Lösung Aufgabe a

Um auf die Länge der Strecke $\overline{MK}\backslash overline\; \{MK\}$ zu kommen, benötigst du den Vierstreckensatz.

Ausgehend vom Zentrum $SS$, kannst du die "kurzen" Längen $\overline{KS}\backslash overline\{KS\}$ und $\overline{CJ}\backslash overline\{CJ\}$ mit $\overline{MS}\backslash overline\{MS\}$ und $\overline{AB}\backslash overline\{AB\}$ ins Verhältnis setzen:

${\displaystyle \frac{\stackrel{{\displaystyle \overline{KS}}}{\overbrace{\overline{MS}-\overline{MK}}}}{\overline{CJ}}=\frac{\overline{MS}}{\overline{AB}}}\backslash displaystyle\backslash frac\{\backslash overbrace\{\{\backslash color\{\#006400\}\backslash overline\; \{MS\}\}-\{\backslash color\{\#ff6600\}\backslash overline\; \{MK\}\}\}^\{\backslash displaystyle\backslash overline\{KS\}\}\}\{\{\backslash color\{\#006400\}\backslash overline\; \{CJ\}\}\}=\backslash frac\{\{\backslash color\{\#006400\}\backslash overline\{MS\}\}\}\{\{\backslash color\{\#006400\}\backslash overline\; \{AB\}\}\}$

Umgestellt nach $\overline{MS}-\overline{MK}\backslash overline\; \{MS\}-\backslash overline\; \{MK\}$ergibt sich:

${\displaystyle \overline{MS}-\overline{MK}=\frac{\overline{MS}}{\overline{AB}}\cdot \overline{CJ}\mathrm{.}}\backslash displaystyle\backslash overline\; \{MS\}-\backslash overline\; \{MK\}=\backslash frac\{\backslash overline\{MS\}\}\{\backslash overline\; \{AB\}\}\backslash cdot\; \backslash overline\; \{CJ\}.$

Nun kannst du einsetzen:

Die Oberfläche des Kerzenständers besteht aus verschiedenen Elementen:

1) Der Mantelfläche des Kegelstumpfs,

2) dem Mantel des "großen", äußeren Zylinders,

3) dem Mantel des "kleinen", inneren Zylinders und

4) zwei Kreisflächen.

1) Zuerst berechnest du die Mantelfläche des Kegelstumpfs.

Da die Formel zur Berechnung $M_{\text{Kegel}}=r\cdot m\cdot \pi M\_\{\backslash text\; \{Kegel\}\}=\; r\backslash cdot\; m\backslash cdot\backslash pi$ lautet, wobei $mm$ die Mantellinie ist, musst du zunächst die Längen der beiden Mantellinien bestimmen:

$m_{\text{Kegel groß}}=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{{\mathrm{3,75}}^2+{\mathrm{4,5}}^2}=\mathrm{5,9}\text{cm}m\_\{\backslash text\; \{Kegel\; groß\}\}\; =\backslash sqrt\{r^2+h^2\}\; =\; \backslash sqrt\{3\{,\}75^2+4\{,\}5^2\}=5\{,\}9\backslash ;\backslash text\{cm\}$

und

$m_{\text{Kegel klein}}=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{2^2+{\mathrm{2,4}}^2}=\mathrm{3,1}\text{cm}\mathrm{.}m\_\{\backslash text\; \{Kegel\; klein\}\}\; =\backslash sqrt\{r^2+h^2\}\; =\; \backslash sqrt\{2^2+2\{,\}4^2\}=3\{,\}1\backslash ;\backslash text\{cm\}.$

Nun kannst du die Mantelfläche des "kleinen" vom "großen" Kegel abziehen:

2) Dann berechnest du die Mantelfläche des "äußeren" Zylinders. Dieser besitzt den Radius $2\text{cm}2\; \backslash ;\backslash text\{cm\}$ und die Höhe $\mathrm{2,4}\text{cm}2\{,\}4\; \backslash ;\backslash text\{cm\}$.

