Teil B

Zeichnen Sie das Trapez $ABCD$ und berechnen Sie das Maß $\beta$ des Winkels $CBA$ sowie das Maß $\varepsilon$ des Winkels $BAC$.

$[$Ergebnisse: $\beta=109{,}62^\circ;\;\;\varepsilon=42{,}28^\circ$$]$

Die Strecke $[BP]$ ist die kürzeste Verbindung des Punktes $B$ zur Strecke $[AC]$. Ergänzen Sie in der Zeichnung zu Teilaufgabe a) die Strecke $[BP]$.

Berechnen Sie sodann den Umfang $u$ des Dreiecks $ABP$.

Berechnen Sie den Flächeninhalt $A$ des Trapezes $ABCD$.

$[$Ergebnis: $A=83{,}51\ \text{cm}$$]$

Der Kreis $k$ mit dem Mittelpunkt $M$ berührt die Strecke $[AC]$ im Punkt $E$ und die Strecke $[AD]$ im Punkt $F$. Für den Radius $r$ gilt: $r=\overline{ME}=\overline{MF}=2\ \text{cm}$.

Ergänzen Sie in der Zeichnung zu Teilaufgabe a) den Kreis $k$ mit dem Mittelpunkt $M$. Berechnen Sie sodann den prozentualen Anteil des Flächeninhalts des Kreises $k$ am Flächeninhalt des Trapezes $ABCD$.

Berechnen Sie den Flächeninhalt der Figur, die durch die Strecken $[AE]$ und $[AF]$ sowie den Kreisbogen $\overset\frown{FE}$ mit dem zugehörigen Mittelpunkt $M$ begrenzt wird.

Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide $ABCDS$, wobei die Strecke $[AC]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $C$ liegen soll.

Für die Zeichnung gilt: $q=\frac12;\;\;\omega=45^\circ$

Links vom Punkt $A$ sind $5\, \text{cm}$ freizuhalten.

Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke $[MS]$ und das Maß $\varphi$ des Winkels $SMA$.

$[$Ergebnisse: $\overline{MS}=10{,}44\,\text{cm};\;\;\varphi=73{,}30^\circ$$]$

Für Punkte $P_n$ auf der Strecke $[MS]$ gilt: $\overline{SP}_n(x)=x\,\text{cm}$ ($x\in\mathbb{R}$ und $0<x<10{,}44$).

Verlängert man die Diagonale $[AC]$ über den Punkt $A$ hinaus um $1{,}5x\,\text{cm}$, so erhält man Punkte $A_n$ und es entstehen neue Pyramiden $A_nBCDP_n$.

Zeichnen Sie die Pyramide $A_1BCDP_1$ und die zugehörige Höhe $[P_1F_1]$ mit dem Höhenfußpunkt $F_1\in\lbrack A_1C\rbrack$ für $x=3$ in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein.

Berechnen Sie das Maß $\alpha$ des Winkels $MA_1P_1$.

Zeigen Sie rechnerisch, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $A_nBCDP_n$ in Abhängigkeit von $x$ gilt: $V(x)=(-1{,}92x^2+8{,}48x+120)\,text{cm}^3.$

$[$Teilergebnis: $\overline{P_nF_n}(x)=(10-0{,}96x)\,\text{cm}$$]$

Unter den Pyramiden $A_nBCDP_n$ hat die Pyramide $A_0BCDP_0$ das maximale Volumen $V_{max}$. Berechnen Sie, um wie viel Prozent $V_{max}$ größer als das Volumen der ursprünglichen Pyramide $ABCDS$ ist.

Zwei der folgenden Graphen stellen nicht das Volumen der Pyramiden $A_nBCDP_n$ in Abhängigkeit von $x$ dar. Geben Sie diese an und begründen Sie Ihre Entscheidung.