Lösung:

1. Berechnung der gesuchten Winkel:

Die Bezeichnung von Winkeln wird auf der Seite "Winkel" erklärt. Der Winkel $\mathrm{\sphericalangle }CBA\backslash sphericalangle\; CBA$ wird in der Zeichnung $\beta \backslash beta$ genannt und der Winkel $\mathrm{\sphericalangle }\backslash sphericalangle$ $BACBAC$ wird ε genannt. Der Winkel $\mathrm{\sphericalangle }CAD=50\mathrm{°}\backslash sphericalangle\; CAD\; =\; 50°$ ist auch eingezeichnet.

Winkel $\mathrm{\sphericalangle }CBA=\beta \backslash sphericalangle\; CBA\; =\backslash beta$:

Im Dreieck $ABCABC$ sind die Längen aller drei Seiten bekannt. Die Größen der Winkel sind nicht bekannt. Das Maß $\beta \backslash beta$ des Winkels $\mathrm{\sphericalangle }\backslash sphericalangle$ $CBACBA$ soll bestimmt werden.

In diesem Fall kann man den Kosinussatz verwenden:

(Der Sinussatz kommt hier nicht infrage, weil dafür mindestens ein Winkel im Dreieck $ABCABC$ bekannt sein müsste.)

Da $\beta \backslash beta$ berechnet werden soll, steht die Länge $\overline{AC}\backslash overline\{AC\}$ der Seite, die gegenüber von $\beta \backslash beta$ ist, ganz links in der Gleichung, also $14\text{ cm}14\backslash \; \backslash text\{cm\}$.

Rechts in der Gleichung setzt du die Längen der Seiten ein, die $\beta \backslash beta$ berühren, also $\overline{BC}=10\text{ cm}\backslash overline\{BC\}=10\backslash \; \backslash text\{cm\}$ und $\overline{AB}=7\text{ cm}\backslash overline\{AB\}=7\backslash \; \backslash text\{cm\}$.

${\overline{AC}}^2={\overline{BC}}^2+{\overline{AB}}^2-2\cdot \overline{BC}\cdot \overline{AB}\cdot \cos \left(\beta \right)\backslash overline\{AC\}^2=\backslash overline\{BC\}^2+\backslash overline\{AB\}^2-2\backslash cdot\; \backslash overline\{BC\}\backslash cdot\; \backslash overline\{AB\}\backslash cdot\backslash cos\backslash left(\backslash beta\backslash right)$

$(14\text{ cm}{)}^2=(10\text{ cm}{)}^2+(7\text{ cm}{)}^2-2\cdot 10\text{ cm}\cdot 7\text{ cm}\cdot \cos \left(\beta \right)(14\backslash \; \backslash text\{cm\})^2=(10\backslash \; \backslash text\{cm\})^2+(7\backslash \; \backslash text\{cm\})^2-2\backslash cdot10\backslash \; \backslash text\{cm\}\backslash cdot7\backslash \; \backslash text\{cm\}\backslash cdot\backslash cos\backslash left(\backslash beta\backslash right)$

Ausrechnen der Zahlenwerte:

Umstellen nach $\cos (\beta )\backslash cos(\backslash beta)$:

$\cos (\beta )={\displaystyle \frac{196{\text{cm}}^2-149{\text{cm}}^2}{-140{\text{cm}}^2}}=-\mathrm{0,3357...}\backslash cos(\backslash beta)=\backslash dfrac\{196\backslash \; \backslash text\{cm\}^2-149\backslash \; \backslash text\{cm\}^2\}\{-140\backslash \; \backslash text\{cm\}^2\}=-0\{,\}3357...$

Berechnen von $\beta \backslash beta$ mit der Umkehrfunktion ${\cos }^{-1}(-\mathrm{0,3357...})\backslash cos^\{-1\}\backslash left(-0\{,\}3357...\backslash right)$:

Winkel $\mathrm{\sphericalangle }\backslash sphericalangle$ $BAC=\epsilon BAC\; =\; \backslash varepsilon$ :

Das Maß $\epsilon \epsilon$ des Winkels $\mathrm{\sphericalangle }\backslash sphericalangle$ $BACBAC$ kann man wieder mit dem Kosinussatz berechnen, da die Längen aller drei Seiten im Dreieck bekannt sind. Eine andere Möglichkeit ist hier die Berechnung mit dem Sinussatz. Er kann hier verwendet werden, weil $\beta \backslash beta$ bereits berechnet wurde.

