Teil B

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Die Parabel $p$ mit dem Scheitelpunkt $S (5 | - 4,5)$ hat eine Gleichung der Form $y = 0,1 x^{2} + b x + c$ $(𝔾 = ℝ \times ℝ; b, c \in ℝ)$ . Die Gerade $g$ hat die Gleichung $y = - 0,5 x + 1 (𝔾 = ℝ \times ℝ)$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Gleichung der Parabel $p$ gilt:
$y = 0,1 x^{2} - x - 2$ .
Zeichnen Sie sodann die Parabel $p$ und die Gerade $g$ für $x \in [- 4; 9]$ in ein Koordinatensystem ein.
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 cm; - 4 ≦ x ≦ 9; - 6 ≦ y ≦ 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion, quadratische Funktionen, Vektoren,
Teilaufgabe a
Stelle mithilfe des Scheitelpunktes $S (5 | - 4,5)$ die Scheitelpunktform auf.
Normalform der Gleichung: $y = a x^{2} + b x + c$ . In diesem Fall: $a = 0,1$
Scheitelpunktform allgemein: $y = a (x - d) + e$
In diesem Fall: $d = 5$ und $e = - 4,5$
Daraus ergibt sich folgende Scheitelpunktform:
$y$ $=$ $0,1 {(x - 5)}^{2} - 4,5$
↓
Binomische Formel.
$=$ $0,1 (x^{2} - 10 x + 25) - 4,5$
↓
Klammer auflösen.
$=$ $0,1 x^{2} - x + 2,5 - 4,5$
↓
Zusammenfassen.
$=$ $0,1 x^{2} - x - 2$
Stelle für das Zeichnen der Parabel eine Wertetabelle auf.
x
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
y
3,6
0,4
-2
-3,6
-4,4
-4,4
-3,6
-2
0,4
Trage die Wertepaare (Punkte) in das Koordinatensystem und verbinde sie.
Parabel im Koordinatensystem
Für das Einzeichnen der Gerade $y = - 0,5 x + 1$ benötigst du ein Steigungsdreieck.
allgemeine Form: $y = m \cdot x + b$
Der y-Achsenabschnitt $b = + 1$ , Schnittpunkt $A (0 | 1)$
Steigung $m = - 0,5 = \frac{- 1}{2}$ (Das bedeutet, wir gehen $2$ nach rechts und $1$ nach unten.)
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Punkte $A_{n} (x | - 0,5 x + 1)$ auf der Geraden $g$ und Punkte
$B_{n} (x | 0,1 x² - x - 2)$ auf der Parabel $p$ haben dieselbe Abszisse $x$ und sind zusammen mit Punkten $C_{n}$ und $D_{n}$ Eckpunkte von Trapezen $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ .
Es gilt: $[A_{n} B_{n}] | | [C_{n} D_{n}]; \vec{A_{n} D_{n}} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}); C_{n} D_{n} = 5 LE$ .
Zeichnen Sie die Trapeze $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 1$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 4$ in das Koordinatensystem zu a) ein.

Teilaufgabe b
Wir zeichnen als Erstes das Trapez $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ . Dafür benötigen wir die Koordinaten der Eckpunkte.
Der Punkt $A_{n} (x | - 0,5 x + 1)$ für $x = - 1$ :
$y (- 1)$ $=$ $- 0,5 \cdot (- 1) + 1$
$=$ $0,5 + 1$
$=$ $1,5$
$A_{1} (- 1 | 1,5)$
Bei $B_{n} (x | 0,1 x^{2} - x - 2)$ für $x = - 1$ :
$y (- 1)$ $=$ $0,1 \cdot {(- 1)}^{2} - (- 1) - 2$
$=$ $0,1 \cdot 1 + 1 - 2$
$=$ $0,1 + 1 - 2$
$=$ $- 0,9$
$B_{1} (- 1 | - 0,9)$
Wir zeichnen nun die Punkte $A_{1} (- 1 | 1,5)$ und $B_{1} (- 1 | - 0,9)$ in das Koordinatensystem ein.
Den Punkt $D_{1}$ finden wir mithilfe des Vektors $\vec{A_{n} D_{n}} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array})$ .
Parabel schneidet Gerade
Da wir wissen, dass die Strecke $[C D] 5 LE$ hat und parallel zu $[A B]$ ist, können wir diese nun mithilfe eines Geodreiecks einzeichnen.
Parabel schneidet Gerade
Das gleiche Vorgehen ist für das zweite Trapez $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ mit $x = 4$ notwendig.
Der Punkt $A_{n} (x | - 0,5 x + 1)$ für $x = 4$ : $A_{2} (4 | - 1)$
Der Punkt $B_{n} (x | 0,1 x^{2} - x - 2)$ für $x = 4$ :
$y (4)$ $=$ $0,1 \cdot {(4)}^{2} - 4 - 2$
$=$ $0,1 \cdot 16 - 4 - 2$
$=$ $1,6 - 4 - 2$
$=$ $- 4,4$
$B_{2} (4 | - 4,4)$
Zeichne die Punkte $A$ und $B$ ein. Finde mithilfe des Vektors Punkt $D$ . Zeichne erneut eine parallele Seite zu $[A B]$ mit Anfangspunkt $D$ mit der Länge von $5 LE$ .
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Ermitteln Sie rechnerisch, für welche Belegungen von $x$ es Trapeze $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ gibt.