Aus $M_{Zylinder}=u\cdot h\cdot \pi =2\cdot r\cdot h\cdot \pi M\_\{Zylinder\}=u\backslash cdot\; h\backslash cdot\backslash pi=2\backslash cdot\; r\; \backslash cdot\; h\backslash cdot\backslash pi$ ergibt sich

$M_{\text{Zylinder groß}}=2\cdot 2\cdot \mathrm{2,4}\cdot \pi =\frac{48}{5}\pi \text{cm}\approx \mathrm{30,16}{\text{cm}}^2\mathrm{.}M\_\{\backslash text\{Zylinder\; groß\}\}=2\backslash cdot\; 2\; \backslash cdot\; 2\{,\}4\; \backslash cdot\; \backslash pi=\backslash frac\{48\}\{5\}\backslash pi\backslash ;\backslash text\{cm\}\backslash approx\; 30\{,\}16\; \backslash ;\backslash text\{cm\}^2.$

3) Genauso berechnest du die Mantelfläche des "inneren" Zylinders. Dieser besitzt den Radius $\mathrm{0,75}\text{cm}0\{,\}75\backslash ;\backslash text\{cm\}$ und die Höhe $2\text{cm}2\; \backslash ;\backslash text\{cm\}$.

Dadurch erhältst du

$M_{\text{Zylinder klein}}=2\cdot \mathrm{0,75}\cdot 2\cdot \pi =3\pi {\text{cm}}^2\approx \mathrm{9,42}{\text{cm}}^2\mathrm{.}M\_\{\backslash text\{Zylinder\; klein\}\}=2\backslash cdot\; 0\{,\}75\; \backslash cdot\; 2\; \backslash cdot\; \backslash pi\; =\; 3\backslash pi\backslash ;\backslash text\{cm\}^2\backslash approx\; 9\{,\}42\; \backslash ;\backslash text\{cm\}^2.$

4) Die Kreisflächen sind einerseits der "Fuß" des großen Kegels, also ein Kreis mit Radius $\mathrm{3,75}\text{cm}3\{,\}75\; \backslash ;\backslash text\{cm\}$.

Setzte dies in die Kreisformel ein, und du erhältst

$A_{\text{Kreis unten}}=r^2\cdot \pi ={\mathrm{3,75}}^2\cdot \pi \approx \mathrm{44,18}{\text{cm}}^2\mathrm{.}A\_\backslash text\{Kreis\; unten\}=r^2\backslash cdot\backslash pi=3\{,\}75^2\backslash cdot\backslash pi\backslash approx\; 44\{,\}18\backslash ;\backslash text\{cm\}^2.$

Die beiden Flächen oben, ein Kreisring und ein kleiner Kreis, ergänzen sich zu einem Kreis mit Radius $2\text{cm}2\; \backslash ;\backslash text\{cm\}$:

$A_{\text{Kreis oben}}=r^2\cdot \pi =2^2\cdot \pi =4\pi {\text{cm}}^2\approx \mathrm{12,57}{\text{cm}}^2\mathrm{.}A\_\backslash text\{Kreis\; oben\}=r^2\backslash cdot\backslash pi=2^2\backslash cdot\backslash pi=4\backslash pi\; \backslash ;\backslash text\{cm\}^2\backslash approx\; 12\{,\}57\backslash ;\backslash text\{cm\}^2.$

In der Summe erhältst du also

$O_{\text{Kerzenst}\ddot{\text{a}}\text{nder}}=(\mathrm{50,03}+\mathrm{30,16}+\mathrm{9,42}+\mathrm{44,18}+\mathrm{12,57}){\text{cm}}^2\approx \mathrm{146,4}{\text{cm}}^{2}O\_\backslash text\{Kerzenständer\}=(50\{,\}03+30\{,\}16+9\{,\}42+44\{,\}18+12\{,\}57)\backslash ;\backslash text\{cm\}^2\backslash approx\; 146\{,\}4\backslash ;\backslash text\{cm\}^2$

Hinweis: Werden die Oberflächeninhalte auf eine Stelle nach dem Komma gerundet, erhält man auch das Ergebnis $\mathrm{146,4}{\text{cm}}^{2}146\{,\}4\backslash ;\backslash text\{cm\}^2$.