Nachtermin Teil A - lernen mit Serlo!

Im folgenden Koordinatensystem ist der Graph der Funktion $f$ mit der Gleichung $y = \frac{4}{x}$ mit $𝔾 = ℝ^{+} \times ℝ^{+}$ dargestellt.

Punkte $Q_{n} (x | \frac{4}{x})$ auf dem Graphen zu $f$ sind zusammen mit den Punkten $O (0 | 0)$ und $P (3 | - 1)$ die Eckpunkte von Dreiecken $O P Q_{n}$ .
Zeichnen Sie für $x = 2$ das Dreieck $O P Q_{1}$ in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein und überprüfen Sie rechnerisch, ob das Dreieck $O P Q_{1}$ gleichseitig ist.

Teilaufgabe a
Zeichnung des Dreiecks $O P Q_{1}$ :
$P (3 | - 1)$ und $O (0 | 0)$
$Q_{n}$ ( x| $\frac{4}{x}$ ) für $x = 2$ :
$Q_{1}$ (2| $\frac{4}{2} = 2$ )
Zeichne die Punkte ein und verbinde sie.
Das Dreieck $O P Q_{1}$ ist nicht gleichseitig. Beweis über drei rechtwinklige Dreiecke und mit Hilfe des Satzes des Pythagoras:
Seite [ $O Q_{1}$ ] im Dreieck $O A Q_{1}$ (orange):
$O Q_{1} = \sqrt{{A O}^{2} + A Q_{1}^{2}}$
$O Q_{1} = \sqrt{2^{2} + 2^{2}} = \sqrt{8} \approx 2,83 L E$
Seite [OP] im Dreieck $O B P$ (pink):
$O P = \sqrt{{O B}^{2} + B P^{2}} = \sqrt{3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{10} \approx 3,16$ LE
Seite [ $P Q_{1}$ ] im Dreieck $C P Q_{1}$ (grün):
$P Q_{1} = \sqrt{{C Q_{1}}^{2} + {C P}^{2}} = \sqrt{3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{10} \approx 3,16 L E$
$O P = P Q_{1} \neq O Q_{1}$
Das Dreieck $O P Q_{1}$ ist nicht gleichseitig, aber gleichschenklig.
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Berechnen Sie das Maß des Winkels $∢ P O Q_{1}$ auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

Teilaufgabe b
Maß des Winkels $∡ P O Q_{1}$ mit Hilfe des Kosinussatzes:
${P Q_{1}}^{2}$ $=$ ${O P}^{2} + {O Q_{1}}^{2} - 2 \cdot O P \cdot O Q_{1} \cdot \cos (∡ P O Q_{1})$
$\cos (∡ P O Q_{1})$ $=$ $\frac{{O P}^{2} + {O Q_{1}}^{2} - {P Q_{1}}^{2}}{2 \cdot O P \cdot O Q_{1}}$
$\cos (∡ P O Q_{1})$ $=$ $\frac{{\sqrt{10}}^{2} + {\sqrt{8}}^{2} - {\sqrt{10}}^{2}}{2 \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{8}}$
$\cos (∡ P O Q_{1})$ $\approx$ $0,44721...$ $\cos^{- 1}$
$∡ P O Q_{1}$ $\approx$ $63,43 °$
Bemerkung: Alternativ können wir die Steigungen der Strecken $O P$ und $O Q_{1}$ berechnen und benutzen, dass diese Werte jeweils der Tangens des Winkels mit der $x$ -Achse sind. Wir erhalten die Winkel $ε_{1} = 45^{\circ}$ und $ε_{2} = - {18,43}^{\circ}$ , die Differenz ist der gesuchte Winkel.
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Bestimmen Sie rechnerisch den Flächeninhalt $A$ der Dreiecke $O P Q_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $Q_{n}$ .

Teilaufgabe c
Flächeninhalt A des Dreiecks $O P Q_{1}$ in Abhängigkeit von x mit Hilfe von Vektoren:
$A = \frac{1}{2} | \det (\begin{array}{cc} \vec{O Q_{1}} & \vec{O P} \end{array}) |$
$\vec{O Q_{n}} = (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}) = (\begin{array}{c} x \\ 4 / x \end{array})$
$\vec{O P} = (\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \end{array})$
Berechne den Flächeninhalt über die Determinante.
$A (x)$ $=$ $\frac{1}{2} | \det (\begin{array}{cc} \vec{O Q_{n}} & \vec{O P} \end{array}) | FE$
$=$ $\frac{1}{2} | \det (\begin{array}{cc} x_{1} & x_{2} \\ y_{1} & y_{2} \end{array}) | FE$
$=$ $\frac{1}{2} | x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} | FE$
$=$ $\frac{1}{2} (\frac{4}{x} \cdot 3 - x \cdot (- 1)) FE$
$=$ $\frac{1}{2} (\frac{12}{x} + x) FE$
$=$ $(\frac{6}{x} + \frac{1}{2} x) FE$
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Existiert unter den Dreiecken $O P Q_{n}$ ein rechtwinkliges Dreieck mit $[O P]$ als Hypotenuse? Begründen Sie Ihre Antwort mithilfe einer Zeichnung in der Aufgabenstellung.
- Ja, es existiert ein rechtwinkliges Dreieck unter den Dreiecken $O P Q_{n}$ .
- Nein, es existiert kein rechtwinkliges Dreieck unter den Dreiecken $O P Q_{n}$ .
Teilaufgabe d
Wenn das Dreieck $O P Q_{n}$ ein rechtwinkliges Dreieck sein soll, mit Hypotenuse [OP], muss $Q_{n}$ auf dem Thaleskreis liegen:
Konstruktion des Thaleskreis:
Mittelpunkt M über die Mittelsenkrechte $i$ (pink)
Kreis um Mittelpunkt M mit Radius $r = M P = O M$ (lila)
Da die Kreislinie nie die Funktion schneidet, kann es keinen Punkt $Q_{n}$ geben, sodass ein rechtwinkliges Dreieck gebildet werden kann.
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Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

${P Q_{1}}^{2}$	$=$	${O P}^{2} + {O Q_{1}}^{2} - 2 \cdot O P \cdot O Q_{1} \cdot \cos (∡ P O Q_{1})$
$\cos (∡ P O Q_{1})$	$=$	$\frac{{O P}^{2} + {O Q_{1}}^{2} - {P Q_{1}}^{2}}{2 \cdot O P \cdot O Q_{1}}$
$\cos (∡ P O Q_{1})$	$=$	$\frac{{\sqrt{10}}^{2} + {\sqrt{8}}^{2} - {\sqrt{10}}^{2}}{2 \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{8}}$
$\cos (∡ P O Q_{1})$	$\approx$	$0,44721...$	$\cos^{- 1}$
$∡ P O Q_{1}$	$\approx$	$63,43 °$

$A (x)$	$=$	$\frac{1}{2} \| \det (\begin{array}{cc} \vec{O Q_{n}} & \vec{O P} \end{array}) \| FE$
	$=$	$\frac{1}{2} \| \det (\begin{array}{cc} x_{1} & x_{2} \\ y_{1} & y_{2} \end{array}) \| FE$
	$=$	$\frac{1}{2} \| x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} \| FE$
	$=$	$\frac{1}{2} (\frac{4}{x} \cdot 3 - x \cdot (- 1)) FE$
	$=$	$\frac{1}{2} (\frac{12}{x} + x) FE$
	$=$	$(\frac{6}{x} + \frac{1}{2} x) FE$

Teilaufgabe a

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Teilaufgabe b

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Teilaufgabe c

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Teilaufgabe d

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