Nachtermin Teil A - lernen mit Serlo!

Der Punkt $B (3 | 1)$ ist gemeinsamer Eckpunkt von rechtwinkligen Dreiecken $A_{n} B C_{n}$ , wobei die Punkte $A_{n} (x | 0,5 x + 2)$ auf der Geraden $g$ mit der Gleichung $y = 0,5 x + 2$ liegen ( $𝔾 = ℝ \times ℝ$ ). Die Hypotenusen $[B C_{n}]$ sind dabei stets doppelt so lang wie die Katheten $[A_{n} B]$ .

Zeichnen Sie die Dreiecke $A_{1} B C_{1}$ für $x = 1$ und $A_{2} B C_{2}$ für $x = 4$ in das Koordinatensystem ein.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
$A_{1} B C_{1}$
Um das erste Dreieck zu skizzieren, zeichnet man zunächst die Punkte $B$ und $A_{1}$ ein. Die Koordinaten von $A_{1}$ lassen sich ermitteln, indem man in die Funktionsgleichung der Gerade $g$ den Wert $1$ für $x$ einsetzt:
$y = 0,5 \cdot 1 + 2 = 2,5$
$A_{1}$ hat also die Koordinaten $(1 | 2,5)$ .
Um den Abstand zwischen den beiden Punkten zu berechnen, benutzt man den Satz des Pythagoras. Die beiden Punkte $A_{1}$ und $B$ lassen sich mit einem dritten Punkt zu einem rechtwinkligen Dreieck verbinden:
Der Abstand zwischen den beiden Punkten ist also die Hypotenuse des Dreiecks, jetzt kann man den Satz des Pythagoras anwenden:
$c^{2}$ $=$ $a^{2} + b^{2}$
$c^{2}$ $=$ $(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$
$c^{2}$ $=$ $(2)^{2} + (- 1,5)^{2}$
$c^{2}$ $=$ $4 + 2,25$
$c^{2}$ $=$ $6,25$ $\sqrt{}$
$c$ $=$ $2,5$
Die Kathete $[A_{1} B]$ hat eine Länge von $2,5$ . Die Hypotenuse $[B C_{1}]$ muss also die Länge $5$ haben.
Da das Dreieck rechtwinklig sein muss, kann man mit dem Satz des Pythagoras die Länge der Strecke $[A_{1} C_{1}]$ berechnen:
${2,5}^{2} + b^{2}$ $=$ $5^{2}$
$6,25 + b^{2}$ $=$ $25$ $- 6,25$
$b^{2}$ $=$ $18,75$ $\sqrt{}$
$b$ $=$ $\sqrt{18,75}$
Jetzt weiß man also die Länge der drei Seiten des Dreiecks. Damit kann man die Lage von $C_{1}$ ermitteln und das Dreieck konstruieren:
$A_{2} B C_{2}$
Um das zweite Dreieck zu skizzieren, zeichnet man zunächst die Punkte $B$ und $A_{2}$ ein. Die Koordinaten von $A_{2}$ lassen sich ermitteln, indem man in die Funktionsgleichung der Gerade $g$ den Wert $4$ für $x$ einsetzt:
$y = 0,5 \cdot 4 + 2 = 4$
$A_{2}$ hat also die Koordinaten $(4 | 4)$ .
Um den Abstand zwischen den beiden Punkten zu berechnen, benutzt man den Satz des Pythagoras. Die beiden Punkte $A_{2}$ und $B$ lassen sich mit einem dritten Punkt zu einem rechtwinkligen Dreieck verbinden:
Der Abstand zwischen den beiden Punkten ist also die Hypotenuse des Dreiecks, jetzt kann man den Satz des Pythagoras anwenden:
$c^{2}$ $=$ $a^{2} + b^{2}$
$c^{2}$ $=$ $(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$
$c^{2}$ $=$ $(- 1)^{2} + (- 3)^{2}$
$c^{2}$ $=$ $1 + 9$
$c^{2}$ $=$ $10$ $\sqrt{}$
$c$ $=$ $\sqrt{10}$
Die Kathete $[A_{1} B]$ hat eine Länge von $\sqrt{10}$ . Die Hypotenuse $[B C_{1}]$ muss also die Länge $\sqrt{10} \cdot 2 = \sqrt{10} \cdot \sqrt{4} = \sqrt{40}$ haben.
Da das Dreieck rechtwinklig sein muss, kann man mit dem Satz des Pythagoras die Länge der Strecke $[A_{2} C_{2}]$ berechnen:
$(\sqrt{10})^{2} + b^{2}$ $=$ $(\sqrt{40})^{2}$
$10 + b^{2}$ $=$ $40$ $- 10$
$b^{2}$ $=$ $30$ $\sqrt{}$
$b$ $=$ $\sqrt{30}$
Jetzt weiß man also die Länge der drei Seiten des Dreiecks. Damit kann man die Lage von $C_{2}$ ermitteln und das Dreieck konstruieren:
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Bei beiden Dreiecken gehst du gleichermaßen vor:
Berechne die Länge der Kathete $[A_{1 / 2} B]$
Indem du diesen Wert verdoppelst, erhältst du die Länge der Hypothenuse $[B C_{1 / 2}]$
Konstruiere jetzt die Lage des Punktes $C_{1 / 2}$ und zeichne das Dreieck ein
Begründen Sie, dass für die Winkel $C_{n} B A_{n}$ gilt: $∡ C_{n} B A_{n} = 60 °$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
Der Winkel hat als Scheitelpunkt den Punkt $B$ , also wird er hier als $β$ bezeichnet.
Da alle Dreiecke $A_{n} B C_{n}$ rechtwinklig sind, kann man hier Sinus, Kosinus und Tangens anwenden.
Das Verhältnis der Länge der Ankathete $[A_{n} B]$ zu der Länge der Hypotenuse $[B C_{n}]$ ist bekannt, die Hypotenuse ist immer doppelt so lang wie die Ankathete.
Mit diesem Wissen kann man jetzt $β$ berechnen:
$\cos β$ $=$ $\frac{[A_{n} B]}{[B C_{n}]}$
$\cos β$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\arccos$
$β$ $=$ $60 °$
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Stelle eine Gleichung auf, indem du den Kosinus des Winkels $C_{n} B A_{n}$ durch die Ankathete $[A_{n} B]$ und die Hypotenuse $[B C_{n}]$ ausdrückst, deren Längenverhältnis bekannt ist
Wende man den Arcuscosinus auf die Gleichung an

