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Eine kurze Lösung gibt es aber auch hier.

Aufgaben
A 1.0 Die nebenstehende Figur ist durch den Kreisbogen BC\overset{\frown}{BC} mit dem Radius r=MCr=\overline{MC} und die Strecken [AB][AB] und [AC][AC] begrenzt.

Es gilt: AB=6cm;MB=4cm;BMC=58°\overline{AB} = 6\text{cm}; \overline{MB}=4cm; \sphericalangle BMC=58\degree.
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
A 1.1 Bestimmen Sie rechnerisch das Maß des Winkels BACBAC. (3 Punkte)
[Teilergebnis: AC=5,34cm\overline{AC}=5,34\text{cm}]
A 1.2 Berechnen Sie den Umfang uu der Figur. (2 Punkte)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus- und Kosinussatz im allgemeinen Dreieck

Teilaufgabe A 1.1

Berechnung von AC\overline{\mathrm{AC}}

1) Berechne zunächst den Winkel CMA\mathrm{CMA}:
CMA=180BMC  =  18058=122  \begin{array}{l}\sphericalangle\mathrm{CMA}=180^\circ-\sphericalangle \mathrm{BMC}\;=\;180^\circ-58^\circ=122^\circ\;\\\end{array}
2) Der Winkel CMA\mathrm{CMA} liegt der Seite AC\overline{AC} gegenüber, mit dem Kosinussatz kannst Du die Seite AC\overline{AC} berechnen:
AC2=AM2+MC22AMMCcosCMA=(2 cm)2+(4 cm)222 cm4 cmcos122=4 cm2+16 cm216 cm2cos122=20 cm216 cm2(0,53)=28,48 cm2\begin{array}{rcl}\overline {\mathrm{AC}}^2&=&\overline {\mathrm{AM}}^2+\overline {\mathrm{MC}}^2-2\cdot \overline {\mathrm{AM}} \cdot \overline {\mathrm{MC}} \cdot \cos \sphericalangle \mathrm{CMA} \\ &=&(2\ \text{cm})^2 + (4\ \text{cm})^2 - 2 \cdot 2\ \text{cm}\cdot4\ \text{cm}\cdot\cos122^\circ \\ &=&4\ \text{cm}^2 + 16\ \text{cm}^2 - 16\ \text{cm}^2\cdot\cos122^\circ \\ &=&20\ \text{cm}^2 - 16\ \text{cm}^2\cdot(-0,53)\\ &=& 28,48\ \text{cm}^2\end{array}
Ziehe nun die Wurzel. Da [AC][AC] eine Länge ist kannst du das negative Ergebnis vom Wurzelziehen weglassen.
AC=\overline {\mathrm{AC}} = 28,48 cm2=5,34 cm \sqrt{28,48\ \text{cm}^2} = 5,34\ \text{cm}
Skizze zu 1) und 2).
3) Jetzt kannst Du mit dem Sinussatz den Winkel MAC\mathrm{MAC} berechnen:
MCsinMAC=ACsinCMA\displaystyle\frac{\overline{MC}}{\sin\sphericalangle\mathrm{MAC}}=\frac{\overline{AC}}{\sin\sphericalangle\mathrm{CMA}}
Umgestellt ergibt sich:
sinMAC=sinCMAACMC=sin122°5,34 cm4 cm0,63 cm\begin{array}{rcl}\sin\sphericalangle\mathrm{MAC}&=& \displaystyle\frac{\sin\sphericalangle\mathrm{CMA}}{\overline{AC}}\cdot \overline{MC}\\ \\&=& \displaystyle\frac{\sin 122°}{5,34\ \text{cm}}\cdot 4\ \text{cm}\\ \\ &\approx& 0,63\ \text{cm}\end{array}
MAC39,44°\sphericalangle\mathrm{MAC} \approx 39,44\degree
Du kannst MAC\sphericalangle\mathrm{MAC} ebenfalls mit dem Kosinussatz berechnen:
MC2=AC2+AM22ACAMcosMAC\overline {\mathrm{MC}}^2=\overline {\mathrm{AC}}^2+\overline {\mathrm{AM}}^2-2\cdot \overline {\mathrm{AC}} \cdot \overline {\mathrm{AM}} \cdot \cos \sphericalangle \mathrm{MAC}
Stelle die Formel nach cosMAC\cos\sphericalangle \mathrm{MAC} um:
cosMAC=AC2+AM2MC22ACAM\cos\sphericalangle\mathrm{MAC}= \dfrac{\overline{AC}^2+\overline{AM}^2-\overline{MC}^2}{2\cdot\overline{AC}\cdot\overline{AM}}
cosMAC=5,342+224225,342=16,515621,36=0,7732\phantom{\cos\sphericalangle \mathrm{MAC}}=\dfrac{{5,34}^2+{2}^2-{4}^2}{2\cdot{5,34}\cdot{2}}=\dfrac{16,5156}{21,36} = 0,7732
Mit dem Taschenrechner kannst Du jetzt den Winkel MAC\mathrm{MAC} ausrechnen:
MAC=BAC39,36.\sphericalangle \mathrm{MAC} = \sphericalangle \mathrm{BAC} \approx 39,36 ^\circ.
Skizze zu 3).
Hinweis: der Wert in der Zeichnung weicht vom errechneten Ergebnis ab, da wir bei 2) gerundet haben. Alle drei Werte werden als korrekt bewertet.

