Teil B

Lösung:

1. Berechnung der gesuchten Winkel:

Die Bezeichnung von Winkeln wird auf der Seite "Winkel" erklärt. Der Winkel $\sphericalangle CBA$ wird in der Zeichnung $\beta$ genannt und der Winkel $\sphericalangle$ $BAC$ wird ε genannt. Der Winkel $\sphericalangle CAD = 50°$ ist auch eingezeichnet.

Winkel $\sphericalangle CBA =\beta$:

Im Dreieck $ABC$ sind die Längen aller drei Seiten bekannt. Die Größen der Winkel sind nicht bekannt. Das Maß $\beta$ des Winkels $\sphericalangle$ $CBA$ soll bestimmt werden.

In diesem Fall kann man den Kosinussatz verwenden:

(Der Sinussatz kommt hier nicht infrage, weil dafür mindestens ein Winkel im Dreieck $ABC$ bekannt sein müsste.)

Da $\beta$ berechnet werden soll, steht die Länge $\overline{AC}$ der Seite, die gegenüber von $\beta$ ist, ganz links in der Gleichung, also $14\ \text{cm}$.

Rechts in der Gleichung setzt du die Längen der Seiten ein, die $\beta$ berühren, also $\overline{BC}=10\ \text{cm}$ und $\overline{AB}=7\ \text{cm}$.

$\overline{AC}^2=\overline{BC}^2+\overline{AB}^2-2\cdot \overline{BC}\cdot \overline{AB}\cdot\cos\left(\beta\right)$

$(14\ \text{cm})^2=(10\ \text{cm})^2+(7\ \text{cm})^2-2\cdot10\ \text{cm}\cdot7\ \text{cm}\cdot\cos\left(\beta\right)$

Ausrechnen der Zahlenwerte:

Umstellen nach $\cos(\beta)$:

$\cos(\beta)=\dfrac{196\ \text{cm}^2-149\ \text{cm}^2}{-140\ \text{cm}^2}=-0{,}3357...$

Berechnen von $\beta$ mit der Umkehrfunktion $\cos^{-1}\left(-0{,}3357...\right)$:

Winkel $\sphericalangle$ $BAC = \varepsilon$ :

Das Maß $ε$ des Winkels $\sphericalangle$ $BAC$ kann man wieder mit dem Kosinussatz berechnen, da die Längen aller drei Seiten im Dreieck bekannt sind. Eine andere Möglichkeit ist hier die Berechnung mit dem Sinussatz. Er kann hier verwendet werden, weil $\beta$ bereits berechnet wurde.

Im Folgenden wird die Rechnung mit dem Sinussatz durchgeführt, da sie etwas kürzer ist.

Weil $ε$ berechnet werden soll und $\beta$ bekannt ist, setzen wir diese beiden Winkel in die Rechnung ein. $\overline{BC}=10\ \text{cm}$ ist die Länge der Seite gegenüber von $\varepsilon$. $\overline{AC}=14\ \text{cm}$ ist die Länge der Seite gegenüber von $\beta$.

Einsetzen der Längen:

Umstellen nach $\sin(\varepsilon)$ :

$\sin(\varepsilon)=\dfrac{10\ \text{cm}}{14\ \text{cm}}\cdot\sin(\beta)$

Einsetzen von $\beta=109{,}62^\circ$:

$\sin(\varepsilon)=\dfrac{10\ \text{cm}}{14\ \text{cm}}\cdot\sin(109{,}62^{\circ})=0{,}67$

Berechnen von ε mit der Umkehrfunktion $\sin^{-1}\left(0{,}67\right)$:

$ε=\sin^{-1}(0{,}67)=42{,}28^{\circ}$

2. Zeichnung des Trapezes $ABCD$:

Mit Zirkel:

Um den Punkt $D$ zu erhalten, verwendet man die Angabe $AB||CD$ und $\sphericalangle$ $CAD$$=\alpha=$ $50°$.

$AB||CD$ bedeutet, dass die Seite $AB$ parallel zu der Seite $CD$ ist. Der Punkt $D$ liegt also auf einer parallelen Geraden zu $AB$ durch den Punkt $C$. Diese kannst du mit dem Zirkel konstruieren oder mit dem Geodreieck zeichnen.