Zeigen Sie, dass für die Koordinaten der Punkte $C_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: $C_{n} (1,87 x + 1,73 | - 1,23 x + 7,20)$ .

Für das Dreieck $A_{3} B C_{3}$ gilt: $B C_{3} ∥ g$ .

Berechnen Sie die $x$ –Koordinate des Punktes $A$ .

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$2 \cdot [A B]$	$=$	$[B C]$	$^{2}$
$4 \cdot [A B]^{2}$	$=$	$[B C]^{2}$
$4 \cdot ((x_{A} - x_{B})^{2} + (y_{A} - y_{B})^{2})$	$=$	$(x_{C} - x_{B})^{2} + (y_{C} - y_{B})^{2}$
	↓	Die Koordinaten von $B$ sind gegeben, $x_{B} = 3$ , $y_{B} = 1$
$4 \cdot ((x_{A} - 3)^{2} + (y_{A} - 1)^{2})$	$=$	$(x_{C} - 3)^{2} + (y_{C} - 1)^{2}$
	↓	Die Koordinaten von $A$ sind in Abhängigkeit von $x$ gegeben, $x_{A} = x$ , $x_{B} = 0,5 x + 2$
$4 \cdot ((x - 3)^{2} + ((0,5 x + 2) - 1)^{2})$	$=$	$(x_{C} - 3)^{2} + (y_{C} - 1)^{2}$
$4 \cdot ((x - 3)^{2} + (0,5 x + 1)^{2})$	$=$	$(x_{C} - 3)^{2} + (y_{C} - 1)^{2}$
$4 \cdot (x^{2} - 6 x + 9 + 0,25 x^{2} + x + 1)$	$=$	$(x_{C} - 3)^{2} + (y_{C} - 1)^{2}$
$4 \cdot (1,25 x^{2} - 5 x + 10)$	$=$	$(x_{C} - 3)^{2} + (y_{C} - 1)^{2}$

$5 x^{2} - 20 x + 40$	$=$	$(1,87 x + 1,73 - 3)^{2} + (- 1,23 + 7,2 - 1)^{2}$
$5 x^{2} - 20 x + 40$	$=$	$(1,87 x - 1,27)^{2} + (- 1,23 + 6,2)^{2}$
$5 x^{2} - 20 x + 40$	$=$	$3,4969 x^{2} - 4,7498 x + 1,6129 + 1,5129 x^{2} - 15,252 x + 38,44$
$5 x^{2} - 20 x + 40$	$=$	$5,0098 x^{2} - 20,0018 x + 40,0529$

$m_{B C_{3}}$	$=$	$m_{g}$
$\frac{y_{C_{3}} - y_{B}}{x_{C_{3}} - x_{B}}$	$=$	$0,5$
$\frac{- 1,23 x + 7,20 - 1}{1,87 x + 1,73 - 3}$	$=$	$0,5$
$\frac{- 1,23 x + 6,20}{1,87 x - 1,27}$	$=$	$0,5$	$\cdot (1,87 x - 1,27)$
$- 1,23 x + 6,20$	$=$	$0,5 \cdot (1,87 x - 1,27)$
$- 1,23 x + 6,20$	$=$	$0,935 x - 0,635$	$+ 1,23 x + 0,635$
$6,835$	$=$	$2,165 x$	$: 2,165$
$3,16$	$\approx$	$x$

$c^{2}$	$=$	$a^{2} + b^{2}$
$c^{2}$	$=$	$(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$
$c^{2}$	$=$	$(2)^{2} + (- 1,5)^{2}$
$c^{2}$	$=$	$4 + 2,25$
$c^{2}$	$=$	$6,25$	$\sqrt{}$
$c$	$=$	$2,5$

${2,5}^{2} + b^{2}$	$=$	$5^{2}$
$6,25 + b^{2}$	$=$	$25$	$- 6,25$
$b^{2}$	$=$	$18,75$	$\sqrt{}$
$b$	$=$	$\sqrt{18,75}$

$(\sqrt{10})^{2} + b^{2}$	$=$	$(\sqrt{40})^{2}$
$10 + b^{2}$	$=$	$40$	$- 10$
$b^{2}$	$=$	$30$	$\sqrt{}$
$b$	$=$	$\sqrt{30}$

$\cos β$	$=$	$\frac{[A_{n} B]}{[B C_{n}]}$
$\cos β$	$=$	$\frac{1}{2}$	$\arccos$
$β$	$=$	$60 °$

A1BC1

A2BC2

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$A_{1} B C_{1}$

$A_{2} B C_{2}$