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Nachtermin Teil A

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1
    Bild

    Nebenstehende Skizze zeigt das rechtwinklige Dreieck ABCABC mit der Hypotenuse [AC][AC]. MM ist der Mittelpunkt der Strecke [AB][AB].

    Punkte PnP_n liegen auf der Strecke [AC][AC] mit APn=xcm  (xR;x]0;10,86[)\overline{AP_n}=\textrm{x}\,\textrm{cm}\;(\textrm{x}\in\mathbb{R};\textrm{x}\in]0;10{,}86[).

    Es gilt: AB=9  cm;BAC=34°;BMP1=70°.\overline{AB}=9\;\textrm{cm};\measuredangle{BAC}=34°;\measuredangle{BMP_1}=70°.

    1. Berechnen Sie die Längen der Strecken [AC1][AC_1] und [AP1][AP_1].

      Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.

    2. Begründen Sie, weshalb für alle Punkte PnP_n gilt: BMPn+MPnC=214°\measuredangle BMP_n+\measuredangle MP_nC=214°.

  2. 2

    Die Parabel pp mit dem Scheitelpunkt S(23)S (2|-3) hat eine Gleichung der Formy=0,4x2+bx+c{y}=0{,}4{x}^2+{b}{x}+{c} mit (G=R×Rundb,cR)(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}\,\textrm{und}\,b,c\in\mathbb{R}). Die Gerade g g hat die Gleichung y=0,3x+4{y}=-0{,}3{x}+4 (G=R×R).(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}).

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

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    1. Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Parabel pp die Gleichung

      y=0,4x21,6x1,4\textrm{y}=0{,}4\textrm{x}²-1{,}6\textrm{x}-1{,}4 hat und zeichnen Sie die Gerade gg für x[3;7]\textrm{x}\in[-3;7] in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein.

    2. Punkte An(x0,4x21,6x1,4)A_n(\textrm{x}|0{,}4\textrm{x}²-1{,}6\textrm{x}-1{,}4) auf der Parabel pp und Punkte Cn(x0,3x+4)C_n(\textrm{x}|-0{,}3\textrm{x}+4) auf der Geraden gg haben dieselbe Abszisse x\textrm{x} und sind für x]2,39;5,64[\textrm{x}\in]-2{,}39;5{,}64[ Eckpunkte von Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n. Dabei gilt: BnDn=4  LE\overline{B_nD_n}=4\;\textrm{LE}.

      Zeichnen Sie die Raute A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 für x=2 \textrm{x}=2 in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein.

    3. Berechnen Sie den Flächeninhalt AA der Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n in Abhängigkeit von x\textrm{x} und begründen Sie sodann, weshalb es unter den Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n keine Raute mit einem Flächeninhalt von 15FE15 \,\text{FE} geben kann.

      [Zwischenergebnis:AnCn(x)=(0,4x2+1,3x+5,4)  LE][\textrm{Zwischenergebnis}: \overline{A_nC_n}\textrm(\textrm{x})=(-0{,}4\textrm{x}²+1{,}3\textrm{x}+5{,}4)\;\textrm{LE}]

    4. Unter den Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n gibt es die Quadrate A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2 und A3B3C3D3A_3B_3C_3D_3.

      Bestimmen Sie rechnerisch die x\textrm{x}-Koordinaten der Punkte B2B_2 und B3B_3.

  3. 3
    Bild

    Nebenstehende Skizze zeigt das Fünfeck ABCDEABCDE mit dem Punkt F[AE]F\in[AE]. Es gilt: DE=4  cm; BF=8  cm; AED=AFB=90°; [CF][DE]\overline{DE}=4\;\text{cm};\overline{\ BF}=8\;\text{cm};\ \measuredangle AED=\measuredangle AFB=90°;\ [CF]||[DE].

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Der Kegel, der durch Rotation des Dreiecks ADEADE um die Achse AEAE entsteht, hat ein Volumen von 134  cm3134 \;\textrm{cm}^3. Berechnen Sie die Höhe dieses Kegels.

      [[Ergebnis: AE=8,00  cm\overline {AE}=8{,}00 \;\textrm{cm}]]

    2. Die Strecke [AF][AF] ist um 25  %25\;\% kürzer als die Strecke [AE][AE].

      Berechnen Sie das Volumen VVdes Rotationskörpers, der durch Rotation des Fünfecks ABCDEABCDE um die Achse AEAE entsteht.

      [[Zwischenergebnis: CF=3,00cm\overline {CF}=3{,}00 \,\textrm{cm}]]


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