Teil B - lernen mit Serlo!

Nebenstehende Skizze zeigt das Fünfeck $A B C D E$ , das aus dem Drachenviereck $A B C D$ mit der Symmetrieachse $A C$ und dem Dreieck $A D E$ besteht. Es gilt: $\overline{AB}=\overline{AD}=11\;\textrm{cm};\measuredangle{BAD}=45°;\measuredangle{CBA}=\measuredangle{ADC}=\measuredangle{BAE}=90°;[AB]||[ED]$ . Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie das Fünfeck $A B C D E$ sowie die Strecken $[A D]$ und $[A C]$ .
Teilaufgabe a
Zeichnung des Fünfecks ABCDE
$[AB] = 11\;\textrm{cm}$
$\measuredangle\mathrm{ABC}\;$ $= 45 °$
$[AD]=11\;\textrm{cm}$
45°-Winkel
Da [AB] parallel zu $[E D]$ ist, kann man eine Parallele $i$ , durch den Punkt $D$ konstruieren. Die Gerade $j$ steht senkrecht auf $[A B]$ .
Punkt $E$ ist der Schnittpunkt der Geraden $i$ und $j$ .
$\measuredangle\mathrm{ADC}\;$ = 90°
Winkelhalbierende $[A C [$ halbiert den Winkel $\measuredangle\mathrm{BAD}\;$
Punkt $C$ ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden und der Halbgeraden $[D C [$ .
Strecke $[C B]$
Da $[A B]$ parallel zu $[E D]$ ist, kann man eine Parallele $i$ , durch den Punkt $D$ konstruieren. Die Gerade $j$ steht senkrecht auf $[A B]$ .
Punkt $E$ ist der Schnittpunkt der Geraden $i$ und $j$ .
$\measuredangle\mathrm{ADC}\;$ = 90°
Winkelhalbierende $[A C [$ halbiert den Winkel $\measuredangle\mathrm{BAD}\;$
Punkt $C$ ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden und der Halbgeraden $[D C [$ .
Strecke $[C B]$
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Begründen Sie, weshalb $\measuredangle{EDC}=135°$ und $\overline{AE}=\overline{ED}$ .

Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke $[E D]$ .

$[$ Teilergebnis: $\overline{ED}=7{,}78\;\textrm{cm}$ $]$

Berechnen Sie die Länge der Strecke $[B C]$ und den prozentualen Anteil des Flächeninhalts des Drachenvierecks $A B C D$ am Flächeninhalt des Fünfecks $A B C D E$ .

$[$ Teilergebnis: $\overline{BC}=4{,}56\;\textrm{cm}$ $]$

Teilaufgabe c

Länge von $[B C]$ :

$\measuredangle BAC=45°:2=22{,}5°$

( $[A C]$ ist die Symmetrieachse des Drachenvierecks $A B C D$ )

$\displaystyle \tan(22{,}5°)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
$\displaystyle \tan(22{,}5°)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\overline{BC}}{\text{11 cm}}$	$\displaystyle \cdot11cm$
$\displaystyle \tan(22{,}5°)\cdot11\;\textrm{cm}$	$=$	$\displaystyle \overline{BC}$
$\displaystyle \overline{BC}$	$\approx ≈$	$\displaystyle 4{,}56\;\textrm{cm}$

Flächeninhalt des Drachenvierecks $A B C D$ :

Das Viereck $A B C D$ besteht aus zwei flächengleichen rechtwinkligen Dreiecken $A B C$ .

$\displaystyle A_D$	$=$	$\displaystyle \frac{\text{1}}{\text{2}}\cdot\overline{BC}\cdot\overline{AB}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\text{1}}{\text{2}}\cdot4{,}56\;\textrm{cm}\cdot11\;\textrm{cm}$
	$=$	$\displaystyle 25{,}08\;\textrm{cm}^3$

$\displaystyle A_F$	$=$	$\displaystyle A_D\cdot2$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 50{,}16\;\textrm{cm}^3$

Fläche des Fünfecks $A B C D E$ :

Die Fläche des Fünfecks $A B C D E$ , besteht aus dem Viereck $A B C D$ und dem rechtwinkligen Dreieck $A D E$ .

$\displaystyle A_D$	$=$	$\displaystyle \frac{\text{1}}{\text{2}}\cdot\overline{BC}\cdot\overline{AB}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\text{1}}{\text{2}}\cdot\overline{AE}\cdot\overline{ED}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\text{1}}{\text{2}}\cdot7{,}78\;\textrm{cm}\cdot7{,}78\;\textrm{cm}$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 30{,}26\;\textrm{cm}^2$

$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle A_D+A_F$
	$=$	$\displaystyle 50{,}16\;\textrm{cm}^2+30{,}26\;\textrm{cm}^2$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 80{,}42\;\textrm{cm}^2$

Prozentualer Flächenanteil des Drachenvierecks $A B C D$ am Fünfeck $A B C D E$ :

$\dfrac{50{,}16\;\textrm{cm}^2}{80{,}42\;\textrm{cm}^2}\cdot100\%\approx62{,}37\;\%$