Teilaufgabe c
Wir suchen die Schnittpunkte der Geraden $y = - 0,5 x + 1$ und der Parabel $y = 0,1 x^{2} - x - 2$ . Da es nur Trapeze geben kann, wenn $A$ und $B$ jeweils zwischen den Schnittpunkten liegen.
Du kannst die Schnittpunkte finden, indem du die Gleichungen gleichsetzt:
$- 0,5 x + 1$ $=$ $0,1 x^{2} - x - 2$ $+ 0,5 x - 1$
$0$ $=$ $0,1 x^{2} - 0,5 x - 3$
Die folgende Gleichung kann man nun mithilfe der abc-Formel (Mitternachtsformel) lösen.
abc-Formel: $a = 0,1$ $b = - 0,5$ $c = - 3$
$x_{1,2}$ $=$ $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
$=$ $\frac{- (- 0,5) \pm \sqrt{(- 0,5)^{2} - 4 \cdot 0,1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 0,1}$
$=$ $\frac{0,5 \pm \sqrt{1,45}}{0,2}$
$x_{1}$ $=$ $8,52$
$x_{2}$ $=$ $- 3,52$
Für $x \in] - 3,52; 8,52 [$ gibt es beliebig viele Trapeze $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n} .$
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x	-4	-2	0	2	4	6	8	10	12
y	3,6	0,4	-2	-3,6	-4,4	-4,4	-3,6	-2	0,4

Berechnen Sie den Flächeninhalt $A$ der Trapeze $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von $x$ . Bestimmen Sie sodann den maximalen Flächeninhalt $A_{m a x}$ der Trapeze $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ und geben Sie den zugehörigen Wert für $x$ an.

$[Zwischenergebnis: A_{n} B_{n} (x) = (- 0,1 x^{2} + 0,5 x + 3) LE]$

Der Punkt $D_{3}$ des Trapezes $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ liegt auf der y-Achse.
Ermitteln Sie durch Rechnung die Koordinaten des Punktes $B_{3}$ .

Teilaufgabe e
Wenn $D_{3}$ auf der y-Achse liegt, hat die x-Koordinate von $D_{3}$ den Wert $0$ .
Aufgrund des Gegenvektors hat $A_{3}$ und $B_{3}$ den x-Wert $- 2$ .
Gesucht ist der Punkt $B_{3}$ :
$B_{n} (x | 0,1 x^{2} - x - 2) mit x = - 2$
$y (- 2)$ $=$ $0,1 \cdot {(- 2)}^{2} - (- 2) - 2$
↓
Ausmultiplizieren.
$=$ $0,4 - (- 2) - 2$
↓
Klammer auflösen.
$=$ $0,4 + 2 - 2$
$=$ $0,4$
Der Punkt $B_{3}$ hat die y-Koordinate $0,4$ und $B_{3} (- 2 | 0,4)$ .
Trapez im Koordinatensystem
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Die kongruenten Trapeze $A_{4} B_{4} C_{4} D_{4}$ und $A_{5} B_{5} C_{5} D_{5}$ sind gleichschenklig. Zeigen Sie, dass die Strecken $[A_{4} B_{4}]$ und $[A_{5} B_{5}]$ jeweils $3 LE$ lang sind. Berechnen Sie sodann das Maß $γ$ der Winkel $D_{4} C_{4} B_{4}$ bzw. $D_{5} C_{5} B_{5}$ .

