Nachtermin Teil A

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Die nebenstehende Figur ist durch den Kreisbogen $\overset{\frown}{BC}$ mit dem Radius $r=\overline{MC}$ und die Strecken $[AB]$ und $[AC]$ begrenzt.
Es gilt: $\overline{AB} = 6\;\text{cm}; \overline{MB}=4\;\text{cm}; \sphericalangle BMC=58\degree$ .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Bestimmen Sie rechnerisch das Maß des Winkels $BAC$ .
  [Teilergebnis: $\overline{AC}=5{,}34\;\text{cm}$ ]
  
  Teilaufgabe a
  Berechnung von $\overline{\mathrm{AC}}$
  1) Berechne zunächst den Winkel $\mathrm{CMA}$ :
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\sphericalangle\mathrm{CMA}=180^\circ-\sphericalangle \mathrm{BMC}\;=\;180^\circ-58^\circ=122^\circ\;\end{array}$
  2) Der Winkel $\mathrm{CMA}$ liegt der Seite $\overline{AC}$ gegenüber, mit dem Kosinussatz kannst Du die Seite $\overline{AC}$ berechnen:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\overline {\mathrm{AC}}^2&=&\overline {\mathrm{AM}}^2+\overline {\mathrm{MC}}^2-2\cdot \overline {\mathrm{AM}} \cdot \overline {\mathrm{MC}} \cdot \cos \sphericalangle \mathrm{CMA} \\ &=&(2\ \text{cm})^2 + (4\ \text{cm})^2 - 2 \cdot 2\ \text{cm}\cdot4\ \text{cm}\cdot\cos122^\circ \\ &=&4\ \text{cm}^2 + 16\ \text{cm}^2 - 16\ \text{cm}^2\cdot\cos122^\circ \\ &=&20\ \text{cm}^2 - 16\ \text{cm}^2\cdot(-0{,}53)\\ &=& 28{,}48\ \text{cm}^2\end{array}$
  Ziehe nun die Wurzel. Da $[AC]$ eine Länge ist, kannst das negative Ergebnis vom Wurzelziehen weggelassen werden.
  $\overline {\mathrm{AC}} =$ $\sqrt{28{,}48\ \text{cm}^2} = 5{,}34\ \text{cm}$
  
  Skizze zu 1) und 2).
  3) Jetzt kannst Du mit dem Sinussatz den Winkel $\mathrm{MAC}$ berechnen:
  $\displaystyle\frac{\overline{MC}}{\sin\sphericalangle\mathrm{MAC}}=\frac{\overline{AC}}{\sin\sphericalangle\mathrm{CMA}}$
  Umgestellt ergibt sich:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\sin\sphericalangle\mathrm{MAC}&=& \displaystyle\frac{\sin\sphericalangle\mathrm{CMA}}{\overline{AC}}\cdot \overline{MC}\\ \\&=& \displaystyle\frac{\sin 122°}{5{,}34\ \text{cm}}\cdot 4\ \text{cm} \end{array}$
  $\sphericalangle\mathrm{MAC}=\sin^{-1}\left(\displaystyle\frac{\sin 122°}{5{,}34}\cdot 4\right) \approx 39{,}44\degree$
  $\sphericalangle \mathrm{MAC} = \sphericalangle \mathrm{BAC} \approx 39{,}44 ^\circ.$
  Hinweis: der Wert in der Zeichnung weicht vom errechneten Ergebnis ab, da wir bei 2) gerundet haben. Alle drei Werte werden als korrekt bewertet.
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2. Berechnen Sie den Umfang $u$ der Figur.
  