Nun zeichnest du den Winkel $\sphericalangle$ $CAD = 50°$. Hierfür legst du das Geodreieck an der Seite $AC$ des Dreiecks an. Dann zeichnest du den fehlenden Schenkel des Winkels so lang, dass du einen Schnittpunkt mit der gestrichelten Linie erhältst.

Der Punkt $D$ ist der Schnittpunkt.

Nun verbindet man die vier Punkte $ABCD$ zu einem Trapez:

Lösung:

1. Bestimmung der kürzesten Verbindung des Punktes $B$ zur Strecke $[AC]$:

Die kürzeste Verbindung steht im rechten Winkel auf $[AC]$. Dies ist in der Graphik eingezeichnet als $[BP]$.

2. Berechnung des Umfangs $u$:

Vorgehen:

1. Überlege dir die Formel für den Umfang des Dreiecks $ABP$.

2. Welche Längen sind gegeben, welche gesucht?

3. Berechne die gesuchten Längen. Tipp: Überlege dir, welche Winkel bekannt sind, und nutze das Grundwissen zu Sinus und Kosinus.

4. Setze diese Längen in die Formel für den Umfang $u$ ein.

Lösung:

1. Formel für den Umfang des Dreiecks $ABP$:

Den Umfang $u$ des Dreiecks $ABP$ berechnet man, indem man die Längen der drei Seiten addiert, also $\overline{AB}$, $\overline{BP}$ und $\overline{AP}$.

2. Gegebene und gesuchte Längen:

Du weißt aus der Angabe bereits, dass $\overline{AB}=7\ \text{cm}$ ist. Die Längen $\overline{BP}$ und $\overline{AP}$ musst du noch berechnen.

3. Berechnung der gesuchten Längen:

Das Dreieck $ABP$ ist rechtwinklig und du kennst den Winkel $ε$ und die Länge $\overline{AB}$. Daher kannst du Sinus und Kosinus zur Berechnung verwenden.

• Berechnung der Länge $\overline{BP}$:

$\overline{BP}$ ist in dem rechtwinkligen Dreieck die Gegenkathete zum Winkel $ε$ und $\overline{AB}$ ist die Hypotenuse. Daher kannst du die Länge $\overline{BP}$ mit dem Sinus berechnen.

Umstellen nach $\overline{BP}$ durch Multiplikation mit der Länge $\overline{AB}$ auf beiden Seiten der Gleichung

Einsetzen der Zahlen:

• Berechnung der Länge von $\overline{AP}$ :

$\overline{AP}$ ist in dem rechtwinkligen Dreieck die Ankathete und sie schließt den Winkel $ε$ zusammen mit der Hypotenuse $\overline{AB}$ ein. Daher kannst du die Länge $\overline{BP}$ mit dem Kosinus berechnen.

Umstellen nach $\overline{AP}$ durch Multiplikation mit $\overline{AB}$ auf beiden Seiten der Gleichung

Einsetzen der Zahlen:

4. Einsetzen in die Formel für den Umfang $u_{ABP}$:

Der Umfang beträgt also $16{,}89\ \text{cm}$.

Vorgehen:

1. Überlege dir zuerst die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes.

2. Überprüfe, welche Längen gegeben sind und welche du noch berechnen musst.

3. Berechne diese Längen und setze sie in die Formel ein.

Lösung:

1. Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes:

Der Flächeninhalt $A$ des Trapezes mit der Höhe $h$ und den parallelen Seiten $[AB]$ und $[CD]$ ist:

2. Gegebene und zu berechnende Längen:

3. Berechnung der Längen und Einsetzen in die Formel

Berechnung der Höhe $h=\overline{BJ}$:

Das Dreieck ist also rechtwinklig, du kennst einen Winkel und die Länge der Hypotenuse $\overline{BC}=10\ \text{cm}$. Daher kannst du nun die Höhe $h=\overline{BJ}$ mit dem Kosinus berechnen.