Teilaufgabe f
Gegeben: $C_{n} D_{n} = 5 LE$ und $\vec{A_{n} D_{n}} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array})$
$A_{4} B_{4}$ $=$ $(C_{n} D_{n} - D_{n} F_{n} - E_{n} C_{n}) LE$
$=$ $5 LE - 1 LE - 1 LE$
$=$ $3 LE$
$=$ $A_{5} B_{5}$
$A_{4} B_{4} = A_{5} B_{5} = 3 LE$
Maß der Winkel $D_{4} C_{4} B_{4}$ bzw. $D_{5} C_{5} B_{5}$ :
Der Winkel $γ$ liegt in dem rechtwinkligen Dreieck $E B C$ mit $E C = 1 LE$ und $B E = 2 LE$ .
Tangens: $\tan (γ) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} = \frac{B E}{E C} = \frac{2}{1} = 2$
$γ = \tan^{- 1} (2) = 63,43 °$
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2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Nebenstehende Skizze zeigt das Fünfeck $A B C D E$ , das aus dem Drachenviereck $A B C D$ mit der Symmetrieachse $A C$ und dem Dreieck $A D E$ besteht. Es gilt: $A B = A D = 11 cm; ∡ B A D = 45 °; ∡ C B A = ∡ A D C = ∡ B A E = 90 °; [A B] | | [E D]$ . Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Zeichnen Sie das Fünfeck $A B C D E$ sowie die Strecken $[A D]$ und $[A C]$ .
  
  Teilaufgabe a
  Zeichnung des Fünfecks ABCDE
  $[A B] = 11 cm$
  $∡ ABC$ $= 45 °$
  $[A D] = 11 cm$
  45°-Winkel
  Da [AB] parallel zu $[E D]$ ist, kann man eine Parallele $i$ , durch den Punkt $D$ konstruieren. Die Gerade $j$ steht senkrecht auf $[A B]$ .
  Punkt $E$ ist der Schnittpunkt der Geraden $i$ und $j$ .
  $∡ ADC$ = 90°
  Winkelhalbierende $[A C [$ halbiert den Winkel $∡ BAD$
  Punkt $C$ ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden und der Halbgeraden $[D C [$ .
  Strecke $[C B]$
  Da $[A B]$ parallel zu $[E D]$ ist, kann man eine Parallele $i$ , durch den Punkt $D$ konstruieren. Die Gerade $j$ steht senkrecht auf $[A B]$ .
  Punkt $E$ ist der Schnittpunkt der Geraden $i$ und $j$ .
  $∡ ADC$ = 90°
  Winkelhalbierende $[A C [$ halbiert den Winkel $∡ BAD$
  Punkt $C$ ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden und der Halbgeraden $[D C [$ .
  Strecke $[C B]$
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2. Begründen Sie, weshalb $∡ E D C = 135 °$ und $A E = E D$ .
  Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke $[E D]$ .
  $[$ Teilergebnis: $E D = 7,78 cm$ $]$
  
  Teilaufgabe b
  $∡ E D C = 135 °$ und $[A E] = [E D]$ :
  Da $∡ B A E$ = 90° und $[A B]$ parallel zu $[E D]$ ist, ist auch $∡ A E D = 90 °$ .
  Da $∡ B A E = 90 °$ und $∡ B A D = 45 °$ ist, ist $∡ D A E = 45$ °.
  Innenwinkelsumme im Dreieck $A D E$ : $∡ E D A = 180 ° - 90 ° - 45 ° = 45 °$
  $∡ E D C = ∡ A D C + ∡ E D A = 90 ° + 45 ° = 135 °$
  $∡ D A E = ∡ E D A = 45 °$
  Das rechtwinklige Dreieck $A D E$ hat zwei gleich große Winkel, es ist damit gleichschenklig mit $E D = A E$ .
  Länge von $[A E]$ und $[E D]$ :
  $\sin (45 °)$ $=$ $\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$
  $\sin (45 °)$ $=$ $\frac{E D}{11 cm}$ $\cdot 11 cm$
  $\sin (45 °) \cdot 11 cm$ $=$ $E D$
  $E D$ $\approx$ $7,78 c m$
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3. Berechnen Sie die Länge der Strecke $[B C]$ und den prozentualen Anteil des Flächeninhalts des Drachenvierecks $A B C D$ am Flächeninhalt des Fünfecks $A B C D E$ .
  $[$ Teilergebnis: $B C = 4,56 cm$ $]$
  