Im Folgenden wird die Rechnung mit dem Sinussatz durchgeführt, da sie etwas kürzer ist.

Weil $\epsilon \epsilon$ berechnet werden soll und $\beta \backslash beta$ bekannt ist, setzen wir diese beiden Winkel in die Rechnung ein. $\overline{BC}=10\text{ cm}\backslash overline\{BC\}=10\backslash \; \backslash text\{cm\}$ ist die Länge der Seite gegenüber von $\epsilon \backslash varepsilon$. $\overline{AC}=14\text{ cm}\backslash overline\{AC\}=14\backslash \; \backslash text\{cm\}$ ist die Länge der Seite gegenüber von $\beta \backslash beta$.

Einsetzen der Längen:

Umstellen nach $\sin (\epsilon )\backslash sin(\backslash varepsilon)$ :

$\sin (\epsilon )={\displaystyle \frac{10\text{ cm}}{14\text{ cm}}}\cdot \sin (\beta )\backslash sin(\backslash varepsilon)=\backslash dfrac\{10\backslash \; \backslash text\{cm\}\}\{14\backslash \; \backslash text\{cm\}\}\backslash cdot\backslash sin(\backslash beta)$

Einsetzen von $\beta ={\mathrm{109,62}}^{\circ }\backslash beta=109\{,\}62^\backslash circ$:

$\sin (\epsilon )={\displaystyle \frac{10\text{ cm}}{14\text{ cm}}}\cdot \sin ({\mathrm{109,62}}^{\circ })=\mathrm{0,67}\backslash sin(\backslash varepsilon)=\backslash dfrac\{10\backslash \; \backslash text\{cm\}\}\{14\backslash \; \backslash text\{cm\}\}\backslash cdot\backslash sin(109\{,\}62^\{\backslash circ\})=0\{,\}67$

Berechnen von ε mit der Umkehrfunktion ${\sin }^{-1}\left(\mathrm{0,67}\right)\backslash sin^\{-1\}\backslash left(0\{,\}67\backslash right)$:

$\epsilon ={\sin }^{-1}(\mathrm{0,67})={\mathrm{42,28}}^{\circ }\epsilon =\backslash sin^\{-1\}(0\{,\}67)=42\{,\}28^\{\backslash circ\}$

2. Zeichnung des Trapezes $ABCDABCD$:

Mit Zirkel:

Um den Punkt $DD$ zu erhalten, verwendet man die Angabe $AB\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }CDAB||CD$ und $\mathrm{\sphericalangle }\backslash sphericalangle$ $CADCAD$$=\alpha ==\backslash alpha=$ $50\mathrm{°}50°$.

$AB\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }CDAB||CD$ bedeutet, dass die Seite $ABAB$ parallel zu der Seite $CDCD$ ist. Der Punkt $DD$ liegt also auf einer parallelen Geraden zu $ABAB$ durch den Punkt $CC$. Diese kannst du mit dem Zirkel konstruieren oder mit dem Geodreieck zeichnen.

Nun zeichnest du den Winkel $\mathrm{\sphericalangle }\backslash sphericalangle$ $CAD=50\mathrm{°}CAD\; =\; 50°$. Hierfür legst du das Geodreieck an der Seite $ACAC$ des Dreiecks an. Dann zeichnest du den fehlenden Schenkel des Winkels so lang, dass du einen Schnittpunkt mit der gestrichelten Linie erhältst.

Der Punkt $DD$ ist der Schnittpunkt.

Nun verbindet man die vier Punkte $ABCDABCD$ zu einem Trapez:

Lösung:

1. Bestimmung der kürzesten Verbindung des Punktes $BB$ zur Strecke $[AC][AC]$:

Die kürzeste Verbindung steht im rechten Winkel auf $[AC][AC]$. Dies ist in der Graphik eingezeichnet als $[BP][BP]$.

