Für diese Aufgabe benötigst du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras und Sinus, Kosinus und Tangens

Schrägbild der Pyramide $ABCDS$

Das Applet hilft dir dabei das Schrägbild der Pyramide $ABCDS$ Schritt für Schritt zu zeichnen.

Zur Berechnung der Länge der Strecke $[MS]$ und des Maß $\varphi$ des Winkels $\sphericalangle {SMA}$ benötigst du ein passendes Dreieck in deiner Pyramide, das deine gesuchten Größen enthält. Hierfür verwendest du das rechtwinklige Dreieck $AMS$, welches in der untenstehenden Abbildung eingezeichnet ist.

Berechnung der Länge der Strecke $[MS]$

Das oben eingezeichnete Dreieck $AMS$ ist rechtwinklig. Du hast auch bereits $\overline{AM}$ und $\overline{AS}$ gegeben, sodass du die Länge der Strecke $[MS]$ erhältst, indem du den Satz des Pythagoras anwendest. Die Strecke $[MS]$ ist die Hypotenuse und die Strecken $[AM]$ und $[AS]$ sind die beiden Katheten.

$\overline{MS}^2=\overline{AM}^2+\overline{AS}^2$

Jetzt muss du noch die Wurzel ziehen, um die Länge von $[MS]$ zu erhalten, wobei du nur die positive Lösung berücksichtigst, da eine negative Länge keinen Sinn macht:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\overline{MS}&=& \sqrt{\overline{AM}^2 +\overline{AS}^2} \\ \\ &=& \sqrt{(3\,\text{cm})^2+(10 \,\text{cm})^2} \\ \\ &=& 10, 440306...\,\text{cm} \\ \\ &\approx&10{,}44\,\text{cm} \end{array}$

Berechnung des Maß $\varphi$ des Winkels $\sphericalangle {SMA}$

Bei der Bestimmung des Winkelmaßes $\varphi$ hilft dir wieder die obige Zeichnung. In einem rechtwinkligen Dreieck hast du die Möglichkeit, das Maß eines Winkels mittels Sinus, Kosinus und Tangens zu berechnen. In dem betrachteten Dreieck $AMS$ kannst du alle drei trigonometrischen Funktionen anwenden, da du alle Seitenmaße gegeben hast. Zur Berechnung wird hier der Tangens verwendet:

Diese Formel löst du nun nach $\varphi$ auf, wobei du die Umkehrfunktion des Tangens $(\tan^{-1})$ verwendest:

$\varphi=\tan^{-1}\left(\dfrac{\overline{AS}}{\overline{AM}}\right)$

Du setzt jetzt noch die gegebenen Maße ein:

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\varphi&=& \tan^{-1}\left(\dfrac{10\, \text{cm}}{3\, \text{cm}}\right) \\ \\ &=& \tan^{-1}\left(\dfrac{10}{3}\right) \\ \\ &\approx&73{,}30{°} \end{array}$

Die Länge der Strecke $[MS]$ beträgt $10{,}44\, \text{cm}$ und das Maß $\varphi$ des Winkels $\sphericalangle {SMA}$ ist $73{,}30{°}$.

Pyramide $A_1BCDP_1$ und Höhe $[P_1F_1]$

Die Angabe dieser Teilaufgabe liefert dir die folgenden Informationen:

• Punkte $P_n$ auf der Strecke $[MS]$: $\overline{SP_n}(x)=x\,\text{cm}$

• Verlängerung der Diagonalen $[AC]$ über den Punkt $A$ hinaus, sodass man $A_n$ erhält: $\overline{AA_n}(x)=1{,}5x\,\text{cm}$

• Höhenfußpunkt $F_1 \in [A_1P_1]$

Die Größen, die du zum Zeichnen der Pyramide $A_1BCDP_1$benötigst, erhältst du für $x=3$:

• $\overline{SP_1}=3\,\text{cm}$

• $\overline{AA_1}=1{,}5\cdot3\,\text{cm}=4{,}5\,\text{cm}$

Du kannst die Pyramide $A_1BCDP_1$ nun wie folgt einzeichnen:

1. Einzeichnen von $[AA_1]$: Du verlängerst die Diagonale $[AC]$ über den Punkt $A$ hinaus um $4{,}5\,\text{cm}$, sodass du den Punkt $A_1$ erhältst.

