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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Die Skizze unten zeigt das Trapez ABCDABCD.

    Es gilt: AB=7 cm;    BC=10 cm;    AC=14 cm\overline{AB}=7\ \text{cm};\;\;\overline{BC}=10\ \text{cm};\;\;\overline{AC}=14\ \text{cm}

    CAD=50;    ABCD\sphericalangle CAD=50^\circ;\;\;AB\vert\vert CD.

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    Bild
    1. Zeichnen Sie das Trapez ABCDABCD und berechnen Sie das Maß β\beta des Winkels CBACBA sowie das Maß ε\varepsilon des Winkels BACBAC.

      [[Ergebnisse: β=109,62;    ε=42,28\beta=109{,}62^\circ;\;\;\varepsilon=42{,}28^\circ]]

    2. Die Strecke [BP][BP] ist die kürzeste Verbindung des Punktes BB zur Strecke [AC][AC]. Ergänzen Sie in der Zeichnung zu Teilaufgabe a) die Strecke [BP][BP].

      Berechnen Sie sodann den Umfang u u des Dreiecks ABP ABP.

    3. Berechnen Sie den Flächeninhalt AA des Trapezes ABCD ABCD.

      [[Ergebnis: A=83,51 cmA=83{,}51\ \text{cm}]]

    4. Der Kreis k k mit dem Mittelpunkt MM berührt die Strecke [AC][AC] im Punkt EE und die Strecke [AD][AD] im Punkt FF. Für den Radius rr gilt: r=ME=MF=2 cmr=\overline{ME}=\overline{MF}=2\ \text{cm}.

      Ergänzen Sie in der Zeichnung zu Teilaufgabe a) den Kreis kk mit dem Mittelpunkt MM. Berechnen Sie sodann den prozentualen Anteil des Flächeninhalts des Kreises kk am Flächeninhalt des Trapezes ABCDABCD.

    5. Berechnen Sie den Flächeninhalt der Figur, die durch die Strecken [AE] [AE] und [AF][AF] sowie den Kreisbogen FE\overset\frown{FE} mit dem zugehörigen Mittelpunkt MM begrenzt wird.

  2. 2

    Die Skizze unten zeigt ein Schrägbild der Pyramide ABCDS ABCDS mit der Höhe [AS][AS], deren Grundfläche das Drachenviereck ABCDABCD mit dem Diagonalenschnittpunkt MM ist.

    Es gilt: AC=9cm;    AM=3cm;    BD=8cm;    AS=10cm\overline{AC}=9\,\text{cm};\;\;\overline{AM}=3\,\text{cm};\;\;\overline{BD}=8\,\text{cm};\;\;\overline{AS}=10\,\text{cm}.

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    Bild
    1. Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCDSABCDS, wobei die Strecke [AC][AC] auf der Schrägbildachse und der Punkt AA links vom Punkt CC liegen soll.

      Für die Zeichnung gilt: q=12;    ω=45q=\frac12;\;\;\omega=45^\circ

      Links vom Punkt AA sind 5cm5\, \text{cm} freizuhalten.

      Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [MS][MS] und das Maß φ\varphi des Winkels SMASMA.

      [[Ergebnisse: MS=10,44cm;    φ=73,30\overline{MS}=10{,}44\,\text{cm};\;\;\varphi=73{,}30^\circ]]

    2. Für Punkte PnP_n auf der Strecke [MS][MS] gilt: SPn(x)=xcm\overline{SP}_n(x)=x\,\text{cm} (xRx\in\mathbb{R} und 0<x<10,440<x<10{,}44).

      Verlängert man die Diagonale [AC][AC] über den Punkt AA hinaus um 1,5xcm1{,}5x\,\text{cm}, so erhält man Punkte AnA_n und es entstehen neue Pyramiden AnBCDPnA_nBCDP_n.

      Zeichnen Sie die Pyramide A1BCDP1A_1BCDP_1 und die zugehörige Höhe [P1F1][P_1F_1] mit dem Höhenfußpunkt F1[A1C]F_1\in\lbrack A_1C\rbrack für x=3x=3 in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein.

    3. Berechnen Sie das Maß α\alpha des Winkels MA1P1MA_1P_1.

    4. Zeigen Sie rechnerisch, dass für das Volumen VV der Pyramiden AnBCDPnA_nBCDP_n in Abhängigkeit von xx gilt: V(x)=(1,92x2+8,48x+120)textcm3.V(x)=(-1{,}92x^2+8{,}48x+120)\,text{cm}^3.

      [[Teilergebnis: PnFn(x)=(100,96x)cm\overline{P_nF_n}(x)=(10-0{,}96x)\,\text{cm}]]

    5. Unter den Pyramiden AnBCDPnA_nBCDP_n hat die Pyramide A0BCDP0A_0BCDP_0 das maximale Volumen VmaxV_{max}. Berechnen Sie, um wie viel Prozent VmaxV_{max} größer als das Volumen der ursprünglichen Pyramide ABCDSABCDS ist.

    6. Zwei der folgenden Graphen stellen nicht das Volumen der Pyramiden AnBCDPnA_nBCDP_n in Abhängigkeit von xx dar. Geben Sie diese an und begründen Sie Ihre Entscheidung.

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