2. Berechnung des Umfangs $uu$:

Vorgehen:

1. Überlege dir die Formel für den Umfang des Dreiecks $ABPABP$.

2. Welche Längen sind gegeben, welche gesucht?

3. Berechne die gesuchten Längen. Tipp: Überlege dir, welche Winkel bekannt sind, und nutze das Grundwissen zu Sinus und Kosinus.

4. Setze diese Längen in die Formel für den Umfang $uu$ ein.

Lösung:

1. Formel für den Umfang des Dreiecks $ABPABP$:

Den Umfang $uu$ des Dreiecks $ABPABP$ berechnet man, indem man die Längen der drei Seiten addiert, also $\overline{AB}\backslash overline\{AB\}$, $\overline{BP}\backslash overline\{BP\}$ und $\overline{AP}\backslash overline\{AP\}$.

2. Gegebene und gesuchte Längen:

Du weißt aus der Angabe bereits, dass $\overline{AB}=7\text{ cm}\backslash overline\{AB\}=7\backslash \; \backslash text\{cm\}$ ist. Die Längen $\overline{BP}\backslash overline\{BP\}$ und $\overline{AP}\backslash overline\{AP\}$ musst du noch berechnen.

3. Berechnung der gesuchten Längen:

Das Dreieck $ABPABP$ ist rechtwinklig und du kennst den Winkel $\epsilon \epsilon$ und die Länge $\overline{AB}\backslash overline\{AB\}$. Daher kannst du Sinus und Kosinus zur Berechnung verwenden.

• Berechnung der Länge $\overline{BP}\backslash overline\{BP\}$:

$\overline{BP}\backslash overline\{BP\}$ ist in dem rechtwinkligen Dreieck die Gegenkathete zum Winkel $\epsilon \epsilon$ und $\overline{AB}\backslash overline\{AB\}$ ist die Hypotenuse. Daher kannst du die Länge $\overline{BP}\backslash overline\{BP\}$ mit dem Sinus berechnen.

Umstellen nach $\overline{BP}\backslash overline\{BP\}$ durch Multiplikation mit der Länge $\overline{AB}\backslash overline\{AB\}$ auf beiden Seiten der Gleichung

Einsetzen der Zahlen:

• Berechnung der Länge von $\overline{AP}\backslash overline\{AP\}$ :

$\overline{AP}\backslash overline\{AP\}$ ist in dem rechtwinkligen Dreieck die Ankathete und sie schließt den Winkel $\epsilon \epsilon$ zusammen mit der Hypotenuse $\overline{AB}\backslash overline\{AB\}$ ein. Daher kannst du die Länge $\overline{BP}\backslash overline\{BP\}$ mit dem Kosinus berechnen.

Umstellen nach $\overline{AP}\backslash overline\{AP\}$ durch Multiplikation mit $\overline{AB}\backslash overline\{AB\}$ auf beiden Seiten der Gleichung

Einsetzen der Zahlen:

4. Einsetzen in die Formel für den Umfang $u_{ABP}u\_\{ABP\}$:

Der Umfang beträgt also $\mathrm{16,89}\text{ cm}16\{,\}89\backslash \; \backslash text\{cm\}$.

Vorgehen:

1. Überlege dir zuerst die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes.

2. Überprüfe, welche Längen gegeben sind und welche du noch berechnen musst.

3. Berechne diese Längen und setze sie in die Formel ein.

Lösung:

1. Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes:

Der Flächeninhalt $AA$ des Trapezes mit der Höhe $hh$ und den parallelen Seiten $[AB][AB]$ und $[CD][CD]$ ist:

2. Gegebene und zu berechnende Längen:

3. Berechnung der Längen und Einsetzen in die Formel

Berechnung der Höhe $h=\overline{BJ}h=\backslash overline\{BJ\}$:

Das Dreieck ist also rechtwinklig, du kennst einen Winkel und die Länge der Hypotenuse $\overline{BC}=10\text{ cm}\backslash overline\{BC\}=10\backslash \; \backslash text\{cm\}$. Daher kannst du nun die Höhe $h=\overline{BJ}h=\backslash overline\{BJ\}$ mit dem Kosinus berechnen.