  Teilaufgabe b
  Der Umfang der Figur setzt sich zusammen aus dem Kreisbogen $\overset{\frown}{BC}$ und den Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{AC}$ .
  Die Länge des Kreisbogens wird bestimmt durch den Radius des Kreissektors und seinem Winkel:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\overset{\frown}{BC} &=& \dfrac{2r\cdot \pi \cdot\sphericalangle BMC}{360^\circ}\\ \\ &=& \dfrac{2\cdot4\ \text{cm}\cdot \pi \cdot58^\circ}{360^\circ} \\ \\ &=& \dfrac{1456{,}96}{360}\ \text{cm}\\ \\ &\approx& 4{,}05\ \text{cm} \end{array}$
  Nun addierst du nur noch die drei Längen und erhältst den Umfang $u$ :
  $u = \overline{AB} + \overline{AC} + \overset{\frown}{BC}$
  $\phantom{u} = 6\ \text{cm} + 5{,}34\ \text{cm} + 4{,}05\ \text{cm} = 15{,}39\ \text{cm}$
  Skizze zu (b)
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Im folgenden Koordinatensystem ist der Graph der Funktion $f$ mit der Gleichung $y=\frac4x$ mit $\mathbb{G}=\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}^+$ dargestellt.

Punkte $Q_n(x|\frac4x)$ auf dem Graphen zu $f$ sind zusammen mit den Punkten $O(0|0)$ und $P(3|-1)$ die Eckpunkte von Dreiecken $OPQ_n$ .
Zeichnen Sie für $x=2$ das Dreieck $OPQ_1$ in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein und überprüfen Sie rechnerisch, ob das Dreieck $OPQ_1$ gleichseitig ist.

Teilaufgabe a
Zeichnung des Dreiecks $OPQ_1$ :
$P( 3|-1)$ und $O( 0|0)$
$Q_n$ ( x| $\frac{4}{x}$ ) für $x = 2$ :
$Q_1$ (2| $\frac{4}{2}=2$ )
Zeichne die Punkte ein und verbinde sie.
Das Dreieck $OPQ_1$ ist nicht gleichseitig. Beweis über drei rechtwinklige Dreiecke und mit Hilfe des Satzes des Pythagoras:
Seite [ $OQ_1$ ] im Dreieck $OAQ_1$ (orange):
$\overline{OQ_1}=\sqrt{\overline{AO}^2+\overline{AQ_1^2}}$
$\overline{OQ_1}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}\approx2{,}83\ LE$
Seite [OP] im Dreieck $OBP$ (pink):
$\overline{OP}=\sqrt{\overline{OB}^2+\overline{BP^2}}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\approx3{,}16$ LE
Seite [ $PQ_1$ ] im Dreieck $CPQ_1$ (grün):
$\overline{PQ_1}=\sqrt{\overline{CQ_1}^2+\overline{CP}^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\approx3{,}16\ LE$
$\overline{OP}=\overline{PQ_1}\ne\overline{OQ_1}$
Das Dreieck $OPQ_1$ ist nicht gleichseitig, aber gleichschenklig.
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Berechnen Sie das Maß des Winkels $\sphericalangle POQ_1$ auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

Bestimmen Sie rechnerisch den Flächeninhalt $A$ der Dreiecke $OPQ_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $Q_n$ .