2. Einzeichnen des Punktes $P_1$: Mit dem Lineal: Du misst vom Punkt $S$ ausgehend $3\,\text{cm}$ auf der Strecke $[MS]$ ab und zeichnest dort den Punkt $P_1$ ein. Mit dem Zirkel: Stelle deinen Zirkel auf $3 \,\text{cm}$ ein. Stich mit deinem Zirkel bei Punkt $S$ ein und trage $3\,\text{cm}$ auf der Strecke $[MS]$ ab. Zeichne an diese Stelle den Punkt $P_1$ ein.

3. Einzeichnen der fehlenden Strecken: Zeichnen nun die Strecken $[A_1P_1]$, $[A_1B]$, $[A_1D]$, $[BP_1]$, $[CP_1]$ und $[DP_1]$ ein.

4. Einzeichnen der Höhe $\bf[P_1F_1]$ mit dem Höhenfußpunkt $\bf F_1\in [A_1C]$: Die Höhe $[P_1F_1]$ steht senkrecht auf der Grundfläche der Pyramide $A_1BCDP_1$. Der Höhenfußpunkt $F_1$ liegt auf der Diagonalen $[A_1C]$. Um die Höhe zu erhalten, zeichnest du das Lot vom Punkt $P_1$ auf die Strecke $[A_1C]$. Der Schnittpunkt des Lotes mit $[A_1C]$ ist der Höhenfußpunkt $F_1$.

Für diese Aufgabe benötigst du folgendes Grundwissen: Sinussatz und Kosinussatz

Berechnen des Maß $\alpha$ des Winkels $\sphericalangle {MA_1P_1}$

In der vorherigen Teilaufgabe hast du die Pyramide $A_1BCDP_1$ zu der ursprünglichen Pyramide eingezeichnet. Zur Berechnung des Maß $\alpha$ des Winkels $\sphericalangle {MA_1P_1}$ musst du dir wieder ein passendes Dreieck in der Pyramide suchen, welches diesen Winkel enthält. Hierfür bietet sich das Dreieck $A_1MP_1$ an, das in der folgenden Abbildung eingezeichnet ist.

Bei dem Dreieck $A_1MP_1$ handelt es sich um ein allgemeines Dreieck, in dem du bereits das Maß $\varphi$ gegeben hast. Das Winkelmaß $\alpha$ kannst du mithilfe des Sinussatzes berechnen:

In dieser Formel fehlen dir jedoch noch die Längen der Strecken $[MP_1]$ und $[A_1P_1]$, die du dir aber aus den gegebenen Größen berechnen kannst.

Du kannst nun wie folgt vorgehen, um das Winkelmaß $\alpha$ zu bestimmen:

1. Berechne die Länge der Seite $[MP_1]$.

2. Berechne die Länge der Seite $[A_1M]$.

3. Berechne die Länge der Seite $[A_1P_1]$.

4. Berechne das Winkelmaß $\alpha$.

1. Berechnung der Länge der Seite $[MP_1]$

In Teilaufgabe a) hast du die Länge der Strecke $[MS]$ berechnet und aus Teilaufgabe b) hast du die Information, dass $\overline{SP_1}=3\,\text{cm}$ lang ist. Mithilfe dieser Größen kannst du die Länge der Seite $[MP_1]$ bestimmen, indem du von $[MS]$ die Strecke $[SP_1]$ abziehst:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\overline{MP_1}&=& \overline{MS}-\overline{SP_1} \\ &=& 10{,}44 \,\text{cm}-3\,\text{cm} \\ &=& 7{,}44\, \text{cm} \end{array}$

2. Berechnung der Länge der Seite $[A_1M]$

Zur Berechnung der Länge der Seite $[A_1M]$ benötigst du die in Teilaufgabe b) angegebene Größe für die Verlängerung der Diagonalen $[AC]$ über den Punkt $A$ hinaus um $1{,}5x\,\text{cm}$. Für $x=3$ ergibt sich für die Verlängerung $\overline{AA_1}=1{,}5 \cdot3\,\text{cm}$. Um $[A_1M]$ zu erhalten, musst du noch die Längen von $[AM]$ und $[AA_1]$ addieren:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \overline{A_1M}&=& \overline{AM}+\overline{AA_1} \\ &=&3\,\text{cm}+1{,}5\cdot3\,\text{cm} \\ &=&7{,}5\,\text{cm} \end{array}$