  Teilaufgabe c
  Länge von $[B C]$ :
  $∡ B A C = 45 ° : 2 = 22,5 °$
  ( $[A C]$ ist die Symmetrieachse des Drachenvierecks $A B C D$ )
  $\tan (22,5 °)$ $=$ $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$
  $\tan (22,5 °)$ $=$ $\frac{B C}{11 cm}$ $\cdot 11 c m$
  $\tan (22,5 °) \cdot 11 cm$ $=$ $B C$
  $B C$ $\approx$ $4,56 cm$
  Flächeninhalt des Drachenvierecks $A B C D$ :
  Das Viereck $A B C D$ besteht aus zwei flächengleichen rechtwinkligen Dreiecken $A B C$ .
  $A_{D}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot B C \cdot A B$
  $=$ $\frac{1}{2} \cdot 4,56 cm \cdot 11 cm$
  $=$ $25,08 {cm}^{3}$
  $A_{F}$ $=$ $A_{D} \cdot 2$
  $\approx$ $50,16 {cm}^{3}$
  Fläche des Fünfecks $A B C D E$ :
  Die Fläche des Fünfecks $A B C D E$ , besteht aus dem Viereck $A B C D$ und dem rechtwinkligen Dreieck $A D E$ .
  $A_{D}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot B C \cdot A B$
  $=$ $\frac{1}{2} \cdot A E \cdot E D$
  $=$ $\frac{1}{2} \cdot 7,78 cm \cdot 7,78 cm$
  $\approx$ $30,26 {cm}^{2}$
  $A$ $=$ $A_{D} + A_{F}$
  $=$ $50,16 {cm}^{2} + 30,26 {cm}^{2}$
  $\approx$ $80,42 {cm}^{2}$
  Prozentualer Flächenanteil des Drachenvierecks $A B C D$ am Fünfeck $A B C D E$ :
  $\frac{50,16 {cm}^{2}}{80,42 {cm}^{2}} \cdot 100 % \approx 62,37 %$
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4. Auf der Strecke $[A E]$ liegen Punkte $S_{n}$ , für die gilt: $E S_{n} (x) = x cm$ mit $x \in ℝ), x \in] 0; 7,78 [$ . Punkte $R_{n}$ liegen auf dem Kreisbogen $\overset{⌢}{A}$ mit dem Mittelpunkt $E$ .
  Ferner gilt: $[S_{n} R_{n}] | | [E D]$ .
  Zeichnen Sie den Kreisbogen $\overset{⌢}{A}$ und die Strecke $[S_{1} R_{1}]$ für $x = 2$ in die Zeichnung zu Teilaufgabe a) ein.
  
  Teilaufgabe d
  Kreisbogen und die Strecke [ $S_{1} R_{1}$ ]:
  $[E S_{1}] = 2 cm$
  Kreisbogen $b$ von Punkt $A$ bis Punkt $D$ mit Mittelpunkt $E$ und $r = [E D]$ .
  $[$ $S_{1} R_{1}$ $[$ ist parallel zu $[E D]$
  $R_{1}$ ist der Schnittpunkt von $b$ und der Halbgeraden $[$ $S_{1} R_{1}$ $[$
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5. Der Punkt $R_{2}$ ist der Schnittpunkt des Kreisbogens $\overset{⌢}{A}$ mit der Symmetrieachse $A C$ des Drachenvierecks $A B C D$ .
  Ergänzen Sie die Zeichnung zu Teilaufgabe a) um das Dreieck $S_{2} R_{2} E$ und berechnen Sie die Länge der Strecke $[S_{2} R_{2}]$ .
  $[$ Zwischenergebnis: $∡ R_{2} A E = ∡ E R_{2} A = 67,5 °]$
  
