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Nachtermin Teil A

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Die Aufgabenstellung findest du hier zu ausdrucken.

  1. 1
    Bild

    Für Trapeze ABCnDnABC_nD_n mit den parallelen Seiten [ADn][AD_n] und [BCnBC_n] gilt:

    AB=3cm\overline{AB}=3cm; CnBA\measuredangle C_nBA = 90°; BCn=2ADn\overline{BC}_n=2\cdot\overline{AD}_n.

    Die Winkel ADnCnAD_nC_n haben das Maß φ\varphi mit φ \varphi\in\ ]90°; 180°[.

    Die Zeichnung zeigt das Trapez ABC1D1ABC_1D_1 für φ=115°\varphi=115°.

    1. Zeigen Sie, dass für die Längen der Strecken [CnDn]\left[C_nD_n\right] und [ADn]\left[AD_n\right] in Abhängigkeit von φ\varphi gilt:

      CnDn(φ)=3cos(φ90°)cm\overline{C_nD_n}\left(\varphi\right)=\dfrac{3}{\cos\left(\varphi-90°\right)}cm und ADn(φ)=3tan(φ90°)cm\overline{AD_n}\left(\varphi\right)=3\cdot\tan\left(\varphi-90°\right)cm

    2. Die Trapeze ABCnDnABC_nD_n rotieren um die Gerade BCnBC_n. Berechnen Sie für den Oberflächeninhalt des entstehenden Rotationskörpers.

  2. 2

    Der Punkt B (31)\mathrm{B\ (3|1)} ist gemeinsamer Eckpunkt von rechtwinkligen Dreiecken AnBCn\mathrm{A_nBC_n} , wobei die Punkte An(x0,5x+2)\mathrm{A_n(x|0{,}5x+2)} auf der Geraden gg mit der Gleichung y=0,5x+2\mathrm{y=0{,}5x+2} liegen (G=R×R\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}). Die Hypotenusen [BCn]\mathrm{\left[BC_n\right]} sind dabei stets doppelt so lang wie die Katheten [ABn]\mathrm{[AB_n]} .

    1. Zeichnen Sie die Dreiecke A1BC1A_1BC_1 für x=1x = 1 und A2BC2A_2BC_2 für x=4x=4 in das Koordinatensystem ein.

      Bild
    2. Begründen Sie, dass für die Winkel CnBAn\mathrm{C_nBA_n} gilt: CnBAn=60°\mathrm{\measuredangle C_nBA_n=60°}.

    3. Zeigen Sie, dass für die Koordinaten der Punkte Cn\mathrm{C_n} in Abhängigkeit von der Abszisse x\text{x} der Punkte An\mathrm{A_n} gilt:  Cn(1,87x+1,731,23x+7,20)\ \mathrm{C_n\left(1{,}87x+1{,}73|-1{,}23x+7{,}20\right)}.

    4. Für das Dreieck A3BC3\mathrm{A_3BC_3} gilt: BC3 g\mathrm{BC_3\parallel\ g}.

      Berechnen Sie die x\text{x}–Koordinate des Punktes A\text{A}.

  3. 3

    1. Die Zeichnung zeigt den Graphen der Funktion f1f_1 mit einer Gleichung der Form y=log2(x+a)+by=\log_2\left(x+a\right)+b und die zugehörige Asymptote h (G=R×R;a,bR) (\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R};a,b\in \mathbb{R}).

      Der Graph zu f1f_1 schneidet die yy–Achse im Punkt P(04)P (0|4). Geben Sie die Werte für aa und bb an.

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    2. Die Funktion f2f_2 hat eine Gleichung der Form y=ax+21y=a^{x+2}-1, die zugehörige Umkehrfunktion hat eine Gleichung der Form y=log5(x+1)+by=\log_5(x+1)+b (G=R×R;a,bR)(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times \mathbb{R}; a,b\in \mathbb{R}). Bestimmen Sie die Werte für a und b sowie die Wertemenge der Funktion f2f_2.


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