3. Berechnung der Länge der Seite $[A_1P_1]$

Du benötigst noch die Länge der Seite $[A_1P_1]$. Diese kannst du mittels deiner bereits berechneten Größen und dem Kosinussatz im allgemeinen Dreieck ermitteln:

Nun ziehst du die Wurzel und setzt die gegebenen Größen ein, um $\overline{A_1P_1}$ zu erhalten. Du berücksichtigst hier nur die positive Lösung, da eine negative Länge keinen Sinn macht:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{crl}\overline{A_1P_1}&=& \sqrt{\overline{A_1M}^2+\overline{MP_1}^2-2\cdot\overline{A_1M}\cdot\overline{MP_1}\cdot \cos(\varphi)} \\ \\ &=&\sqrt{(7{,}5\,\text{cm})^2+(7{,}44\,\text{cm})^2-2\cdot7{,}5\,\text{cm}\cdot7{,}44\,\text{cm}\cdot\cos(73{,}30{°})} \\ \\ &=&8{,}92\,\text{cm} \end{array}$

4. Berechnung des Winkelmaß $\alpha$

Somit hast du nun alle Werte gegeben, um das Winkelmaß $\alpha$ mithilfe des Sinussatzes zu bestimmen:

${\dfrac{\sin(\varphi)}{\overline{A_1P_1}}=\dfrac{\sin{(\alpha)}}{\overline{MP_1}}}$

Diese Formel stellst du nach $\alpha$ um, indem du zuerst nach $\sin(\alpha)$ auflöst und dann die Umkehrfunktion des Sinus $(\sin^{-1})$ anwendest. Danach setzt du noch die Werte ein:

Das Maß $\alpha$ des Winkels $\sphericalangle {MA_1P_1}$ beträgt $\alpha=53{,}03{°}$.

Für diese Aufgabe benötigst du folgendes Grundwissen: Volumen Pyramide, Flächeninhalt Drachenviereck

Volumen $V(x)$ der Pyramiden $A_nBCDP_n$

Zunächst überlegst du dir, wie die Formel zur Berechnung des Volumens $V$einer Pyramide aufgebaut ist. Im nächsten Schritt schreibst du dann deine Größen in Abhängigkeit von $x$.

Allgemein gilt für das Volumen einer Pyramide:

$V_{\text{Pyramide}}=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h$

wobei $G$ für die Grundfläche und $h$ für die Höhe der Pyramide stehen.

Im Folgenden gehst du nun wie folgt vor, um das Volumen der Pyramiden $A_nBCDP_n$ in Abhängigkeit von $x$ zu berechnen:

1. Bestimme die Grundfläche $G$ der Pyramiden $A_nBCDP_n$ in Abhängigkeit von $x.$

2. Berechne die Höhe $h$ der Pyramiden $A_nBCDP_n$ in Abhängigkeit von $x$.

3. Berechne das Volumen $V(x)$ der Pyramiden $A_nBCDP_n$.

1. Bestimmen der Grundfläche $G$ der Pyramiden $A_nBCDP_n$

Die Pyramiden $A_nBCDP_n$ besitzen als Grundfläche das Drachenviereck $A_nBCD$. Dieses ändert sich, wenn man, wie in der Angabe von Teilaufgabe b) beschrieben, die Diagonale $[AC]$ verlängert.

Du überlegst dir nun zunächst, von welchen Größen der Flächeninhalt eines Drachenvierecks abhängt und stellst diese dann in Abhängigkeit von $x$ dar.

Der Flächeninhalt eines Drachenvierecks lässt sich allgemein darstellen durch:

$A_{\text{Drachenviereck}}=\frac{1}{2}\cdot e\cdot f$

wobei $e$ und $f$ für die Diagonalen des Drachenvierecks stehen.

In der folgenden Skizze wird die Grundfläche der Pyramiden $A_nBCDP_n$ beispielhaft dargestellt, wobei die Diagonalen ${\color{ff6600}{e}}$ und ${\color{006400}{f}}$ eingezeichnet sind und $A_n$ variabel ist.

Bestimmen der Diagonalen des Drachenvierecks

Die Diagonale $\color{ff6600}{e}$ entspricht in der Zeichnung der Strecke $\color{ff6600}{[BD]}$ und ändert sich nicht bei der Verlängerung der Diagonalen $[AC]$. Anders ist es bei der Diagonalen ${\color{green}{f}}$, die sich mit der Verlängerung der Diagonalen $[AC]$ ändert und somit von $x$ abhängt. Sie entspricht der Strecke von $\color{006400}{[A_nC]}$.