Einsetzen der gegebenen Länge und des Winkels:

Umstellen nach $\overline{BJ}\backslash overline\{BJ\}$ durch Multiplikation mit $10\text{ cm}10\backslash \; \backslash text\{cm\}$ auf beiden Seiten der Gleichung:

Die Höhe $h=\overline{BJ}h=\backslash overline\{BJ\}$ beträgt also $\mathrm{9,42}\text{ cm}9\{,\}42\backslash \; \backslash text\{cm\}$.

Berechnung der Länge $\overline{CD}\backslash overline\{CD\}$:

Betrachte hierfür die Zeichnung in der Aufgabenstellung.

• Überlege, welches Dreieck in der Zeichnung für die Rechnung hilfreich sein könnte.

• Welche Längen und Winkel sind bekannt? Musst du für die Rechnung zusätzliche Längen oder Winkel berechnen?

• Welche Funktion oder welchen Satz kannst du anwenden? (z.B. Sinus, Kosinus, Tangens, Sinussatz, Kosinussatz)

Lösung:

Einzeichnen des Kreises $kk$ und des Mittelpunkts $MM$:

Bestimme die Lage des Mittelpunkts $MM$

Zeichne mit dem Zirkel einen Kreis mit dem Radius $r=2\text{ cm}r=2\backslash \; \backslash text\{cm\}$Berechnung des Winkels $\mathrm{\sphericalangle }\backslash sphericalangle$ $ADCADC$:

Die Seite $[AB][AB]$ ist parallel zu der Seite $[CD][CD]$. Daraus folgt

Der Winkel $\mathrm{\sphericalangle }BAD\backslash sphericalangle\; BAD$ setzt sich aus $\text{}\epsilon \epsilon$ und $50\mathrm{°}50°$ zusammen. Also gilt

Umstellen nach $\mathrm{\sphericalangle }ADC\backslash sphericalangle\; ADC$ durch Abziehen von $\mathrm{92,28}\mathrm{°}92\{,\}28°$ auf beiden Seiten der Gleichung:

$\mathrm{\sphericalangle }ADC={\mathrm{87,72}}^{\circ }\backslash \backslash \backslash sphericalangle\; ADC\; =\; 87\{,\}72^\backslash circ$

• Anwendung des Sinussatzes:

Das Dreieck ist also nicht rechtwinklig. Daher kommen für die Rechnung nur noch Sinus- oder Kosinussatz infrage. Da nur eine Seite bekannt ist, aber zwei Winkel, verwendet man hier den Sinussatz. Dabei teilst du jeweils eine Seitenlänge durch den Winkel, der gegenüber von ihr liegt

Einsetzen der bekannten Längen und Winkel:

Umstellen nach $\overline{CD}\backslash overline\{CD\}$ durch Multiplikation mit $\sin (50\mathrm{°})\backslash sin(50°)$

$\overline{CD}=\mathrm{14,0110...}\text{ cm}\cdot \sin \left({50}^{\circ }\right)=\mathrm{10,7330...}\text{ cm}\approx \mathrm{10,73}\text{ cm}\backslash \backslash \backslash overline\{CD\}=14\{,\}0110...\backslash \; \backslash text\{cm\}\; \backslash cdot\; \backslash sin\backslash left(50^\backslash circ\backslash right)=10\{,\}7330...\backslash \; \backslash text\{cm\}\backslash approx10\{,\}73\backslash \; \backslash text\{cm\}$

Berechnung des Flächeninhalts $AA$ des Trapezes durch Einsetzen der Längen in die Formel:

Das Trapez hat also eine Fläche von $\mathrm{83,51}{\text{cm}}^{2}83\{,\}51\backslash text\{cm\}^2$.

Lösung:

1. Bestimmung der Lage des Mittelpunkts $MM$:

Betrachte das Bild aus der Angabe:

Der Mittelpunkt $MM$ hat den gleichen Abstand zu den Punkten $EE$ und $FF$ des Kreises. Daher hat er auch den gleichen Abstand zu den Seiten $[AC][AC]$ und $[AD][AD]$. Deshalb liegt er auf der Winkelhalbierenden des Winkels $\mathrm{\sphericalangle }\backslash sphericalangle$ $CAD=50\mathrm{°}CAD=50°$.

Der Winkel $\mathrm{\sphericalangle }\backslash sphericalangle$ $EAMEAM$ ist also halb so groß wie $\mathrm{\sphericalangle }\backslash sphericalangle$ $CADCAD$. Es gilt

Du siehst den Winkel $25\mathrm{°}25°$in der untenstehenden Grafik eingezeichnet.

Nun kannst du den Abstand $\overline{AM}\backslash overline\{AM\}$ berechnen.

Dafür stellst du dir das Dreieck $AEMAEM$ vor.

Das Dreieck $AEMAEM$ ist rechtwinklig, weil $[AC][AC]$ eine Tangente an den Kreis $kk$ ist und diese immer im rechten Winkel zum Radius steht. Deshalb kann mit dem Sinus gerechnet werden.

Einsetzen von $\mathrm{\sphericalangle }\backslash sphericalangle$ $EAM=25\mathrm{°}EAM=25°$ und $\overline{EM}\backslash overline\{EM\}$$=r=2\text{ cm}=r=2\backslash \; \backslash text\{cm\}$:

Umstellen nach $\overline{AM}\backslash overline\{AM\}$:

Multiplikation mit $\overline{AM}\backslash overline\{AM\}$:

Division durch $\sin (25\mathrm{°})\backslash sin(25°)$:

Beginne nun bei Punkt $AA$ und miss die Länge $\mathrm{4,73}\text{ cm}4\{,\}73\backslash \; \backslash text\{cm\}$ entlang der Winkelhalbierenden ab. So erhältst du den Mittelpunkt $MM$.

2. Einzeichnen des Kreises $kk$:

Stich nun mit dem Zirkel im Mittelpunkt $MM$ ein und zeichne einen Kreis mit dem Radius $r=2\text{ cm}r=2\backslash \; \backslash text\{cm\}$.

Zur Kontrolle: Du hast richtig gezeichnet, wenn der Kreis die Seiten $[AC][AC]$ und $[AD][AD]$ berührt, aber nicht schneidet.

Berechnung: Anteil des Flächeninhalts des Kreises am Trapez

Vorgehen:

1. Berechne den Flächeninhalt des Kreises $kk$

2. Berechne den prozentualen Anteil

Lösung:

1. Berechnung Flächeninhalt Kreis $kk$:

Die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises ist

2. Berechnung prozentualer Anteil:

Für die Berechnung des prozentualen Anteils musst du dir überlegen, was der Grundwert $GG$ und der Prozentwert $WW$ ist. Diese Werte hast du schon ausgerechnet.

Der $\text{Grundwert}\backslash text\{Grundwert\}$ $GG$ ist der Flächeninhalt $AA$ des Trapezes $ABCDABCD$, also

Der $\text{Prozentwert}\backslash text\{Prozentwert\}$ $WW$ ist der Flächeninhalt $A_{Kreis}A\_\{Kreis\}$ des Kreises $kk$, also

Für den prozentualen Anteil, also den $\text{Prozentsatz}\backslash text\{Prozentsatz\}$ $pp$ gilt nun

Nun kannst du die Werte für $WW$ und $GG$ einsetzen

Der prozentuale Anteil des Flächeninhalts des Kreises $kk$ am Flächeninhalt des Trapezes $ABCDABCD$ ist also $\mathrm{15,05}\mathrm{\%}15\{,\}05\backslash \%$.

Lösung:

1. Ergänzen der Figur zu einem Drachenviereck:

Die Fläche kann zu einem Drachenviereck ergänzt werden. Dies geschieht, indem ein Kreissektor des Kreises $kk$ hinzugefügt wird.

Die gesuchte Fläche erhältst du dann, indem du von der Fläche des Drachenvierecks die Fläche des Kreissektors abziehst.