Einsetzen der gegebenen Länge und des Winkels:

Umstellen nach $\overline{BJ}$ durch Multiplikation mit $10\ \text{cm}$ auf beiden Seiten der Gleichung:

Die Höhe $h=\overline{BJ}$ beträgt also $9{,}42\ \text{cm}$.

Berechnung der Länge $\overline{CD}$:

Betrachte hierfür die Zeichnung in der Aufgabenstellung.

• Überlege, welches Dreieck in der Zeichnung für die Rechnung hilfreich sein könnte.

• Welche Längen und Winkel sind bekannt? Musst du für die Rechnung zusätzliche Längen oder Winkel berechnen?

• Welche Funktion oder welchen Satz kannst du anwenden? (z.B. Sinus, Kosinus, Tangens, Sinussatz, Kosinussatz)

Lösung:

Einzeichnen des Kreises $k$ und des Mittelpunkts $M$:

Bestimme die Lage des Mittelpunkts $M$

Zeichne mit dem Zirkel einen Kreis mit dem Radius $r=2\ \text{cm}$Berechnung des Winkels $\sphericalangle$ $ADC$:

Die Seite $[AB]$ ist parallel zu der Seite $[CD]$. Daraus folgt

Der Winkel $\sphericalangle BAD$ setzt sich aus $ε$ und $50°$ zusammen. Also gilt

Umstellen nach $\sphericalangle ADC$ durch Abziehen von $92{,}28°$ auf beiden Seiten der Gleichung:

$\\\sphericalangle ADC = 87{,}72^\circ$

• Anwendung des Sinussatzes:

Das Dreieck ist also nicht rechtwinklig. Daher kommen für die Rechnung nur noch Sinus- oder Kosinussatz infrage. Da nur eine Seite bekannt ist, aber zwei Winkel, verwendet man hier den Sinussatz. Dabei teilst du jeweils eine Seitenlänge durch den Winkel, der gegenüber von ihr liegt

Einsetzen der bekannten Längen und Winkel:

Umstellen nach $\overline{CD}$ durch Multiplikation mit $\sin(50°)$

$\\\overline{CD}=14{,}0110...\ \text{cm} \cdot \sin\left(50^\circ\right)=10{,}7330...\ \text{cm}\approx10{,}73\ \text{cm}$

Berechnung des Flächeninhalts $A$ des Trapezes durch Einsetzen der Längen in die Formel:

Das Trapez hat also eine Fläche von $83{,}51\text{cm}^2$.

Lösung:

1. Bestimmung der Lage des Mittelpunkts $M$:

Betrachte das Bild aus der Angabe:

Der Mittelpunkt $M$ hat den gleichen Abstand zu den Punkten $E$ und $F$ des Kreises. Daher hat er auch den gleichen Abstand zu den Seiten $[AC]$ und $[AD]$. Deshalb liegt er auf der Winkelhalbierenden des Winkels $\sphericalangle$ $CAD=50°$.

Der Winkel $\sphericalangle$ $EAM$ ist also halb so groß wie $\sphericalangle$ $CAD$. Es gilt

Du siehst den Winkel $25°$in der untenstehenden Grafik eingezeichnet.

Nun kannst du den Abstand $\overline{AM}$ berechnen.

Dafür stellst du dir das Dreieck $AEM$ vor.

Das Dreieck $AEM$ ist rechtwinklig, weil $[AC]$ eine Tangente an den Kreis $k$ ist und diese immer im rechten Winkel zum Radius steht. Deshalb kann mit dem Sinus gerechnet werden.

Einsetzen von $\sphericalangle$ $EAM=25°$ und $\overline{EM}$$=r=2\ \text{cm}$:

Umstellen nach $\overline{AM}$:

Multiplikation mit $\overline{AM}$:

Division durch $\sin(25°)$:

Beginne nun bei Punkt $A$ und miss die Länge $4{,}73\ \text{cm}$ entlang der Winkelhalbierenden ab. So erhältst du den Mittelpunkt $M$.

2. Einzeichnen des Kreises $k$:

Stich nun mit dem Zirkel im Mittelpunkt $M$ ein und zeichne einen Kreis mit dem Radius $r=2\ \text{cm}$.

