Nachtermin Teil A - lernen mit Serlo!

Die Parabel $p$ mit dem Scheitelpunkt $S (2|-3)$ hat eine Gleichung der Form ${y}=0{,}4{x}^2+{b}{x}+{c}$ mit $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}\,\textrm{und}\,b,c\in\mathbb{R})$ . Die Gerade $g$ hat die Gleichung ${y}=-0{,}3{x}+4$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}).$

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Parabel $p$ die Gleichung

$\textrm{y}=0{,}4\textrm{x}²-1{,}6\textrm{x}-1{,}4$ hat und zeichnen Sie die Gerade $g$ für $\textrm{x}\in[-3;7]$ in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein.

Punkte $A_n(\textrm{x}|0{,}4\textrm{x}²-1{,}6\textrm{x}-1{,}4)$ auf der Parabel $p$ und Punkte $C_n(\textrm{x}|-0{,}3\textrm{x}+4)$ auf der Geraden $g$ haben dieselbe Abszisse $\textrm{x}$ und sind für $\textrm{x}\in]-2{,}39;5{,}64[$ Eckpunkte von Rauten $A_nB_nC_nD_n$ . Dabei gilt: $\overline{B_nD_n}=4\;\textrm{LE}$ .

Zeichnen Sie die Raute $A_1B_1C_1D_1$ für $\textrm{x}=2$ in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein.

Berechnen Sie den Flächeninhalt $A$ der Rauten $A_nB_nC_nD_n$ in Abhängigkeit von $\textrm{x}$ und begründen Sie sodann, weshalb es unter den Rauten $A_nB_nC_nD_n$ keine Raute mit einem Flächeninhalt von $15 \,\text{FE}$ geben kann.

$[\textrm{Zwischenergebnis}: \overline{A_nC_n}\textrm(\textrm{x})=(-0{,}4\textrm{x}²+1{,}3\textrm{x}+5{,}4)\;\textrm{LE}]$

Teilaufgabe c

Flächeninhalt $A$ der Raute $A_nB_nC_nD_2$ :

allgemein: $A_{\text{Drache}}=\dfrac{e\cdot f}{2}$

Wir kennen die Diagonale $e=\overline{DM}=4\;\textrm{LE}$ . Die Diagonale $f$ ermitteln wir, indem wir die y-Koordinate von $A_n$ von $C_n$ abziehen:

$\displaystyle \left[A_nC_n\right]$	$=$	$\displaystyle \left(-0{,}3x+4-\left(0{,}4x^2-1{,}6x-1{,}4\right)\right)\;\textrm{LE}$
	↓	Klammer auflösen.
	$=$	$\displaystyle \left(-0{,}3x+4-0{,}4x^2+1{,}6x+1{,}4\right)\;\textrm{LE}$
	↓	Zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \left(-0{,}4x^2+1{,}3x+5{,}4\right)\;\textrm{LE}$

In die Formel einsetzen:

$\displaystyle A_{\text{Drache}}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{e\cdot f}{2}$
	↓	Einsetzen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\left(4\cdot\left(-0{,}4x^2+1{,}3x+5{,}4\right)\right)\;\textrm{LE}}{2}$
	↓	Kürzen.
	$=$	$\displaystyle \left(2\cdot\left(-0{,}4x^2+1{,}3x+5{,}4\right)\right)\;\textrm{LE}$
	↓	Klammer ausrechnen.
	$=$	$\displaystyle \left(-0{,}8x^2+2{,}6x+10{,}8\right)\;\textrm{LE}$

Die Flächenformel ist eine Parabel, gesucht ist der Extrempunkt (Scheitelpunkt):

Scheitelpunkt mithilfe der Formel: $S\left(\dfrac{-b}{2\cdot a}\big\vert c-\dfrac{b^2}{4\cdot a}\right)$

In diesem Fall ist nur $y$ interessant.

Aus der Gleichung $y=-0{,}8x^2+2{,}6x+10{,}8$ ist zu schließen, dass $a=-0{,}8$ , $b=2{,}6$ und $c=10{,}8$ .

(allgemein: $y=ax^2+bx+c$ ⁣)

$\displaystyle y\ \text{oder}\ A_{\max}$	$=$	$\displaystyle c-\frac{b^2}{4\cdot a}$
	$=$	$\displaystyle 10{,}8-\frac{2{,}6^2}{4\cdot\left(-0{,}8\right)}$
	$=$	$\displaystyle 10{,}6-\frac{169}{80}$
	$≈$	$\displaystyle 12{,}91\;\textrm{FE}$
	$<$	$\displaystyle 15\;\textrm{FE}$

Folglich gibt es keine Raute mit einem Flächeninhalt von $15\;\textrm{FE}$ .

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Unter den Rauten $A_nB_nC_nD_n$ gibt es die Quadrate $A_2B_2C_2D_2$ und $A_3B_3C_3D_3$ .

Bestimmen Sie rechnerisch die $\textrm{x}$ -Koordinaten der Punkte $B_2$ und $B_3$ .

$\displaystyle y(2)$	$=$	$\displaystyle 0{,}4\cdot2^2-1{,}6\cdot2-1{,}4$
	$=$	$\displaystyle 0{,}4\cdot4-3{,}2-1{,}4$
	$=$	$\displaystyle 1{,}6-3{,}2-1{,}4$
	$=$	$\displaystyle -3$

$\displaystyle y(2)$	$=$	$\displaystyle -0{,}3\cdot2+4$
	$=$	$\displaystyle -0{,}6+4$
	$=$	$\displaystyle 3{,}4$

$\displaystyle -0{,}4x^2+1{,}3x+5{,}4$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle -4$
$\displaystyle -0{,}4x^2+1{,}3x+1{,}4$	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-1{,}3\pm\sqrt{1{,}3^2-4\cdot\left(-0{,}4\right)\cdot1{,}4}}{2\cdot\left(-0{,}4\right)}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-1{,}3\pm\sqrt{1{,}69+2{,}24}}{-0{,}8}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-1{,}3\pm\sqrt{3{,}93}}{-0{,}8}$

Teilaufgabe a

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Teilaufgabe b

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Teilaufgabe c

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Teilaufgabe d

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$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 0{,}4\left(x-2\right)^2-3$
	↓	Binomische Formel anwenden.
	$=$	$\displaystyle 0{,}4\left(x^2-4x+4\right)-3$
	↓	Klammer ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle 0{,}4x^2-1{,}6x+1{,}6-3$
	↓	Zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle 0{,}4x^2-1{,}6x-1{,}4$