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Auf der Strecke $[A E]$ liegen Punkte $S_{n}$ , für die gilt: $\overline{ES_n}(\textrm{x})=\textrm{x}\,\textrm{cm}$ mit $\textrm{x}\in\mathbb{R}),\textrm{x}\in]0;7{,}78[$ . Punkte $R_{n}$ liegen auf dem Kreisbogen $\overset\frown{AD}$ mit dem Mittelpunkt $E$ .
Ferner gilt: $[S_{n} R_{n}] ∣ ∣ [E D]$ .
Zeichnen Sie den Kreisbogen $\overset\frown{AD}$ und die Strecke $[S_{1} R_{1}]$ für $\textrm{x}=2$ in die Zeichnung zu Teilaufgabe a) ein.
Teilaufgabe d
Kreisbogen und die Strecke [ $S_{1} R_{1}$ ]:
$[ES_1]=2\;\textrm{cm}$
Kreisbogen $b$ von Punkt $A$ bis Punkt $D$ mit Mittelpunkt $E$ und $r=\left[ED\right]$ .
$[$ $S_{1} R_{1}$ $[$ ist parallel zu $[E D]$
$R_{1}$ ist der Schnittpunkt von $b$ und der Halbgeraden $[$ $S_{1} R_{1}$ $[$
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Der Punkt $R_{2}$ ist der Schnittpunkt des Kreisbogens $\overset\frown{AD}$ mit der Symmetrieachse $A C$ des Drachenvierecks $A B C D$ .

Ergänzen Sie die Zeichnung zu Teilaufgabe a) um das Dreieck $S_{2} R_{2} E$ und berechnen Sie die Länge der Strecke $[S_{2} R_{2}]$ .

$[$ Zwischenergebnis: $\measuredangle R_2AE=\measuredangle ER_2A=67{,}5°]$

Das Dreieck $S_{2} R_{2} E$ :

Länge der Strecke $\left[S_2R_2\right]$ :

Da $\left[AB\right]\parallel\left[ED\right]\parallel\left[S_2R_2\right]$ und $\measuredangle BAE=90°$ , ist auch der Winkel $\measuredangle R_2S_2E=90°.$ Das heißt, das Dreieck ist rechtwinklig.

Der Winkel $\measuredangle S_2ER_2$ :

Das Dreieck $A R_{2} E$ ist gleichschenklig, da $[A E] = [R_{2} E]$ . Somit sind auch die Winkel $\measuredangle R_2AE=\measuredangle ER_2A$ .

$\displaystyle \measuredangle R_2AE$	$=$	$\displaystyle \measuredangle BAE-\measuredangle BAC$
	$=$	$\displaystyle 90°-22{,}5°$
	$=$	$\displaystyle 67{,}5°$
	$=$	$\displaystyle \measuredangle ER_2A$

Innenwinkelsumme im Dreieck $A R_{2} E$ :

$\displaystyle \measuredangle AER_2$	$=$	$\displaystyle 180°-\measuredangle R_2AE-\measuredangle ER_2A$
	$=$	$\displaystyle 180°-67{,}5°-67{,}5°$
	$=$	$\displaystyle 45°$

$\displaystyle \sin(45°)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
	↓	einsetzen
$\displaystyle \sin(45°)$	$\approx ≈$	$\displaystyle \dfrac{\overline{R_2S_2}}{\overline{EA}}$
$\displaystyle \sin(45°)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\overline{R_2S_2}}{7{,}78\;\textrm{cm}}$	$\displaystyle \cdot7{,}78\;\textrm{cm}$
$\displaystyle \overline{R_2S_2}$	$=$	$\displaystyle \sin(45°)\cdot7{,}78\;\textrm{cm}$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 5{,}50\;\textrm{cm}$

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Die Bogenlänge $b$ des Kreisbogens $\overset\frown{R_3D}$ mit dem Mittelpunkt $E$ beträgt $3\,\textrm{cm}$ . Berechnen Sie das Maß des Winkels $R_{3} E D$ und den zugehörigen Wert für $\textrm{x}$ .

$\displaystyle \sin(45°)$	$=$	$\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\displaystyle \sin(45°)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\overline{ED}}{\text{11 cm}}$	$\displaystyle \cdot 11\;\textrm{cm}$
$\displaystyle \sin(45°)\cdot11\;\textrm{cm}$	$=$	$\displaystyle \overline{ED}$
$\displaystyle \overline{ED}$	$\approx ≈$	$\displaystyle 7{,}78cm$

Bekannte Werte einsetzen:
	↓
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle 2\cdot7{,}78\cdot\pi\cdot\dfrac{\alpha}{360^{\circ}}$	$\displaystyle 360^\circ$
$\displaystyle 1080^\circ$	$=$	$\displaystyle 15{,}56\cdot\pi\cdot\alpha$	$\displaystyle :\ \left(15{,}56\cdot\pi\right)$
$\displaystyle \alpha$	$\approx ≈$	$\displaystyle 22{,}09^\circ$

$\displaystyle \measuredangle S_3ER_3$	$=$	$\displaystyle 90°-\alpha$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 90°−22{,}09°$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 67{,}91°$

$\displaystyle \cos\left(67{,}91°\right)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\displaystyle \cos\left(67{,}91°\right)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\text{x}}{7{,}78}$	$\displaystyle \cdot7{,}78$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \cos\left(67{,}91°\right)\cdot7{,}78$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2{,}93$

Teilaufgabe a

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Teilaufgabe b

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Teilaufgabe c

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Teilaufgabe d

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Teilaufgabe f

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