Zur Kontrolle: Du hast richtig gezeichnet, wenn der Kreis die Seiten $[AC]$ und $[AD]$ berührt, aber nicht schneidet.

Berechnung: Anteil des Flächeninhalts des Kreises am Trapez

Vorgehen:

1. Berechne den Flächeninhalt des Kreises $k$

2. Berechne den prozentualen Anteil

Lösung:

1. Berechnung Flächeninhalt Kreis $k$:

Die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises ist

2. Berechnung prozentualer Anteil:

Für die Berechnung des prozentualen Anteils musst du dir überlegen, was der Grundwert $G$ und der Prozentwert $W$ ist. Diese Werte hast du schon ausgerechnet.

Der $\text{Grundwert}$ $G$ ist der Flächeninhalt $A$ des Trapezes $ABCD$, also

Der $\text{Prozentwert}$ $W$ ist der Flächeninhalt $A_{Kreis}$ des Kreises $k$, also

Für den prozentualen Anteil, also den $\text{Prozentsatz}$ $p$ gilt nun

Nun kannst du die Werte für $W$ und $G$ einsetzen

Der prozentuale Anteil des Flächeninhalts des Kreises $k$ am Flächeninhalt des Trapezes $ABCD$ ist also $15{,}05\%$.

Lösung:

1. Ergänzen der Figur zu einem Drachenviereck:

Die Fläche kann zu einem Drachenviereck ergänzt werden. Dies geschieht, indem ein Kreissektor des Kreises $k$ hinzugefügt wird.

Die gesuchte Fläche erhältst du dann, indem du von der Fläche des Drachenvierecks die Fläche des Kreissektors abziehst.

2. Berechnung der Flächeninhalte von Drachenviereck und Kreissektor:

Berechnung Flächeninhalt Drachenviereck:

Da das Drachenviereck symmetrisch zu der Achse $[AM]$ ist, ist sein Flächeninhalt doppelt so groß wie der des Dreiecks $AEM$. Also gilt

Für den Flächeninhalt des Dreiecks gilt

Das Ergebnis kann man nun in die Gleichung für $A_{\square}$ einsetzen

Als Nächstes musst du noch die Länge $\overline{AE}$ berechnen:

Hierfür ist wichtig, dass das Dreieck $AEM$ rechtwinklig ist. Das heißt, dass du Sinus, Kosinus und Tangens verwenden kannst.

In der Teilaufgabe d hast du schon den Winkel $\sphericalangle$ $EAM=25°$ berechnet. Diesen kannst du nun verwenden. Denn $[AM]$ ist die Hypotenuse des Dreiecks und sie schließt zusammen mit der gesuchten Länge $\overline{AE}$ den Winkel $\sphericalangle$ $EAM$ ein. Die Länge $\overline{AE}$ ist also die Ankathete. Außerdem ist die Länge $\overline{EM}=2\ \text{cm}$ gegeben. Das ist die Gegenkathete.

Daher kannst du die Länge $\overline{AE}$ mit dem Tangens berechnen

Nun setzt du die Werte ein:

Jetzt musst du die Gleichung nur noch nach $\overline{AE}$ umstellen. Hierfür multiplizierst du beide Seiten mit $\overline{AE}$ und teilst durch $\tan(25°)$. So erhältst du

Einsetzen in die Formel für den Flächeninhalt des Drachenvierecks $A_{\square}$ liefert das Ergebnis

Berechnung Flächeninhalt Kreissektor:

Das Verhältnis zwischen dem Flächeninhalt des Kreissektors $A_{Sektor}$ und dem des Kreises $A_{Kreis}$ ist genauso groß wie das Verhältnis zwischen dem Mittelpunktswinkel $\alpha$ und dem Gesamtwinkel $360°$.

Umstellen nach $A_{Sektor}$ durch Multiplikation mit $A_{Kreis}$

Überlege dir, wie groß der Mittelpunktswinkel $\alpha$ ist. Orientiere dich hierfür wieder an dem Drachenviereck.

Den Mittelpunktswinkel $\alpha$ erhältst du, indem du von der Innenwinkelsumme $360°$ des Drachenvierecks die Größen der anderen drei Winkel abziehst, also zweimal $90°$ und einmal $\sphericalangle CAD=50°$.