Existiert unter den Dreiecken $OPQ_n$ ein rechtwinkliges Dreieck mit $[OP]$ als Hypotenuse? Begründen Sie Ihre Antwort mithilfe einer Zeichnung in der Aufgabenstellung.
- Ja, es existiert ein rechtwinkliges Dreieck unter den Dreiecken $OPQ_n$ .
- Nein, es existiert kein rechtwinkliges Dreieck unter den Dreiecken $OPQ_n$ .
Teilaufgabe d
Wenn das Dreieck $OPQ_n$ ein rechtwinkliges Dreieck sein soll, mit Hypotenuse [OP], muss $Q_n$ auf dem Thaleskreis liegen:
Konstruktion des Thaleskreis:
Mittelpunkt M über die Mittelsenkrechte $i$ (pink)
Kreis um Mittelpunkt M mit Radius $r=\overline{MP}=\overline{OM}$ (lila)
Da die Kreislinie nie die Funktion schneidet, kann es keinen Punkt $Q_n$ geben, sodass ein rechtwinkliges Dreieck gebildet werden kann.
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3
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Die Skizze zeigt den Axialschnitt eines Rotationskörpers mit der Rotationsachse $MS$ . Sie dient als Vorlage für einen Kerzenständer aus Edelstahl.
Es gilt:
$\overline{MS}=4{,}5\;\text{cm}; \overline{AB}=7{,}5\;\text{cm}; \\ \overline{EF}=\overline{HG}=2\;\text{cm};\\ \overline{DI}=\overline{CJ}=4\;\text{cm}; \\ \overline{EH}=\overline{FG}=1{,}5\;\text{cm}$
Runden Sie im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.
1. Berechnen Sie die Länge der Strecke $[MK]$ .
  $[$ Ergebnis: $\overline{MK}=2{,}1 \;\text{cm}]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rotationskörper
  Lösung Aufgabe a
  Um auf die Länge der Strecke $\overline {MK}$ zu kommen, benötigst du den Vierstreckensatz.
  Ausgehend vom Zentrum $S$ , kannst du die "kurzen" Längen $\overline{KS}$ und $\overline{CJ}$ mit $\overline{MS}$ und $\overline{AB}$ ins Verhältnis setzen:
  $\displaystyle\frac{\overbrace{{\color{#006400}\overline {MS}}-{\color{#ff6600}\overline {MK}}}^{\displaystyle\overline{KS}}}{{\color{#006400}\overline {CJ}}}=\frac{{\color{#006400}\overline{MS}}}{{\color{#006400}\overline {AB}}}$
  Umgestellt nach $\overline {MS}-\overline {MK}$ ergibt sich:
  $\displaystyle\overline {MS}-\overline {MK}=\frac{\overline{MS}}{\overline {AB}}\cdot \overline {CJ}.$
  Nun kannst du einsetzen:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\displaystyle 4{,}5\;\text{cm}-\overline {MK}&=&\frac{4{,}5\;\text{cm}}{7{,}5\;\text{cm}}\cdot 4\;\text{cm} \\ 4{,}5\;\text{cm}-\overline {MK}&=&2{,}4\;\text{cm} \\ \overline {MK}&=&2{,}1\;\text{cm}\end{array}$
  Skizze zu A3.1
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2. Ermitteln Sie rechnerisch den Oberflächeninhalt $O$ des Kerzenständers.
  