Teilaufgabe A 1.2

Der Umfang der Figur setzt sich zusammen aus dem Kreisbogen BC\overset{\frown}{BC} und den Strecken AB\overline{AB} und AC\overline{AC}.
Die Länge des Kreisbogens wird bestimmt durch den Radius des Kreissektors und seinem Winkel:
BC=2rπBMC360=24 cmπ58360=1456,96360 cm4,05 cm\begin{array}{rcl}\overset{\frown}{BC} &=& \dfrac{2r\cdot \pi \cdot\sphericalangle BMC}{360^\circ}\\ \\ &=& \dfrac{2\cdot4\ \text{cm}\cdot \pi \cdot58^\circ}{360^\circ} \\ \\ &=& \dfrac{1456,96}{360}\ \text{cm}\\ \\ &\approx& 4,05\ \text{cm} \end{array}
Nun addierst du nur noch die drei Längen und erhältst den Umfang uu:
u=AB+AC+BCu = \overline{AB} + \overline{AC} + \overset{\frown}{BC}
u=6 cm+5,34 cm+4,05 cm=15,39 cm\phantom{u} = 6\ \text{cm} + 5,34\ \text{cm} + 4,05\ \text{cm} = 15,39\ \text{cm}
Skizze zu 1.2
Punkte für Aufgabe 2.1: 3 P
Punkte für Aufgabe 2.2: 2 P
Punkte für Aufgabe 2.3: 2 P
Punkte für Aufgabe 2.4: 2 P
A3.0 Die Skizze zeigt den Axialschnitt eines Rotationskörpers mit der Rotationsachse MSMS. Sie dient als Vorlage für einen Kerzenständer aus Edelstahl.

Es gilt:
MS=4,5cm;AB=7,5cm;EF=HG=2cm;DI=CJ=4cm;EH=FG=1,5cm\overline{MS}=4,5\text{cm}; \overline{AB}=7,5\text{cm}; \\ \overline{EF}=\overline{HG}=2\text{cm};\\ \overline{DI}=\overline{CJ}=4\text{cm}; \\ \overline{EH}=\overline{FG}=1,5\text{cm}

Runden Sie im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.

A 3.1 Berechnen Sie die Länge der Strecke [MK][MK]. (2 Punkte)
[Ergebnis: MK=2,1cm\overline{MK}=2,1 \text{cm}]
A 3.2 Ermitteln Sie rechnerisch den Oberflächeninhalt OO des Kerzenständers. (3 Punkte)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rotationskörper

Lösung Aufgabe A 3.1

Um auf die Länge der Strecke MK\overline {MK} zu kommen, benötigst du den Vierstreckensatz.
Ausgehend vom Zentrum SS, kannst du die "kurzen" Längen KS\overline{KS} und CJ\overline{CJ} mit MS\overline{MS} und AB\overline{AB} ins Verhältnis setzen:
MSMKKSCJ=MSAB\displaystyle\frac{\overbrace{{\color{#006400}\overline {MS}}-{\color{#ff6600}\overline {MK}}}^{\displaystyle\overline{KS}}}{{\color{#006400}\overline {CJ}}}=\frac{{\color{#006400}\overline{MS}}}{{\color{#006400}\overline {AB}}}
Umgestellt nach MSMK\overline {MS}-\overline {MK}ergibt sich:
MSMK=MSABCJ.\displaystyle\overline {MS}-\overline {MK}=\frac{\overline{MS}}{\overline {AB}}\cdot \overline {CJ}.
Nun kannst du einsetzen:
4,5 cmMK=4,5 cm7,5 cm4 cm4,5 cmMK=2,4 cmMK=2,1 cm\begin{array}{rcl}\displaystyle 4,5\ cm-\overline {MK}&=&\frac{4,5\ cm}{7,5\ cm}\cdot 4\ cm \\ 4,5\ cm-\overline {MK}&=&2,4\ cm \\ \overline {MK}&=&2,1\ cm\end{array}
Skizze zu A3.1