Der Flächeninhalt $A_{Kreis}$ des Kreises mit dem Radius $r=2\ \text{cm}$ ist

Nun kannst du den Flächeninhalt $A_{Kreis}$ und den Mittelpunktswinkel $\alpha$ in die Formel für den Flächeninhalt $A_{Sektor}$ des Kreissektors einsetzen

3. Berechnung Flächeninhalt gesuchte Figur

Der Flächeninhalt der Figur, die durch die Strecken $[AE]$ und $[AF]$ sowie den Kreisbogen begrenzt wird, beträgt also $4{,}04\ \text{cm}^2$.

Für diese Aufgabe benötigst du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras und Sinus, Kosinus und Tangens

Schrägbild der Pyramide $ABCDS$

Das Applet hilft dir dabei das Schrägbild der Pyramide $ABCDS$ Schritt für Schritt zu zeichnen.

Zur Berechnung der Länge der Strecke $[MS]$ und des Maß $\varphi$ des Winkels $\sphericalangle {SMA}$ benötigst du ein passendes Dreieck in deiner Pyramide, das deine gesuchten Größen enthält. Hierfür verwendest du das rechtwinklige Dreieck $AMS$, welches in der untenstehenden Abbildung eingezeichnet ist.

Berechnung der Länge der Strecke $[MS]$

Das oben eingezeichnete Dreieck $AMS$ ist rechtwinklig. Du hast auch bereits $\overline{AM}$ und $\overline{AS}$ gegeben, sodass du die Länge der Strecke $[MS]$ erhältst, indem du den Satz des Pythagoras anwendest. Die Strecke $[MS]$ ist die Hypotenuse und die Strecken $[AM]$ und $[AS]$ sind die beiden Katheten.

$\overline{MS}^2=\overline{AM}^2+\overline{AS}^2$

Jetzt muss du noch die Wurzel ziehen, um die Länge von $[MS]$ zu erhalten, wobei du nur die positive Lösung berücksichtigst, da eine negative Länge keinen Sinn macht:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\overline{MS}&=& \sqrt{\overline{AM}^2 +\overline{AS}^2} \\ \\ &=& \sqrt{(3\,\text{cm})^2+(10 \,\text{cm})^2} \\ \\ &=& 10, 440306...\,\text{cm} \\ \\ &\approx&10{,}44\,\text{cm} \end{array}$

Berechnung des Maß $\varphi$ des Winkels $\sphericalangle {SMA}$

Bei der Bestimmung des Winkelmaßes $\varphi$ hilft dir wieder die obige Zeichnung. In einem rechtwinkligen Dreieck hast du die Möglichkeit, das Maß eines Winkels mittels Sinus, Kosinus und Tangens zu berechnen. In dem betrachteten Dreieck $AMS$ kannst du alle drei trigonometrischen Funktionen anwenden, da du alle Seitenmaße gegeben hast. Zur Berechnung wird hier der Tangens verwendet:

Diese Formel löst du nun nach $\varphi$ auf, wobei du die Umkehrfunktion des Tangens $(\tan^{-1})$ verwendest:

$\varphi=\tan^{-1}\left(\dfrac{\overline{AS}}{\overline{AM}}\right)$

Du setzt jetzt noch die gegebenen Maße ein:

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\varphi&=& \tan^{-1}\left(\dfrac{10\, \text{cm}}{3\, \text{cm}}\right) \\ \\ &=& \tan^{-1}\left(\dfrac{10}{3}\right) \\ \\ &\approx&73{,}30{°} \end{array}$

Die Länge der Strecke $[MS]$ beträgt $10{,}44\, \text{cm}$ und das Maß $\varphi$ des Winkels $\sphericalangle {SMA}$ ist $73{,}30{°}$.