  Die Oberfläche des Kerzenständers besteht aus verschiedenen Elementen:
  1) Der Mantelfläche des Kegelstumpfs,
  2) dem Mantel des "großen", äußeren Zylinders,
  3) dem Mantel des "kleinen", inneren Zylinders und
  4) zwei Kreisflächen.
  Skizze zu A3.2
  1) Zuerst berechnest du die Mantelfläche des Kegelstumpfs.
  Da die Formel zur Berechnung $M_{\text {Kegel}}= r\cdot m\cdot\pi$ lautet, wobei $m$ die Mantellinie ist, musst du zunächst die Längen der beiden Mantellinien bestimmen:
  $m_{\text {Kegel groß}} =\sqrt{r^2+h^2} = \sqrt{3{,}75^2+4{,}5^2}=5{,}9\;\text{cm}$
  und
  $m_{\text {Kegel klein}} =\sqrt{r^2+h^2} = \sqrt{2^2+2{,}4^2}=3{,}1\;\text{cm}.$
  Nun kannst du die Mantelfläche des "kleinen" vom "großen" Kegel abziehen:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}M_{\text {Kegelstumpf}}&=& M_{\text {Kegel groß}}-M_{\text {Kegel klein}}\\ \\&=& 3{,}75\;\text{cm}\cdot 5{,}9 \;\text{cm} \cdot \pi - 2\;\text{cm}\cdot 3{,}1\;\text{cm} \cdot \pi \\ \\ &\approx& 50{,}03 \;\text{cm}^2\end{array}$
  2) Dann berechnest du die Mantelfläche des "äußeren" Zylinders. Dieser besitzt den Radius $2 \;\text{cm}$ und die Höhe $2{,}4 \;\text{cm}$ .
  Aus $M_{Zylinder}=u\cdot h\cdot\pi=2\cdot r \cdot h\cdot\pi$ ergibt sich
  $M_{\text{Zylinder groß}}=2\cdot 2 \cdot 2{,}4 \cdot \pi=\frac{48}{5}\pi\;\text{cm}\approx 30{,}16 \;\text{cm}^2.$
  3) Genauso berechnest du die Mantelfläche des "inneren" Zylinders. Dieser besitzt den Radius $0{,}75\;\text{cm}$ und die Höhe $2 \;\text{cm}$ .
  Dadurch erhältst du
  $M_{\text{Zylinder klein}}=2\cdot 0{,}75 \cdot 2 \cdot \pi = 3\pi\;\text{cm}^2\approx 9{,}42 \;\text{cm}^2.$
  4) Die Kreisflächen sind einerseits der "Fuß" des großen Kegels, also ein Kreis mit Radius $3{,}75 \;\text{cm}$ .
  Setzte dies in die Kreisformel ein, und du erhältst
  $A_\text{Kreis unten}=r^2\cdot\pi=3{,}75^2\cdot\pi\approx 44{,}18\;\text{cm}^2.$
  Die beiden Flächen oben, ein Kreisring und ein kleiner Kreis, ergänzen sich zu einem Kreis mit Radius $2 \;\text{cm}$ :
  $A_\text{Kreis oben}=r^2\cdot\pi=2^2\cdot\pi=4\pi \;\text{cm}^2\approx 12{,}57\;\text{cm}^2.$
  In der Summe erhältst du also
  $O_\text{Kerzenständer}=(50{,}03+30{,}16+9{,}42+44{,}18+12{,}57)\;\text{cm}^2\approx 146{,}4\;\text{cm}^2$
  Hinweis: Werden die Oberflächeninhalte auf eine Stelle nach dem Komma gerundet, erhält man auch das Ergebnis $146{,}4\;\text{cm}^2$ .
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle \overline{PQ_1}^2$	$=$	$\displaystyle \overline{OP}^2+\overline{OQ_1}^2-2\cdot\overline{OP}\cdot\overline{OQ_1}\cdot\cos\left(\measuredangle POQ_1\right)$
$\displaystyle \cos(∡POQ_1)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{OP}^2+\overline{OQ_1}^2-\overline{PQ_1}^2}{2\cdot\overline{OP}\cdot\overline{OQ_1}}$
$\displaystyle \cos(∡POQ_1)$	$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt{10}^2+\sqrt{8}^2-\sqrt{10}^2}{2\cdot\sqrt{10}\cdot\sqrt{8}}$
$\displaystyle \cos(∡POQ_1)$	$≈$	$\displaystyle 0{,}44721...$	$\displaystyle \cos^{-1}$
$\displaystyle ∡POQ_1$	$≈$	$\displaystyle 63{,}43°$

$\displaystyle A\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac12\left\|\det\begin{pmatrix}\overrightarrow{OQ_n}&\overrightarrow{OP}\end{pmatrix}\right\|\text{FE}$
	$=$	$\displaystyle \frac12\left\|\det\begin{pmatrix}{x}_1&{x}_2\\{y}_1&{y}_2\end{pmatrix}\right\|\text{FE}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left\|x_1y_2-x_2y_1\right\|\text{FE}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{4}{x}\cdot 3-x\cdot \left(-1\right)\right)\text{FE}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{12}{x}+x\right)\text{FE}$
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{6}{x}+\frac{1}{2}x\right)\text{FE}$

Nachtermin Teil A

Teilaufgabe a

Berechnung von AC‾\overline{\mathrm{AC}}AC

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Teilaufgabe b

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Teilaufgabe a

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Teilaufgabe b

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Teilaufgabe c

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Teilaufgabe d

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Lösung Aufgabe a

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Berechnung von $\overline{\mathrm{AC}}$