Nachtermin Teil A

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Nebenstehende Skizze zeigt das rechtwinklige Dreieck $ABC$ mit der Hypotenuse $[AC]$ . $M$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[AB]$ .
Punkte $P_n$ liegen auf der Strecke $[AC]$ mit $\overline{AP_n}=\textrm{x}\,\textrm{cm}\;(\textrm{x}\in\mathbb{R};\textrm{x}\in]0;10{,}86[)$ .
Es gilt: $\overline{AB}=9\;\textrm{cm};\measuredangle{BAC}=34°;\measuredangle{BMP_1}=70°.$
1. Berechnen Sie die Längen der Strecken $[AC_1]$ und $[AP_1]$ .
  Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrie (Kosinus), Sinussatz, Nebenwinkel, Innenwinkelsumme im Dreieck
  Teilaufgabe a
  Länge der Strecke $[AC]$ :
  Das Dreieck ABC ist rechtwinklig: daher können wir den Kosinus verwenden:
  $\cos(\alpha)=\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
  $\cos(34°)=\dfrac{9\,\text{cm}}{\overline{AC}}$
  $\overline{AC}=\dfrac{9\;\text{cm}}{\cos(34°)}\approx10{,}86\;\textrm{cm}$
  Länge der Strecke $AP_1$ :
  $\measuredangle P_1MA=180°-70°=110°$ (Nebenwinkel).
  $\measuredangle MP_1A=180°-110°-34°=36°$ (Innenwinkelsumme im Dreieck)
  Sinussatz:
  $\frac{a}{\sin\left(\alpha\right)}=\frac{b}{\sin\left(\beta\right)}$
  $\frac{\overline{AM}}{\sin\left(36°\right)}=\frac{\overline{AP_1}}{\sin\left(110°\right)}$
  $\overline{AP_1}=\frac{\overline{AM}\cdot\sin\left(110°\right)}{\sin\left(36°\right)}$
  $\overline{AP_1}=\frac{4{,}5\;\textrm{cm}\cdot\sin\left(110°\right)}{\sin\left(36°\right)}\approx7{,}19\;\text{cm}$
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2. Begründen Sie, weshalb für alle Punkte $P_n$ gilt: $\measuredangle BMP_n+\measuredangle MP_nC=214°$ .
  
  Teilaufgabe b
  $\measuredangle BMP_n+\measuredangle MP_nC=214°:$
  $\measuredangle MP_1C=180°-36°=144°$ (Nebenwinkel)
  $\measuredangle BMP_n+\measuredangle MP_nC\ =70°+144°=214°$
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Die Parabel $p$ mit dem Scheitelpunkt $S (2|-3)$ hat eine Gleichung der Form ${y}=0{,}4{x}^2+{b}{x}+{c}$ mit $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}\,\textrm{und}\,b,c\in\mathbb{R})$ . Die Gerade $g$ hat die Gleichung ${y}=-0{,}3{x}+4$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}).$

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Parabel $p$ die Gleichung

$\textrm{y}=0{,}4\textrm{x}²-1{,}6\textrm{x}-1{,}4$ hat und zeichnen Sie die Gerade $g$ für $\textrm{x}\in[-3;7]$ in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein.

Punkte $A_n(\textrm{x}|0{,}4\textrm{x}²-1{,}6\textrm{x}-1{,}4)$ auf der Parabel $p$ und Punkte $C_n(\textrm{x}|-0{,}3\textrm{x}+4)$ auf der Geraden $g$ haben dieselbe Abszisse $\textrm{x}$ und sind für $\textrm{x}\in]-2{,}39;5{,}64[$ Eckpunkte von Rauten $A_nB_nC_nD_n$ . Dabei gilt: $\overline{B_nD_n}=4\;\textrm{LE}$ .

Zeichnen Sie die Raute $A_1B_1C_1D_1$ für $\textrm{x}=2$ in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein.

Berechnen Sie den Flächeninhalt $A$ der Rauten $A_nB_nC_nD_n$ in Abhängigkeit von $\textrm{x}$ und begründen Sie sodann, weshalb es unter den Rauten $A_nB_nC_nD_n$ keine Raute mit einem Flächeninhalt von $15 \,\text{FE}$ geben kann.

$[\textrm{Zwischenergebnis}: \overline{A_nC_n}\textrm(\textrm{x})=(-0{,}4\textrm{x}²+1{,}3\textrm{x}+5{,}4)\;\textrm{LE}]$

Teilaufgabe c

Flächeninhalt $A$ der Raute $A_nB_nC_nD_2$ :

allgemein: $A_{\text{Drache}}=\dfrac{e\cdot f}{2}$

Wir kennen die Diagonale $e=\overline{DM}=4\;\textrm{LE}$ . Die Diagonale $f$ ermitteln wir, indem wir die y-Koordinate von $A_n$ von $C_n$ abziehen:

$\displaystyle \left[A_nC_n\right]$	$=$	$\displaystyle \left(-0{,}3x+4-\left(0{,}4x^2-1{,}6x-1{,}4\right)\right)\;\textrm{LE}$
	↓	Klammer auflösen.
	$=$	$\displaystyle \left(-0{,}3x+4-0{,}4x^2+1{,}6x+1{,}4\right)\;\textrm{LE}$
	↓	Zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \left(-0{,}4x^2+1{,}3x+5{,}4\right)\;\textrm{LE}$

In die Formel einsetzen:

$\displaystyle A_{\text{Drache}}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{e\cdot f}{2}$
	↓	Einsetzen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\left(4\cdot\left(-0{,}4x^2+1{,}3x+5{,}4\right)\right)\;\textrm{LE}}{2}$
	↓	Kürzen.
	$=$	$\displaystyle \left(2\cdot\left(-0{,}4x^2+1{,}3x+5{,}4\right)\right)\;\textrm{LE}$
	↓	Klammer ausrechnen.
	$=$	$\displaystyle \left(-0{,}8x^2+2{,}6x+10{,}8\right)\;\textrm{LE}$

Die Flächenformel ist eine Parabel, gesucht ist der Extrempunkt (Scheitelpunkt):

Scheitelpunkt mithilfe der Formel: $S\left(\dfrac{-b}{2\cdot a}\big\vert c-\dfrac{b^2}{4\cdot a}\right)$

In diesem Fall ist nur $y$ interessant.

Aus der Gleichung $y=-0{,}8x^2+2{,}6x+10{,}8$ ist zu schließen, dass $a=-0{,}8$ , $b=2{,}6$ und $c=10{,}8$ .

(allgemein: $y=ax^2+bx+c$ ⁣)

$\displaystyle y\ \text{oder}\ A_{\max}$	$=$	$\displaystyle c-\frac{b^2}{4\cdot a}$
	$=$	$\displaystyle 10{,}8-\frac{2{,}6^2}{4\cdot\left(-0{,}8\right)}$
	$=$	$\displaystyle 10{,}6-\frac{169}{80}$
	$≈$	$\displaystyle 12{,}91\;\textrm{FE}$
	$<$	$\displaystyle 15\;\textrm{FE}$

Folglich gibt es keine Raute mit einem Flächeninhalt von $15\;\textrm{FE}$ .

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Unter den Rauten $A_nB_nC_nD_n$ gibt es die Quadrate $A_2B_2C_2D_2$ und $A_3B_3C_3D_3$ .

Bestimmen Sie rechnerisch die $\textrm{x}$ -Koordinaten der Punkte $B_2$ und $B_3$ .

Nebenstehende Skizze zeigt das Fünfeck $ABCDE$ mit dem Punkt $F\in[AE]$ . Es gilt: $\overline{DE}=4\;\text{cm};\overline{\ BF}=8\;\text{cm};\ \measuredangle AED=\measuredangle AFB=90°;\ [CF]||[DE]$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Der Kegel, der durch Rotation des Dreiecks $ADE$ um die Achse $AE$ entsteht, hat ein Volumen von $134 \;\textrm{cm}^3$ . Berechnen Sie die Höhe dieses Kegels.

$[$ Ergebnis: $\overline {AE}=8{,}00 \;\textrm{cm}$ $]$

Die Strecke $[AF]$ ist um $25\;\%$ kürzer als die Strecke $[AE]$ .