Pyramide $A_1BCDP_1$ und Höhe $[P_1F_1]$

Die Angabe dieser Teilaufgabe liefert dir die folgenden Informationen:

• Punkte $P_n$ auf der Strecke $[MS]$: $\overline{SP_n}(x)=x\,\text{cm}$

• Verlängerung der Diagonalen $[AC]$ über den Punkt $A$ hinaus, sodass man $A_n$ erhält: $\overline{AA_n}(x)=1{,}5x\,\text{cm}$

• Höhenfußpunkt $F_1 \in [A_1P_1]$

Die Größen, die du zum Zeichnen der Pyramide $A_1BCDP_1$benötigst, erhältst du für $x=3$:

• $\overline{SP_1}=3\,\text{cm}$

• $\overline{AA_1}=1{,}5\cdot3\,\text{cm}=4{,}5\,\text{cm}$

Du kannst die Pyramide $A_1BCDP_1$ nun wie folgt einzeichnen:

1. Einzeichnen von $[AA_1]$: Du verlängerst die Diagonale $[AC]$ über den Punkt $A$ hinaus um $4{,}5\,\text{cm}$, sodass du den Punkt $A_1$ erhältst.

2. Einzeichnen des Punktes $P_1$: Mit dem Lineal: Du misst vom Punkt $S$ ausgehend $3\,\text{cm}$ auf der Strecke $[MS]$ ab und zeichnest dort den Punkt $P_1$ ein. Mit dem Zirkel: Stelle deinen Zirkel auf $3 \,\text{cm}$ ein. Stich mit deinem Zirkel bei Punkt $S$ ein und trage $3\,\text{cm}$ auf der Strecke $[MS]$ ab. Zeichne an diese Stelle den Punkt $P_1$ ein.

3. Einzeichnen der fehlenden Strecken: Zeichnen nun die Strecken $[A_1P_1]$, $[A_1B]$, $[A_1D]$, $[BP_1]$, $[CP_1]$ und $[DP_1]$ ein.

4. Einzeichnen der Höhe $\bf[P_1F_1]$ mit dem Höhenfußpunkt $\bf F_1\in [A_1C]$: Die Höhe $[P_1F_1]$ steht senkrecht auf der Grundfläche der Pyramide $A_1BCDP_1$. Der Höhenfußpunkt $F_1$ liegt auf der Diagonalen $[A_1C]$. Um die Höhe zu erhalten, zeichnest du das Lot vom Punkt $P_1$ auf die Strecke $[A_1C]$. Der Schnittpunkt des Lotes mit $[A_1C]$ ist der Höhenfußpunkt $F_1$.

Für diese Aufgabe benötigst du folgendes Grundwissen: Sinussatz und Kosinussatz

Berechnen des Maß $\alpha$ des Winkels $\sphericalangle {MA_1P_1}$

In der vorherigen Teilaufgabe hast du die Pyramide $A_1BCDP_1$ zu der ursprünglichen Pyramide eingezeichnet. Zur Berechnung des Maß $\alpha$ des Winkels $\sphericalangle {MA_1P_1}$ musst du dir wieder ein passendes Dreieck in der Pyramide suchen, welches diesen Winkel enthält. Hierfür bietet sich das Dreieck $A_1MP_1$ an, das in der folgenden Abbildung eingezeichnet ist.

Bei dem Dreieck $A_1MP_1$ handelt es sich um ein allgemeines Dreieck, in dem du bereits das Maß $\varphi$ gegeben hast. Das Winkelmaß $\alpha$ kannst du mithilfe des Sinussatzes berechnen:

In dieser Formel fehlen dir jedoch noch die Längen der Strecken $[MP_1]$ und $[A_1P_1]$, die du dir aber aus den gegebenen Größen berechnen kannst.

Du kannst nun wie folgt vorgehen, um das Winkelmaß $\alpha$ zu bestimmen:

1. Berechne die Länge der Seite $[MP_1]$.

2. Berechne die Länge der Seite $[A_1M]$.

3. Berechne die Länge der Seite $[A_1P_1]$.

4. Berechne das Winkelmaß $\alpha$.

1. Berechnung der Länge der Seite $[MP_1]$

In Teilaufgabe a) hast du die Länge der Strecke $[MS]$ berechnet und aus Teilaufgabe b) hast du die Information, dass $\overline{SP_1}=3\,\text{cm}$ lang ist. Mithilfe dieser Größen kannst du die Länge der Seite $[MP_1]$ bestimmen, indem du von $[MS]$ die Strecke $[SP_1]$ abziehst:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\overline{MP_1}&=& \overline{MS}-\overline{SP_1} \\ &=& 10{,}44 \,\text{cm}-3\,\text{cm} \\ &=& 7{,}44\, \text{cm} \end{array}$

