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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Die Parabel pp mit dem Scheitelpunkt S(54,5)S(5|-4{,}5) hat eine Gleichung der Formy=0,1x2+bx+c y=0{,}1\textrm{x}²+b\textrm{x}+c (G=R×R;b,cR)(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R};b,c\in\mathbb{R}). Die Gerade gg hat die Gleichung y=0,5x+1(G=R×R)\textrm{y}=-0{,}5\textrm{x}+1(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}).

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Gleichung der Parabel pp gilt:

      y=0,1x2x2\textrm{y}=0{,}1\textrm{x}²-\textrm{x}-2.

      Zeichnen Sie sodann die Parabel p p und die Gerade gg für x[4;9]\textrm{x}\in[-4;9] in ein Koordinatensystem ein.

      Für die Zeichnung: Längeneinheit 1cm;4x9;6y41 \textrm{cm}; -4\leqq x \leqq9;-6\leqq y\leqq4

    2. Punkte An(x0,5x+1)A_n(\textrm{x}|-0{,}5\textrm{x}+1) auf der Geraden gg und Punkte

      Bn(x0,1x2)B_n(\textrm{x}|0{,}1\textrm{x²}-\textrm{x}-2) auf der Parabel pp haben dieselbe Abszisse x\textrm{x} und sind zusammen mit Punkten CnC_n und DnD_n Eckpunkte von Trapezen AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n.

      Es gilt: [AnBn][CnDn];AnDn=(21);CnDn=5  LE[A_nB_n]||[C_nD_n] ;\overrightarrow{A_nD_n} =\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix} ;\overline{C_nD_n}=5\;\textrm{LE}.

      Zeichnen Sie die Trapeze A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 für x=1\textrm{x}=-1 und A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2 für x=4x=4 in das Koordinatensystem zu a) ein.

    3. Ermitteln Sie rechnerisch, für welche Belegungen von xx es Trapeze AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n gibt.

    4. Berechnen Sie den Flächeninhalt AA der Trapeze AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n in Abhängigkeit von x\textrm{x}. Bestimmen Sie sodann den maximalen Flächeninhalt AmaxA_{max} der Trapeze AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n und geben Sie den zugehörigen Wert für xx an.

      [Zwischenergebnis: AnBn(x)=(0,1x2+0,5x+3)  LE][ \text{Zwischenergebnis:} ~ \overline{A_nB_n}(\textrm{x})=(-0{,}1\textrm{x}²+0{,}5\textrm{x}+3)\;\text{LE}]

    5. Der Punkt D3D_3 des Trapezes A3B3C3D3A_3B_3C_3D_3 liegt auf der y-Achse.

      Ermitteln Sie durch Rechnung die Koordinaten des Punktes B3B_3.

    6. Die kongruenten Trapeze A4B4C4D4A_4B_4C_4D_4 und A5B5C5D5A_5B_5C_5D_5 sind gleichschenklig. Zeigen Sie, dass die Strecken [A4B4][A_4B_4] und [A5B5][A_5B_5] jeweils 3  LE3\;\text{LE} lang sind. Berechnen Sie sodann das Maß γ\gamma der Winkel D4C4B4D_4C_4B_4 bzw. D5C5B5D_5C_5B_5.

  2. 2
    Bild

    Nebenstehende Skizze zeigt das Fünfeck ABCDEABCDE, das aus dem Drachenviereck ABCDABCD mit der Symmetrieachse ACAC und dem Dreieck ADEADE besteht. Es gilt: AB=AD=11  cm;BAD=45°;CBA=ADC=BAE=90°;[AB][ED]\overline{AB}=\overline{AD}=11\;\textrm{cm};\measuredangle{BAD}=45°;\measuredangle{CBA}=\measuredangle{ADC}=\measuredangle{BAE}=90°;[AB]||[ED]. Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Zeichnen Sie das Fünfeck ABCDEABCDE sowie die Strecken [AD][AD] und [AC][AC].

    2. Begründen Sie, weshalb EDC=135°\measuredangle{EDC}=135° und AE=ED\overline{AE}=\overline{ED}.

      Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [ED][ED].

      [[Teilergebnis: ED=7,78  cm\overline{ED}=7{,}78\;\textrm{cm}]]

    3. Berechnen Sie die Länge der Strecke [BC][BC] und den prozentualen Anteil des Flächeninhalts des Drachenvierecks ABCDABCD am Flächeninhalt des Fünfecks ABCDEABCDE.

      [[Teilergebnis: BC=4,56  cm\overline{BC}=4{,}56\;\textrm{cm}]]

    4. Auf der Strecke [AE][AE] liegen Punkte SnS_n, für die gilt: ESn(x)=xcm\overline{ES_n}(\textrm{x})=\textrm{x}\,\textrm{cm} mit xR),x]0;7,78[\textrm{x}\in\mathbb{R}),\textrm{x}\in]0;7{,}78[. Punkte RnR_n liegen auf dem Kreisbogen AD\overset\frown{AD} mit dem Mittelpunkt EE.

      Ferner gilt: [SnRn][ED][S_nR_n]||[ED].

      Zeichnen Sie den Kreisbogen AD\overset\frown{AD} und die Strecke [S1R1][S_1R_1] für x=2\textrm{x}=2 in die Zeichnung zu Teilaufgabe a) ein.

    5. Der Punkt R2R_2 ist der Schnittpunkt des Kreisbogens AD\overset\frown{AD} mit der Symmetrieachse ACAC des Drachenvierecks ABCDABCD.

      Ergänzen Sie die Zeichnung zu Teilaufgabe a) um das Dreieck S2R2ES_2R_2E und berechnen Sie die Länge der Strecke [S2R2][S_2R_2].

      [[Zwischenergebnis: R2AE=ER2A=67,5°]\measuredangle R_2AE=\measuredangle ER_2A=67{,}5°]

    6. Die Bogenlänge bb des Kreisbogens R3D\overset\frown{R_3D} mit dem Mittelpunkt EE beträgt 3cm 3\,\textrm{cm}. Berechnen Sie das Maß des Winkels R3EDR_3ED und den zugehörigen Wert für x\textrm{x}.


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