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Die Skizze unten zeigt ein Schrägbild der Pyramide ABCDS ABCDS mit der Höhe [AS][AS], deren Grundfläche das Drachenviereck ABCDABCD mit dem Diagonalenschnittpunkt MM ist.

Es gilt: AC=9cm;    AM=3cm;    BD=8cm;    AS=10cm\overline{AC}=9\,\text{cm};\;\;\overline{AM}=3\,\text{cm};\;\;\overline{BD}=8\,\text{cm};\;\;\overline{AS}=10\,\text{cm}.

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Bild
  1. Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCDSABCDS, wobei die Strecke [AC][AC] auf der Schrägbildachse und der Punkt AA links vom Punkt CC liegen soll.

    Für die Zeichnung gilt: q=12;    ω=45q=\frac12;\;\;\omega=45^\circ

    Links vom Punkt AA sind 5cm5\, \text{cm} freizuhalten.

    Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [MS][MS] und das Maß φ\varphi des Winkels SMASMA.

    [[Ergebnisse: MS=10,44cm;    φ=73,30\overline{MS}=10{,}44\,\text{cm};\;\;\varphi=73{,}30^\circ]]

  2. Für Punkte PnP_n auf der Strecke [MS][MS] gilt: SPn(x)=xcm\overline{SP}_n(x)=x\,\text{cm} (xRx\in\mathbb{R} und 0<x<10,440<x<10{,}44).

    Verlängert man die Diagonale [AC][AC] über den Punkt AA hinaus um 1,5xcm1{,}5x\,\text{cm}, so erhält man Punkte AnA_n und es entstehen neue Pyramiden AnBCDPnA_nBCDP_n.

    Zeichnen Sie die Pyramide A1BCDP1A_1BCDP_1 und die zugehörige Höhe [P1F1][P_1F_1] mit dem Höhenfußpunkt F1[A1C]F_1\in\lbrack A_1C\rbrack für x=3x=3 in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein.

  3. Berechnen Sie das Maß α\alpha des Winkels MA1P1MA_1P_1.

  4. Zeigen Sie rechnerisch, dass für das Volumen VV der Pyramiden AnBCDPnA_nBCDP_n in Abhängigkeit von xx gilt: V(x)=(1,92x2+8,48x+120)textcm3.V(x)=(-1{,}92x^2+8{,}48x+120)\,text{cm}^3.

    [[Teilergebnis: PnFn(x)=(100,96x)cm\overline{P_nF_n}(x)=(10-0{,}96x)\,\text{cm}]]

  5. Unter den Pyramiden AnBCDPnA_nBCDP_n hat die Pyramide A0BCDP0A_0BCDP_0 das maximale Volumen VmaxV_{max}. Berechnen Sie, um wie viel Prozent VmaxV_{max} größer als das Volumen der ursprünglichen Pyramide ABCDSABCDS ist.

  6. Zwei der folgenden Graphen stellen nicht das Volumen der Pyramiden AnBCDPnA_nBCDP_n in Abhängigkeit von xx dar. Geben Sie diese an und begründen Sie Ihre Entscheidung.

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