Du schreibst jetzt die Diagonale ${\color{006400}{f}}=\color{006400}{[A_nC]}$ in Abhängigkeit von $x$. Die Länge der Strecke $[AC]$ bleibt dabei unverändert. Du musst noch die Verlängerung von $[AC]$ über $A$ hinaus berücksichtigen, welche $\overline{AA_n}(x)=1{,}5x\,\text{cm}$ ist. Du addierst nun die Längen $[AC]$ und $[AA_n]$, um die Diagonale $[A_nC]$ in Abhängigkeit von $x$ zu erhalten:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{crl}\overline{A_nC}(x)&=&\overline{AC}+\overline{AA_n}(x) \\ &=& 9\,\text{cm}+ 1{,}5x\,\text{cm} \\ &=& (9+1{,}5x)\,\text{cm} \end{array}$

Bestimmen des Flächeninhalts des Drachenvierecks bzw. der Grundfläche

Du setzt nun deine beiden Diagonalen in die oben angegebene Formel für den Flächeninhalt $A_{\text{Drachenviereck}}$ des Drachenvierecks ein, und erhältst somit die Grundfläche der Pyramiden $A_nBCDP_n$ in Abhängigkeit von $x$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{crl} G=A_{\text{Drachenviereck}}(x)&=&\frac{1}{2}\cdot e\cdot f \\ \\ &=& \frac{1}{2}\cdot \overline{BD}\cdot\overline{A_nC}(x) \\ \\ &=& \frac{1}{2}\cdot 8\,\text{cm}\cdot (9+1{,}5x)\,\text{cm} \\ \\ &=& (36+6x)\,\text{cm}^2 \end{array}$

2. Bestimmen der Höhe der Pyramiden $A_nBCDP_n$

Die Höhe $h$ der Pyramiden $A_nBCDP_n$ ist durch die Strecke $[P_nF_n](x)$ gegeben. Diese ändert sich mit $x$, da $P_n$ und $F_n$ von $x$ abhängen.

Du musst nun die Höhe $h=[P_nF_n](x)$ der Pyramiden in Abhängigkeit von $x$ darstellen. Diese bestimmst du, indem du das rechtwinklige Dreieck $F_nMP_n$ betrachtest. Die Höhe kannst du mithilfe des Sinus berechnen:

Bestimmen der Seite $\bf[MP_n](x)$ in Abhängigkeit von $\bf{x}$

Du benötigst noch die Länge der Seite $[MP_n](x)$, die du aus den gegebenen Größen berechnen kannst. Dazu subtrahierst du von $[MS]$ die Strecke $[SP_n](x)$:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{crl} \overline{MP_n}(x)&=& \overline{MS}-\overline{SP_n}(x) \\ &=& 10{,}44\,\text{cm}-x\,\text{cm} \\ &=& (10{,}44-x)\,\text{cm} \end{array}$

Berechnen der Höhe $\bf{h=[P_nF_n](x)}$ in Abhängigkeit von $\bf{x}$

Du hast nun alle Größen gegeben, um mit der oben dargestellten Formel die Höhe zu berechnen. Dazu löst du diese nach $\overline{P_nF_n}(x)$ auf und setzt die Werte ein:

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{crl}\sin(\varphi)&=& \dfrac{\overline{P_nF_n}(x)}{\overline{MP_n}(x)} \quad &|& \cdot\overline{MP_n}(x) \\ \\ \overline{P_nF_n}(x)&=& \sin(\varphi)\cdot \overline{MP_n}(x) \\ \\ &=& \sin(73{,}3{°})\cdot (10{,}44-x)\,\text{cm} \\ \\ &\approx& (10-0{,}96x)\,\text{cm} \end{array}$

3. Berechnen des Volumens $V(x)$ der Pyramiden $A_nBCDP_n$

Um das Volumen $V(x)$ zu berechnen, musst du nun in die Formel für das Volumen einer Pyramide die berechneten Größen einsetzten und ausmultiplizieren:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{crl}V(x)&=&\frac{1}{3}\cdot G\cdot h \\ \\ &=& \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot \overline{BD}\cdot\overline{A_nC}(x)\cdot \overline{P_nF_n}(x) \\ \\ &=& \frac{1}{3}\cdot (36+6x)\,\text{cm}^2 \cdot (10-0{,}96x)\,\text{cm} \\ \\ &=&(12+2x)\cdot (10-0{,}96x)\,\text{cm}^3 \\ \\ &=& (120-11{,}52x+20x -1{,}92x^2)\,\text{cm}^3 \\ \\ &=& (-1{,}92x^2+8{,}48x+120)\,\text{cm}^3 \end{array}$

Das Volumen der Pyramiden $A_nBCDP_n$ in Abhängigkeit von $x$ beträgt $V(x)=(-1{,}92x^2+8{,}48x+120)\,\text{cm}^3$.

Für diese Aufgabe benötigst du folgendes Grundwissen: allgemeine Form und Scheitelform einer quadratischen Funktion, quadratische Ergänzung

Berechnen, um wie viel Prozent $V_{max}$ größer als $V_{ABCDS}$ ist

1. Berechnen des Volumens $V_{ABCDS}$ der ursprünglichen Pyramide

Zur Berechnung des Volumens $V_{ABCDS}$ kannst du die in Teilaufgabe d) berechnete Formel für das Volumen in Abhängigkeit von $x$ verwenden. Du setzt $x=0$, da du bei der ursprünglichen Pyramide $ABCDS$ noch keine Verlängerung hast. Damit ergibt sich:

$V(x=0)=V_{ABCDS}=(-1{,}92\cdot 0^2+8{,}48\cdot 0+120)\,\text{cm}^3 = 120 \,\text{cm}^3$

2. Berechnen des maximalen Volumens der Pyramiden $A_0BCDP_0$

Die in Teilaufgabe d) berechnete Formel für das Volumen in Abhängigkeit von $x$, $V(x)=-1{,}92x^2+8{,}48x+120$, ist eine quadratische Funktion, welche eine nach unten geöffnete Parabel (negativer Wert vor $x^2$) darstellt. Diese besitzt ein Maximum, welches auch der Scheitelpunkt der Parabel ist. Um den Scheitelpunkt der Parabel zu bestimmen, musst du die allgemeine Form der quadratischen Funktion in die Scheitelform umwandeln. An dieser kannst du dann direkt den Scheitelpunkt ablesen. Mithilfe der quadratischen Ergänzung kannst du die beiden Formen ineinander umwandeln:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{crl}V(x)&=& -1{,}92x^2+8{,}48x+120 \\ \\ &=& -1{,}92\cdot(x^2-\frac{8{,}48}{1{,}92}x)+120 \\ \\ &=&-1{,}92\cdot(x^2-\frac{53}{12}x)+120 \\ \\ &=&-1{,}92\left(x^2-2\cdot\frac{53}{24}x+\left(\frac{53}{24}\right)^2-\left(\frac{53}{24}\right)^2\right)+120 \\ \\ &=& -1{,}92\left(\left(x-\frac{53}{24}\right)^2-\left(\frac{53}{24}\right)^2\right)+120 \\ \\ &=&-1{,}92\left(x-\frac{53}{24}\right)^2+1{,}92\cdot\left(\frac{53}{24}\right)^2+120 \\ \\ &=&-1{,}92\left(x-{\color{009999}{\frac{53}{24}}}\right)^2+\color{cc0000}129{,}36 \end{array}$

Du hast die Scheitelform der quadratischen Funktion bestimmt, sodass du nun direkt den Scheitelpunkt $S$ ablesen kannst. Dieser ist:

$S\left({\color{009999}{\frac{53}{24}}}\large|\color{cc0000}129{,}36\right)$

Der $y-$Wert des Scheitelpunkts $S$ gibt dir das maximale Volumen $V_{max}={\color{cc0000}{129{,}36}}\,\text{cm}^3$ an.

Du berechnest jetzt noch, um wie viel Prozent $V_{max}$ größer als $V_{ABCDS}$ ist. Dazu teilst du die beiden Volumina durcheinander, um deren Verhältnis zu bestimmen:

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{crl} \dfrac{V_{A_0BCDP_0}}{V_{ABCDS}}=\dfrac{V_{max}}{V_{ABCDS}}=\dfrac{129{,}36\,\text{cm}^3}{120\,\text{cm}^3}=1{,}078 \end{array}$

Das Volumen $V_{max}$ ist um $7{,}80\;\%$ größer als das Volumen der Pyramide $ABCDS$.