2. Berechnung der Länge der Seite $[A_1M]$

Zur Berechnung der Länge der Seite $[A_1M]$ benötigst du die in Teilaufgabe b) angegebene Größe für die Verlängerung der Diagonalen $[AC]$ über den Punkt $A$ hinaus um $1{,}5x\,\text{cm}$. Für $x=3$ ergibt sich für die Verlängerung $\overline{AA_1}=1{,}5 \cdot3\,\text{cm}$. Um $[A_1M]$ zu erhalten, musst du noch die Längen von $[AM]$ und $[AA_1]$ addieren:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \overline{A_1M}&=& \overline{AM}+\overline{AA_1} \\ &=&3\,\text{cm}+1{,}5\cdot3\,\text{cm} \\ &=&7{,}5\,\text{cm} \end{array}$

3. Berechnung der Länge der Seite $[A_1P_1]$

Du benötigst noch die Länge der Seite $[A_1P_1]$. Diese kannst du mittels deiner bereits berechneten Größen und dem Kosinussatz im allgemeinen Dreieck ermitteln:

Nun ziehst du die Wurzel und setzt die gegebenen Größen ein, um $\overline{A_1P_1}$ zu erhalten. Du berücksichtigst hier nur die positive Lösung, da eine negative Länge keinen Sinn macht:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{crl}\overline{A_1P_1}&=& \sqrt{\overline{A_1M}^2+\overline{MP_1}^2-2\cdot\overline{A_1M}\cdot\overline{MP_1}\cdot \cos(\varphi)} \\ \\ &=&\sqrt{(7{,}5\,\text{cm})^2+(7{,}44\,\text{cm})^2-2\cdot7{,}5\,\text{cm}\cdot7{,}44\,\text{cm}\cdot\cos(73{,}30{°})} \\ \\ &=&8{,}92\,\text{cm} \end{array}$

4. Berechnung des Winkelmaß $\alpha$

Somit hast du nun alle Werte gegeben, um das Winkelmaß $\alpha$ mithilfe des Sinussatzes zu bestimmen:

${\dfrac{\sin(\varphi)}{\overline{A_1P_1}}=\dfrac{\sin{(\alpha)}}{\overline{MP_1}}}$

Diese Formel stellst du nach $\alpha$ um, indem du zuerst nach $\sin(\alpha)$ auflöst und dann die Umkehrfunktion des Sinus $(\sin^{-1})$ anwendest. Danach setzt du noch die Werte ein:

Das Maß $\alpha$ des Winkels $\sphericalangle {MA_1P_1}$ beträgt $\alpha=53{,}03{°}$.

Für diese Aufgabe benötigst du folgendes Grundwissen: Volumen Pyramide, Flächeninhalt Drachenviereck

Volumen $V(x)$ der Pyramiden $A_nBCDP_n$

Zunächst überlegst du dir, wie die Formel zur Berechnung des Volumens $V$einer Pyramide aufgebaut ist. Im nächsten Schritt schreibst du dann deine Größen in Abhängigkeit von $x$.

Allgemein gilt für das Volumen einer Pyramide:

$V_{\text{Pyramide}}=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h$

wobei $G$ für die Grundfläche und $h$ für die Höhe der Pyramide stehen.

Im Folgenden gehst du nun wie folgt vor, um das Volumen der Pyramiden $A_nBCDP_n$ in Abhängigkeit von $x$ zu berechnen:

1. Bestimme die Grundfläche $G$ der Pyramiden $A_nBCDP_n$ in Abhängigkeit von $x.$

2. Berechne die Höhe $h$ der Pyramiden $A_nBCDP_n$ in Abhängigkeit von $x$.

3. Berechne das Volumen $V(x)$ der Pyramiden $A_nBCDP_n$.

1. Bestimmen der Grundfläche $G$ der Pyramiden $A_nBCDP_n$

Die Pyramiden $A_nBCDP_n$ besitzen als Grundfläche das Drachenviereck $A_nBCD$. Dieses ändert sich, wenn man, wie in der Angabe von Teilaufgabe b) beschrieben, die Diagonale $[AC]$ verlängert.