2. Berechnung der Flächeninhalte von Drachenviereck und Kreissektor:

Berechnung Flächeninhalt Drachenviereck:

Da das Drachenviereck symmetrisch zu der Achse $[AM][AM]$ ist, ist sein Flächeninhalt doppelt so groß wie der des Dreiecks $AEMAEM$. Also gilt

Für den Flächeninhalt des Dreiecks gilt

Das Ergebnis kann man nun in die Gleichung für $A_{\mathrm{\square }}A\_\{\backslash square\}$ einsetzen

Als Nächstes musst du noch die Länge $\overline{AE}\backslash overline\{AE\}$ berechnen:

Hierfür ist wichtig, dass das Dreieck $AEMAEM$ rechtwinklig ist. Das heißt, dass du Sinus, Kosinus und Tangens verwenden kannst.

In der Teilaufgabe d hast du schon den Winkel $\mathrm{\sphericalangle }\backslash sphericalangle$ $EAM=25\mathrm{°}EAM=25°$ berechnet. Diesen kannst du nun verwenden. Denn $[AM][AM]$ ist die Hypotenuse des Dreiecks und sie schließt zusammen mit der gesuchten Länge $\overline{AE}\backslash overline\{AE\}$ den Winkel $\mathrm{\sphericalangle }\backslash sphericalangle$ $EAMEAM$ ein. Die Länge $\overline{AE}\backslash overline\{AE\}$ ist also die Ankathete. Außerdem ist die Länge $\overline{EM}=2\text{ cm}\backslash overline\{EM\}=2\backslash \; \backslash text\{cm\}$ gegeben. Das ist die Gegenkathete.

Daher kannst du die Länge $\overline{AE}\backslash overline\{AE\}$ mit dem Tangens berechnen

Nun setzt du die Werte ein:

Jetzt musst du die Gleichung nur noch nach $\overline{AE}\backslash overline\{AE\}$ umstellen. Hierfür multiplizierst du beide Seiten mit $\overline{AE}\backslash overline\{AE\}$ und teilst durch $\tan (25\mathrm{°})\backslash tan(25°)$. So erhältst du

Einsetzen in die Formel für den Flächeninhalt des Drachenvierecks $A_{\mathrm{\square }}A\_\{\backslash square\}$ liefert das Ergebnis

Berechnung Flächeninhalt Kreissektor:

Das Verhältnis zwischen dem Flächeninhalt des Kreissektors $A_{Sektor}A\_\{Sektor\}$ und dem des Kreises $A_{Kreis}A\_\{Kreis\}$ ist genauso groß wie das Verhältnis zwischen dem Mittelpunktswinkel $\alpha \backslash alpha$ und dem Gesamtwinkel $360\mathrm{°}360°$.

Umstellen nach $A_{Sektor}A\_\{Sektor\}$ durch Multiplikation mit $A_{Kreis}A\_\{Kreis\}$

Überlege dir, wie groß der Mittelpunktswinkel $\alpha \backslash alpha$ ist. Orientiere dich hierfür wieder an dem Drachenviereck.

Den Mittelpunktswinkel $\alpha \backslash alpha$ erhältst du, indem du von der Innenwinkelsumme $360\mathrm{°}360°$ des Drachenvierecks die Größen der anderen drei Winkel abziehst, also zweimal $90\mathrm{°}90°$ und einmal $\mathrm{\sphericalangle }CAD=50\mathrm{°}\backslash sphericalangle\; CAD=50°$.

Der Flächeninhalt $A_{Kreis}A\_\{Kreis\}$ des Kreises mit dem Radius $r=2\text{ cm}r=2\backslash \; \backslash text\{cm\}$ ist

Nun kannst du den Flächeninhalt $A_{Kreis}A\_\{Kreis\}$ und den Mittelpunktswinkel $\alpha \backslash alpha$ in die Formel für den Flächeninhalt $A_{Sektor}A\_\{Sektor\}$ des Kreissektors einsetzen

3. Berechnung Flächeninhalt gesuchte Figur

Der Flächeninhalt der Figur, die durch die Strecken $[AE][AE]$ und $[AF][AF]$ sowie den Kreisbogen begrenzt wird, beträgt also $\mathrm{4,04}{\text{cm}}^{2}4\{,\}04\backslash \; \backslash text\{cm\}^2$.