Berechnen Sie das Volumen $V$ des Rotationskörpers, der durch Rotation des Fünfecks $ABCDE$ um die Achse $AE$ entsteht.

$[$ Zwischenergebnis: $\overline {CF}=3{,}00 \,\textrm{cm}$ $]$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle y(2)$	$=$	$\displaystyle 0{,}4\cdot2^2-1{,}6\cdot2-1{,}4$
	$=$	$\displaystyle 0{,}4\cdot4-3{,}2-1{,}4$
	$=$	$\displaystyle 1{,}6-3{,}2-1{,}4$
	$=$	$\displaystyle -3$

$\displaystyle y(2)$	$=$	$\displaystyle -0{,}3\cdot2+4$
	$=$	$\displaystyle -0{,}6+4$
	$=$	$\displaystyle 3{,}4$

$\displaystyle -0{,}4x^2+1{,}3x+5{,}4$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle -4$
$\displaystyle -0{,}4x^2+1{,}3x+1{,}4$	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-1{,}3\pm\sqrt{1{,}3^2-4\cdot\left(-0{,}4\right)\cdot1{,}4}}{2\cdot\left(-0{,}4\right)}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-1{,}3\pm\sqrt{1{,}69+2{,}24}}{-0{,}8}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-1{,}3\pm\sqrt{3{,}93}}{-0{,}8}$

$\displaystyle V_{Kegel}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot r^2\cdot h$
	↓	Bekannte Größen einsetzen.
$\displaystyle 134\;\text{cm}^3$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot(4\;\text{cm})^2\cdot h$	$\displaystyle \cdot3\| :(4\;\text{cm})^2\| :\pi$
	↓	Nach der Unbekannten auflösen.
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle \dfrac{134\;\text{cm}^3\cdot3}{\pi\cdot(4\;\text{cm})^2}$
	↓	Zusammenfassen.
	$≈$	$\displaystyle 8{,}00\;\text{cm}$

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 0{,}4\left(x-2\right)^2-3$
	↓	Binomische Formel anwenden.
	$=$	$\displaystyle 0{,}4\left(x^2-4x+4\right)-3$
	↓	Klammer ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle 0{,}4x^2-1{,}6x+1{,}6-3$
	↓	Zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle 0{,}4x^2-1{,}6x-1{,}4$

$\displaystyle \dfrac{\overline {CF}}{\overline {DE}}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\overline {AF}}{\overline {AE}}$	$\displaystyle \cdot\overline {DE}$
$\displaystyle \overline {CF}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\overline {AF}\cdot \overline {DE}}{\overline {AE}}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{6\;\text{cm}\cdot4\;\text{cm}}{8\;\text{cm}}$
	$=$	$\displaystyle 3{,}00\;\text{cm}$

$\displaystyle V_{ABCDE}$	$=$	$\displaystyle V_{ADE}+V_{ABF}-V_{ACF}$
	$=$	$\displaystyle \left(134+\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot8^2\cdot6-\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot3^2\cdot6\right)\;\text{cm}^3$
	$=$	$\displaystyle (134+402{,}12-56{,}55)\;\text{cm}^3$
	$≈$	$\displaystyle 479{,}57\;\text{cm}^3$

Nachtermin Teil A

Teilaufgabe a

asin⁡(α)=bsin⁡(β)\frac{a}{\sin\left(\alpha\right)}=\frac{b}{\sin\left(\beta\right)}sin(α)a​=sin(β)b​

AM‾sin⁡(36°)=AP1‾sin⁡(110°)\frac{\overline{AM}}{\sin\left(36°\right)}=\frac{\overline{AP_1}}{\sin\left(110°\right)}sin(36°)AM​=sin(110°)AP1​​​

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Teilaufgabe b

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Teilaufgabe a

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Teilaufgabe b

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Teilaufgabe c

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Teilaufgabe d

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Teilaufgabe a

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Teilaufgabe b

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$\frac{a}{\sin\left(\alpha\right)}=\frac{b}{\sin\left(\beta\right)}$

$\frac{\overline{AM}}{\sin\left(36°\right)}=\frac{\overline{AP_1}}{\sin\left(110°\right)}$