Du überlegst dir nun zunächst, von welchen Größen der Flächeninhalt eines Drachenvierecks abhängt und stellst diese dann in Abhängigkeit von $x$ dar.

Der Flächeninhalt eines Drachenvierecks lässt sich allgemein darstellen durch:

$A_{\text{Drachenviereck}}=\frac{1}{2}\cdot e\cdot f$

wobei $e$ und $f$ für die Diagonalen des Drachenvierecks stehen.

In der folgenden Skizze wird die Grundfläche der Pyramiden $A_nBCDP_n$ beispielhaft dargestellt, wobei die Diagonalen ${\color{ff6600}{e}}$ und ${\color{006400}{f}}$ eingezeichnet sind und $A_n$ variabel ist.

Bestimmen der Diagonalen des Drachenvierecks

Die Diagonale $\color{ff6600}{e}$ entspricht in der Zeichnung der Strecke $\color{ff6600}{[BD]}$ und ändert sich nicht bei der Verlängerung der Diagonalen $[AC]$. Anders ist es bei der Diagonalen ${\color{green}{f}}$, die sich mit der Verlängerung der Diagonalen $[AC]$ ändert und somit von $x$ abhängt. Sie entspricht der Strecke von $\color{006400}{[A_nC]}$.

Du schreibst jetzt die Diagonale ${\color{006400}{f}}=\color{006400}{[A_nC]}$ in Abhängigkeit von $x$. Die Länge der Strecke $[AC]$ bleibt dabei unverändert. Du musst noch die Verlängerung von $[AC]$ über $A$ hinaus berücksichtigen, welche $\overline{AA_n}(x)=1{,}5x\,\text{cm}$ ist. Du addierst nun die Längen $[AC]$ und $[AA_n]$, um die Diagonale $[A_nC]$ in Abhängigkeit von $x$ zu erhalten:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{crl}\overline{A_nC}(x)&=&\overline{AC}+\overline{AA_n}(x) \\ &=& 9\,\text{cm}+ 1{,}5x\,\text{cm} \\ &=& (9+1{,}5x)\,\text{cm} \end{array}$

Bestimmen des Flächeninhalts des Drachenvierecks bzw. der Grundfläche

Du setzt nun deine beiden Diagonalen in die oben angegebene Formel für den Flächeninhalt $A_{\text{Drachenviereck}}$ des Drachenvierecks ein, und erhältst somit die Grundfläche der Pyramiden $A_nBCDP_n$ in Abhängigkeit von $x$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{crl} G=A_{\text{Drachenviereck}}(x)&=&\frac{1}{2}\cdot e\cdot f \\ \\ &=& \frac{1}{2}\cdot \overline{BD}\cdot\overline{A_nC}(x) \\ \\ &=& \frac{1}{2}\cdot 8\,\text{cm}\cdot (9+1{,}5x)\,\text{cm} \\ \\ &=& (36+6x)\,\text{cm}^2 \end{array}$

2. Bestimmen der Höhe der Pyramiden $A_nBCDP_n$

Die Höhe $h$ der Pyramiden $A_nBCDP_n$ ist durch die Strecke $[P_nF_n](x)$ gegeben. Diese ändert sich mit $x$, da $P_n$ und $F_n$ von $x$ abhängen.

Du musst nun die Höhe $h=[P_nF_n](x)$ der Pyramiden in Abhängigkeit von $x$ darstellen. Diese bestimmst du, indem du das rechtwinklige Dreieck $F_nMP_n$ betrachtest. Die Höhe kannst du mithilfe des Sinus berechnen:

Bestimmen der Seite $\bf[MP_n](x)$ in Abhängigkeit von $\bf{x}$

Du benötigst noch die Länge der Seite $[MP_n](x)$, die du aus den gegebenen Größen berechnen kannst. Dazu subtrahierst du von $[MS]$ die Strecke $[SP_n](x)$: