Nachtermin Teil A - lernen mit Serlo!

Der Punkt $\mathrm{B\ (3|1)}$ ist gemeinsamer Eckpunkt von rechtwinkligen Dreiecken $\mathrm{A_nBC_n}$ , wobei die Punkte $\mathrm{A_n(x|0{,}5x+2)}$ auf der Geraden $g$ mit der Gleichung $\mathrm{y=0{,}5x+2}$ liegen ( $\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ ). Die Hypotenusen $\mathrm{\left[BC_n\right]}$ sind dabei stets doppelt so lang wie die Katheten $\mathrm{[A_nB]}$ .

Zeichnen Sie die Dreiecke $A_{1} B C_{1}$ für $x = 1$ und $A_{2} B C_{2}$ für $x = 4$ in das Koordinatensystem ein.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras

$A_{1} B C_{1}$

Um das erste Dreieck zu skizzieren, zeichnet man zunächst die Punkte $B$ und $A_{1}$ ein. Die Koordinaten von $A_{1}$ lassen sich ermitteln, indem man in die Funktionsgleichung der Gerade $g$ den Wert $1$ für $x$ einsetzt:

$y = 0{,}5 \cdot 1 + 2 = 2{,}5$

$A_{1}$ hat also die Koordinaten $(1 ∣ 2,5)$ .

Um den Abstand zwischen den beiden Punkten zu berechnen, benutzt man den Satz des Pythagoras. Die beiden Punkte $A_{1}$ und $B$ lassen sich mit einem dritten Punkt zu einem rechtwinkligen Dreieck verbinden:

Der Abstand zwischen den beiden Punkten ist also die Hypotenuse des Dreiecks, jetzt kann man den Satz des Pythagoras anwenden:

$\displaystyle c^2$	$=$	$\displaystyle a^2 + b^2$
$\displaystyle c^2$	$=$	$\displaystyle (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$
$\displaystyle c^2$	$=$	$\displaystyle (2)^2+(-1{,}5)^2$
$\displaystyle c^2$	$=$	$\displaystyle 4 + 2{,}25$
$\displaystyle c^2$	$=$	$\displaystyle 6{,}25$	$\displaystyle \sqrt{\ \ \ \ \ }$
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle 2{,}5$

Die Kathete $[A_{1} B]$ hat eine Länge von $2,5$ . Die Hypotenuse $[B C_{1}]$ muss also die Länge $5$ haben.

Da das Dreieck rechtwinklig sein muss, kann man mit dem Satz des Pythagoras die Länge der Strecke $[A_{1} C_{1}]$ berechnen:

$\displaystyle 2{,}5^2 + b^2$	$=$	$\displaystyle 5^2$
$\displaystyle 6{,}25 + b^2$	$=$	$\displaystyle 25$	$\displaystyle -6{,}25$
$\displaystyle b^2$	$=$	$\displaystyle 18{,}75$	$\displaystyle \sqrt{\ \ \ \ \ }$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \sqrt{18{,}75}$

Jetzt weiß man also die Länge der drei Seiten des Dreiecks. Damit kann man die Lage von $C_{1}$ ermitteln und das Dreieck konstruieren:

$A_{2} B C_{2}$

Um das zweite Dreieck zu skizzieren, zeichnet man zunächst die Punkte $B$ und $A_{2}$ ein. Die Koordinaten von $A_{2}$ lassen sich ermitteln, indem man in die Funktionsgleichung der Gerade $g$ den Wert $4$ für $x$ einsetzt:

$y = 0{,}5 \cdot 4 + 2 = 4$

$A_{2}$ hat also die Koordinaten $(4 ∣ 4)$ .

Um den Abstand zwischen den beiden Punkten zu berechnen, benutzt man den Satz des Pythagoras. Die beiden Punkte $A_{2}$ und $B$ lassen sich mit einem dritten Punkt zu einem rechtwinkligen Dreieck verbinden:

Der Abstand zwischen den beiden Punkten ist also die Hypotenuse des Dreiecks, jetzt kann man den Satz des Pythagoras anwenden:

$\displaystyle c^2$	$=$	$\displaystyle a^2 + b^2$
$\displaystyle c^2$	$=$	$\displaystyle (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$
$\displaystyle c^2$	$=$	$\displaystyle (-1)^2+(-3)^2$
$\displaystyle c^2$	$=$	$\displaystyle 1 + 9$
$\displaystyle c^2$	$=$	$\displaystyle 10$	$\displaystyle \sqrt{\ \ \ \ \ }$
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle \sqrt{10}$

Die Kathete $[A_{1} B]$ hat eine Länge von $\sqrt{10}$ . Die Hypotenuse $[B C_{1}]$ muss also die Länge $\sqrt{10} \cdot 2 = \sqrt{10} \cdot \sqrt{4} = \underline{\underline{\sqrt{40} \ }}$ haben.

Da das Dreieck rechtwinklig sein muss, kann man mit dem Satz des Pythagoras die Länge der Strecke $[A_{2} C_{2}]$ berechnen:

$\displaystyle (\sqrt{10})^2 + b^2$	$=$	$\displaystyle (\sqrt{40})^2$
$\displaystyle 10 + b^2$	$=$	$\displaystyle 40$	$\displaystyle -10$
$\displaystyle b^2$	$=$	$\displaystyle 30$	$\displaystyle \sqrt{\ \ \ \ \ }$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \sqrt{30}$

Jetzt weiß man also die Länge der drei Seiten des Dreiecks. Damit kann man die Lage von $C_{2}$ ermitteln und das Dreieck konstruieren:

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Begründen Sie, dass für die Winkel $\mathrm{C_nBA_n}$ gilt: $\mathrm{\measuredangle C_nBA_n=60°}$ .

Zeigen Sie, dass für die Koordinaten der Punkte $\mathrm{C_n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $\text{x}$ der Punkte $\mathrm{A_n}$ gilt: $\ \mathrm{C_n\left(1{,}87x+1{,}73|-1{,}23x+7{,}20\right)}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungssysteme

Um zu zeigen, dass alle $C_{n}$ die Koordinaten $\left(1{,}87x+1{,}73|-1{,}23x+7{,}20\right)$ haben,

braucht man das Längenverhältnis der beiden Seiten $[A B]$ und $[B C]$ :

$2 \cdot [AB] = [BC]$

Als Nächstes muss man Gleichungen aufstellen, die die Länge einer Seite des Dreiecks mit den Koordinaten der beiden Endpunkte der Seite in Verbindung stellen.

Dafür schaut man sich zum Beispiel zuerst Seite $[A B]$ an:

Grafik aus Teilaufgabe a): Beispiel zur Verdeutlichung

$[A B]$ ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks, damit kann man jetzt den Satz des Pythagoras aufstellen:

$[AB]^2 = \left(x_B - x_A \right)^2 + \left(y_B - y_A \right)^2$

Genauso kann man auch die Gleichung für $[B C]$ aufstellen:

$[BC]^2 = \left(x_C - x_B \right)^2 + \left(y_C - y_B \right)^2$

$\displaystyle 2 \cdot [AB]$	$=$	$\displaystyle [BC]$	$\displaystyle ^2$
$\displaystyle 4 \cdot [AB]^2$	$=$	$\displaystyle [BC]^2$
$\displaystyle 4 \cdot ((x_A-x_B)^2 + (y_A - y_B)^2)$	$=$	$\displaystyle (x_C-x_B)^2 + (y_C - y_B)^2$
	↓	Die Koordinaten von $B$ sind gegeben, $x_{B} = 3$ , $y_{B} = 1$
$\displaystyle 4 \cdot ((x_A-3)^2 + (y_A - 1)^2)$	$=$	$\displaystyle (x_C-3)^2 + (y_C - 1)^2$
	↓	Die Koordinaten von $A$ sind in Abhängigkeit von $x$ gegeben, $x_{A} = x$ , $x_B = 0{,}5x+2$
$\displaystyle 4 \cdot ((x-3)^2 + ((0{,}5x + 2) - 1)^2)$	$=$	$\displaystyle (x_C-3)^2 + (y_C - 1)^2$
$\displaystyle 4 \cdot ((x-3)^2 + (0{,}5x + 1)^2)$	$=$	$\displaystyle (x_C-3)^2 + (y_C - 1)^2$
$\displaystyle 4 \cdot (x^2 - 6 x + 9 + 0{,}25 x^2 + x + 1)$	$=$	$\displaystyle (x_C-3)^2 + (y_C - 1)^2$
$\displaystyle 4 \cdot (1{,}25x^2 - 5 x + 10)$	$=$	$\displaystyle (x_C-3)^2 + (y_C - 1)^2$

Als Nächstes setzt man für $x_{C}$ und $y_{C}$ die Werte in Abhängigkeit von $x$ aus der Aufgabenstellung ein:

für $x_{C}$ setzt man $1,87 x + 1,73$ ein
für $y_{C}$ setzt man $- 1,23 + 7,2$ ein

$\displaystyle 5x^2 - 20x + 40$	$=$	$\displaystyle (1{,}87x + 1{,}73-3)^2 + (-1{,}23+7{,}2 - 1)^2$
$\displaystyle 5x^2 - 20x + 40$	$=$	$\displaystyle (1{,}87x - 1{,}27)^2 + (-1{,}23 + 6{,}2)^2$
$\displaystyle 5x^2 - 20x + 40$	$=$	$\displaystyle 3{,}4969x^2 - 4{,}7498x + 1{,}6129 + 1{,}5129x^2 - 15{,}252x + 38{,}44$
$\displaystyle 5x^2 - 20x + 40$	$=$	$\displaystyle 5{,}0098x^2 - 20{,}0018x + 40{,}0529$

Wie man sieht, steht am Ende fast das Gleiche auf beiden Seiten der Gleichung. Alle Punkte $C_{n}$ liegen also ungefähr bei $\left(1{,}87x+1{,}73|-1{,}23x+7{,}20\right)$ .

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Für das Dreieck $\mathrm{A_3BC_3}$ gilt: $\mathrm{BC_3\parallel\ g}$ .

Berechnen Sie die $\text{x}$ –Koordinate des Punktes $\text{A}$ .

$\displaystyle \cos \beta$	$=$	$\displaystyle \frac{[\overline{A_nB}]}{[\overline{BC_n}]}$
$\displaystyle \cos \beta$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle \arccos$
$\displaystyle \beta$	$=$	$\displaystyle 60°$

$\displaystyle m_{BC_3}$	$=$	$\displaystyle m_g$
$\displaystyle \frac{y_{C_3} - y_B}{x_{C_3} - x_B}$	$=$	$\displaystyle 0{,}5$
$\displaystyle \frac{-1{,}23x + 7{,}20 - 1}{1{,}87x + 1{,}73 - 3}$	$=$	$\displaystyle 0{,}5$
$\displaystyle \frac{-1{,}23x + 6{,}20}{1{,}87x - 1{,}27}$	$=$	$\displaystyle 0{,}5$	$\displaystyle \cdot \ (1{,}87x - 1{,}27)$
$\displaystyle -1{,}23x + 6{,}20$	$=$	$\displaystyle 0{,}5 \cdot (1{,}87x - 1{,}27)$
$\displaystyle -1{,}23x + 6{,}20$	$=$	$\displaystyle 0{,}935x - 0{,}635$	$\displaystyle +1{,}23x + 0{,}635$
$\displaystyle 6{,}835$	$=$	$\displaystyle 2{,}165x$	$\displaystyle :2{,}165$
$\displaystyle 3{,}16$	$\approx ≈$	$\displaystyle x$

A1BC1A_1BC_1A1​BC1​

A2BC2A_2BC_2A2​BC2​

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$A_{1} B C_{1}$

$A_{2} B C_{2}$