  Das Dreieck $S_{2} R_{2} E$ :
  Länge der Strecke $[S_{2} R_{2}]$ :
  Da $[A B] ∥ [E D] ∥ [S_{2} R_{2}]$ und $∡ B A E = 90 °$ , ist auch der Winkel $∡ R_{2} S_{2} E = 90 ° .$ Das heißt, das Dreieck ist rechtwinklig.
  Der Winkel $∡ S_{2} E R_{2}$ :
  Das Dreieck $A R_{2} E$ ist gleichschenklig, da $[A E] = [R_{2} E]$ . Somit sind auch die Winkel $∡ R_{2} A E = ∡ E R_{2} A$ .
  $∡ R_{2} A E$ $=$ $∡ B A E - ∡ B A C$
  $=$ $90 ° - 22,5 °$
  $=$ $67,5 °$
  $=$ $∡ E R_{2} A$
  Innenwinkelsumme im Dreieck $A R_{2} E$ :
  $∡ A E R_{2}$ $=$ $180 ° - ∡ R_{2} A E - ∡ E R_{2} A$
  $=$ $180 ° - 67,5 ° - 67,5 °$
  $=$ $45 °$
  $\sin (45 °)$ $=$ $\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$
  ↓
  einsetzen
  $\sin (45 °)$ $\approx$ $\frac{R_{2} S_{2}}{E A}$
  $\sin (45 °)$ $=$ $\frac{R_{2} S_{2}}{7,78 cm}$ $\cdot 7,78 cm$
  $R_{2} S_{2}$ $=$ $\sin (45 °) \cdot 7,78 cm$
  $\approx$ $5,50 cm$
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6. Die Bogenlänge $b$ des Kreisbogens $\overset{⌢}{R_{3}}$ mit dem Mittelpunkt $E$ beträgt $3 cm$ . Berechnen Sie das Maß des Winkels $R_{3} E D$ und den zugehörigen Wert für $x$ .
  
  Teilaufgabe f
  $∡ R_{3} E D$ mit Bogenlänge $b = 3 cm$ , Mittelpunkt $E$ :
  Bogenlänge allgemein: $b = U \cdot \frac{α}{360^{\circ}} = 2 \cdot r \cdot π \cdot \frac{α}{360^{\circ}}$
  Bekannte Werte einsetzen:
  ↓
  $3$ $=$ $2 \cdot 7,78 \cdot π \cdot \frac{α}{360^{\circ}}$ $360^{\circ}$
  $1080^{\circ}$ $=$ $15,56 \cdot π \cdot α$ $: (15,56 \cdot π)$
  $α$ $\approx$ ${22,09}^{\circ}$
  Der zugehörige Wert $x = [E S_{3}]$ :
  $∡ S_{3} E R_{3} = 90 ° - α$
  $∡ S_{3} E R_{3}$ $=$ $90 ° - α$
  $\approx$ $90 ° - 22,09 °$
  $\approx$ $67,91 °$
  $\cos (67,91 °)$ $=$ $\frac{Ankathete}{Hypotenuse}$
  $\cos (67,91 °)$ $=$ $\frac{x}{7,78}$ $\cdot 7,78$
  $x$ $=$ $\cos (67,91 °) \cdot 7,78$
  $x$ $=$ $2,93$
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$A_{n} B_{n}$	$=$	$(- 0,5 x + 1 - (0,1 x^{2} - x - 2)) LE$
	$=$	$(- 0,5 x + 1 - 0,1 x^{2} + x + 2) LE$
	$=$	$(- 0,1 x^{2} + 0,5 x + 3) LE$

$A_{T r a p e z}$	$=$	$\frac{(a + c)}{2} \cdot h$
	$=$	$(\frac{((- 0,1 x^{2} + 0,5 x + 3) + 5)}{2} \cdot 2) FE$
	$=$	$(- 0,1 x^{2} + 0,5 x + 3 + 5) FE$
	$=$	$(- 0,1 x^{2} + 0,5 x + 8) FE$

$y$	$=$	$0,1 {(x - 5)}^{2} - 4,5$
	↓	Binomische Formel.
	$=$	$0,1 (x^{2} - 10 x + 25) - 4,5$
	↓	Klammer auflösen.
	$=$	$0,1 x^{2} - x + 2,5 - 4,5$
	↓	Zusammenfassen.
	$=$	$0,1 x^{2} - x - 2$

$y (- 1)$	$=$	$0,1 \cdot {(- 1)}^{2} - (- 1) - 2$
	$=$	$0,1 \cdot 1 + 1 - 2$
	$=$	$0,1 + 1 - 2$
	$=$	$- 0,9$

$y (4)$	$=$	$0,1 \cdot {(4)}^{2} - 4 - 2$
	$=$	$0,1 \cdot 16 - 4 - 2$
	$=$	$1,6 - 4 - 2$
	$=$	$- 4,4$

$- 0,5 x + 1$	$=$	$0,1 x^{2} - x - 2$	$+ 0,5 x - 1$
$0$	$=$	$0,1 x^{2} - 0,5 x - 3$

$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
	$=$	$\frac{- (- 0,5) \pm \sqrt{(- 0,5)^{2} - 4 \cdot 0,1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 0,1}$
	$=$	$\frac{0,5 \pm \sqrt{1,45}}{0,2}$
$x_{1}$	$=$	$8,52$
$x_{2}$	$=$	$- 3,52$

