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Die Parabel pp mit dem Scheitelpunkt S(23)S (2|-3) hat eine Gleichung der Formy=0,4x2+bx+c{y}=0{,}4{x}^2+{b}{x}+{c} mit (G=R×Rundb,cR)(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}\,\textrm{und}\,b,c\in\mathbb{R}). Die Gerade g g hat die Gleichung y=0,3x+4{y}=-0{,}3{x}+4 (G=R×R).(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}).

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Bild
  1. Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Parabel pp die Gleichung

    y=0,4x21,6x1,4\textrm{y}=0{,}4\textrm{x}²-1{,}6\textrm{x}-1{,}4 hat und zeichnen Sie die Gerade gg für x[3;7]\textrm{x}\in[-3;7] in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein.

  2. Punkte An(x0,4x21,6x1,4)A_n(\textrm{x}|0{,}4\textrm{x}²-1{,}6\textrm{x}-1{,}4) auf der Parabel pp und Punkte Cn(x0,3x+4)C_n(\textrm{x}|-0{,}3\textrm{x}+4) auf der Geraden gg haben dieselbe Abszisse x\textrm{x} und sind für x]2,39;5,64[\textrm{x}\in]-2{,}39;5{,}64[ Eckpunkte von Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n. Dabei gilt: BnDn=4  LE\overline{B_nD_n}=4\;\textrm{LE}.

    Zeichnen Sie die Raute A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 für x=2 \textrm{x}=2 in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein.

  3. Berechnen Sie den Flächeninhalt AA der Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n in Abhängigkeit von x\textrm{x} und begründen Sie sodann, weshalb es unter den Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n keine Raute mit einem Flächeninhalt von 15FE15 \,\text{FE} geben kann.

    [Zwischenergebnis:AnCn(x)=(0,4x2+1,3x+5,4)  LE][\textrm{Zwischenergebnis}: \overline{A_nC_n}\textrm(\textrm{x})=(-0{,}4\textrm{x}²+1{,}3\textrm{x}+5{,}4)\;\textrm{LE}]

  4. Unter den Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n gibt es die Quadrate A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2 und A3B3C3D3A_3B_3C_3D_3.

    Bestimmen Sie rechnerisch die x\textrm{x}-Koordinaten der Punkte B2B_2 und B3B_3.