Lösung Aufgabe A 3.2

Die Oberfläche des Kerzenständers besteht aus verschiedenen Elementen:
1) Der Mantelfläche des Kegelstumpfs,
2) dem Mantel des "großen", äußeren Zylinders,
3) dem Mantel des "kleinen", inneren Zylinders und
4) zwei Kreisflächen.
Skizze zu A3.2
1) Zuerst berechnest du die Mantelfläche des Kegelstumpfs.
Da die Formel zur Berechnung MKegel=rmπM_{\text {Kegel}}= r\cdot m\cdot\pi lautet, wobei mm die Mantellinie ist, musst du zunächst die Längen der beiden Mantellinien bestimmen:

mKegel groß=r2+h2=3,752+4,52\displaystyle m_{\text {Kegel groß}} =\sqrt{r^2+h^2} = \sqrt{3,75^2+4,5^2}
und
mKegel klein=r2+h2=22+2,42.\displaystyle m_{\text {Kegel klein}} =\sqrt{r^2+h^2} = \sqrt{2^2+2,4^2}.

Nun kannst du die Mantelfläche des "kleinen" vom "großen" Kegel abziehen:
MKegelstumpf=MKegel großMKegel klein=3,75 cm3,752+4,52 cmπ2 cm22+2,42 cmπ49,38 cm2\begin{array}{rcl}M_{\text {Kegelstumpf}}&=& M_{\text {Kegel groß}}-M_{\text {Kegel klein}}\\ \\&=& 3,75\ cm \cdot \sqrt{3,75^2+4,5^2} \ cm \cdot \pi - 2\ cm \cdot \sqrt{2^2+2,4^2}\ cm \cdot \pi \\ \\ &\approx& 49,38 \ cm^2\end{array}
2) Dann berechnest du die Mantelfläche des "äußeren" Zylinders. Dieser besitzt den Radius 2 cm2 \ cm und die Höhe 2,4 cm2,4 \ cm.
Aus MZylinder=uhπ=2rhπM_{Zylinder}=u\cdot h\cdot\pi=2\cdot r \cdot h\cdot\pi ergibt sich
MZylinder groß=222,4π=485π cm32,16 cm2.\displaystyle M_{\text{Zylinder groß}}=2\cdot 2 \cdot 2,4 \cdot \pi=\frac{48}{5}\pi\ cm\approx 32,16 \ cm^2.
3) Genauso berechnest du die Mantelfläche des "inneren" Zylinders. Dieser besitzt den Radius 0,75 cm0,75 \ cm und die Höhe 2 cm2 \ cm.
Dadurch erhältst du
MZylinder klein=20,752π=3π cm29,42 cm2.M_{\text{Zylinder klein}}=2\cdot 0,75 \cdot 2 \cdot \pi = 3\pi\ cm^2\approx 9,42 \ cm^2.
4) Die Kreisflächen sind einerseits der "Fuß" des großen Kegels, also ein Kreis mit Radius 3,75 cm3,75 \ cm.
Setzte dies in die Kreisformel ein, und du erhältst
AKreis unten=r2π=3,752π44,18 cm2.A_\text{Kreis unten}=r^2\cdot\pi=3,75^2\cdot\pi\approx 44,18\ cm^2.
Die beiden Flächen oben, ein Kreisring und ein kleiner Kreis, ergänzen sich zu einem Kreis mit Radius 2 cm2 \ cm:
AKreis oben=r2π=22π=4π cm212,57 cm2.A_\text{Kreis oben}=r^2\cdot\pi=2^2\cdot\pi=4\pi \ cm^2\approx 12,57\ cm^2.
In der Summe erhältst du also
OKerzensta¨nder=MKegelstumpf+MZylinder groß+MZylinder klein+AKreis unten+AKreis oben145,71 cm2\displaystyle \begin{array}{rcl}O_\text{Kerzenständer}&=&M_{\text {Kegelstumpf}}+M_{\text{Zylinder groß}}+M_{\text{Zylinder klein}}+A_\text{Kreis unten}+A_\text{Kreis oben}\\ &\approx& 145,71 \ cm^2\end{array}
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