$y$	$=$	$- 0,1 x^{2} + 0,5 + 8$
	↓	Ausklammern.
	$=$	$- 0,1 (x^{2} - 5 - 80)$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$- 0,1 (x^{2} - 5 + {2,5}^{2} - {2,5}^{2} - 80)$
	↓	Binomische Formel.
	$=$	$- 0,1 [{(x - 2,5)}^{2} - {2,5}^{2} - 80]$
	$=$	$- 0,1 [(x - 2,5)^{2} - 86,25]$
	↓	Klammer auflösen.
	$=$	$- 0,1 {(x - 2,5)}^{2} + 8,63$

$y (- 2)$	$=$	$0,1 \cdot {(- 2)}^{2} - (- 2) - 2$
	↓	Ausmultiplizieren.
	$=$	$0,4 - (- 2) - 2$
	↓	Klammer auflösen.
	$=$	$0,4 + 2 - 2$
	$=$	$0,4$

$A_{4} B_{4}$	$=$	$(C_{n} D_{n} - D_{n} F_{n} - E_{n} C_{n}) LE$
	$=$	$5 LE - 1 LE - 1 LE$
	$=$	$3 LE$
	$=$	$A_{5} B_{5}$

$\sin (45 °)$	$=$	$\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$
$\sin (45 °)$	$=$	$\frac{E D}{11 cm}$	$\cdot 11 cm$
$\sin (45 °) \cdot 11 cm$	$=$	$E D$
$E D$	$\approx$	$7,78 c m$

$\tan (22,5 °)$	$=$	$\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$
$\tan (22,5 °)$	$=$	$\frac{B C}{11 cm}$	$\cdot 11 c m$
$\tan (22,5 °) \cdot 11 cm$	$=$	$B C$
$B C$	$\approx$	$4,56 cm$

$A_{F}$	$=$	$A_{D} \cdot 2$
	$\approx$	$50,16 {cm}^{3}$

$A$	$=$	$A_{D} + A_{F}$
	$=$	$50,16 {cm}^{2} + 30,26 {cm}^{2}$
	$\approx$	$80,42 {cm}^{2}$

$∡ R_{2} A E$	$=$	$∡ B A E - ∡ B A C$
	$=$	$90 ° - 22,5 °$
	$=$	$67,5 °$
	$=$	$∡ E R_{2} A$

$∡ A E R_{2}$	$=$	$180 ° - ∡ R_{2} A E - ∡ E R_{2} A$
	$=$	$180 ° - 67,5 ° - 67,5 °$
	$=$	$45 °$

$A_{D}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot B C \cdot A B$
	$=$	$\frac{1}{2} \cdot 4,56 cm \cdot 11 cm$
	$=$	$25,08 {cm}^{3}$

$A_{D}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot B C \cdot A B$
	$=$	$\frac{1}{2} \cdot A E \cdot E D$
	$=$	$\frac{1}{2} \cdot 7,78 cm \cdot 7,78 cm$
	$\approx$	$30,26 {cm}^{2}$

$\sin (45 °)$	$=$	$\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$
	↓	einsetzen
$\sin (45 °)$	$\approx$	$\frac{R_{2} S_{2}}{E A}$
$\sin (45 °)$	$=$	$\frac{R_{2} S_{2}}{7,78 cm}$	$\cdot 7,78 cm$
$R_{2} S_{2}$	$=$	$\sin (45 °) \cdot 7,78 cm$
	$\approx$	$5,50 cm$

Bekannte Werte einsetzen:
	↓
$3$	$=$	$2 \cdot 7,78 \cdot π \cdot \frac{α}{360^{\circ}}$	$360^{\circ}$
$1080^{\circ}$	$=$	$15,56 \cdot π \cdot α$	$: (15,56 \cdot π)$
$α$	$\approx$	${22,09}^{\circ}$

$∡ S_{3} E R_{3}$	$=$	$90 ° - α$
	$\approx$	$90 ° - 22,09 °$
	$\approx$	$67,91 °$

$\cos (67,91 °)$	$=$	$\frac{Ankathete}{Hypotenuse}$
$\cos (67,91 °)$	$=$	$\frac{x}{7,78}$	$\cdot 7,78$
$x$	$=$	$\cos (67,91 °) \cdot 7,78$
$x$	$=$	$2,93$

Teil B

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