\displaystyle \overline{PQ_1}^2$	$=$	$\displaystyle \overline{OP}^2+\overline{OQ_1}^2-2\cdot\overline{OP}\cdot\overline{OQ_1}\cdot\cos\left(\measuredangle POQ_1\right)$
$\displaystyle \cos(∡POQ_1)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{OP}^2+\overline{OQ_1}^2-\overline{PQ_1}^2}{2\cdot\overline{OP}\cdot\overline{OQ_1}}$
$\displaystyle \cos(∡POQ_1)$	$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt{10}^2+\sqrt{8}^2-\sqrt{10}^2}{2\cdot\sqrt{10}\cdot\sqrt{8}}$
$\displaystyle \cos(∡POQ_1)$	$\approx ≈$	$\displaystyle 0{,}44721...$	$\displaystyle \cos^{-1}$
$\displaystyle ∡POQ_1$	$\approx ≈$	$\displaystyle 63{,}43°$

$\displaystyle A\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac12\left\|\det\begin{pmatrix}\overrightarrow{OQ_n}&\overrightarrow{OP}\end{pmatrix}\right\|\text{FE}$
	$=$	$\displaystyle \frac12\left\|\det\begin{pmatrix}{x}_1&{x}_2\\{y}_1&{y}_2\end{pmatrix}\right\|\text{FE}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left\|x_1y_2-x_2y_1\right\|\text{FE}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{4}{x}\cdot 3-x\cdot \left(-1\right)\right)\text{FE}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{12}{x}+x\right)\text{FE}$
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{6}{x}+\frac{1}{2}x\right)\text{FE}$

Teilaufgabe a

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Teilaufgabe b

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Teilaufgabe c

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Teilaufgabe d

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