Teil B

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Die Parabel $p$ mit dem Scheitelpunkt $S (5 ∣ - 4,5)$ hat eine Gleichung der Form $y=0{,}1\textrm{x}²+b\textrm{x}+c$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R};b,c\in\mathbb{R})$ . Die Gerade $g$ hat die Gleichung $\textrm{y}=-0{,}5\textrm{x}+1(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Gleichung der Parabel $p$ gilt:

$\textrm{y}=0{,}1\textrm{x}²-\textrm{x}-2$ .

Zeichnen Sie sodann die Parabel $p$ und die Gerade $g$ für $\textrm{x}\in[-4;9]$ in ein Koordinatensystem ein.

Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 \textrm{cm}; -4\leqq x \leqq9;-6\leqq y\leqq4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion, quadratische Funktionen, Vektoren,

Teilaufgabe a

Stelle mithilfe des Scheitelpunktes $S (5 ∣ - 4,5)$ die Scheitelpunktform auf.

Normalform der Gleichung: $y = a x^{2} + b x + c$ . In diesem Fall: $a = 0,1$

Scheitelpunktform allgemein: $y=a\left(x-d\right)+e$

In diesem Fall: $d = 5$ und $e = - 4,5$

Daraus ergibt sich folgende Scheitelpunktform:

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 0{,}1\left(x-5\right)^2-4{,}5$
	↓	Binomische Formel.
	$=$	$\displaystyle 0{,}1\left(x^2-10x+25\right)-4{,}5$
	↓	Klammer auflösen.
	$=$	$\displaystyle 0{,}1x^2-x+2{,}5-4{,}5$
	↓	Zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle 0{,}1x^2-x-2$

Stelle für das Zeichnen der Parabel eine Wertetabelle auf.

x	-4	-2	0	2	4	6	8	10	12
y	3,6	0,4	-2	-3,6	-4,4	-4,4	-3,6	-2	0,4

Trage die Wertepaare (Punkte) in das Koordinatensystem und verbinde sie.

Für das Einzeichnen der Gerade $y = - 0,5 x + 1$ benötigst du ein Steigungsdreieck.

allgemeine Form: $y=m\cdot x+b$

Der y-Achsenabschnitt $b = + 1$ , Schnittpunkt $A (0 ∣ 1)$

Steigung $m=-0{,}5=\dfrac{-1}{2}$ (Das bedeutet, wir gehen $2$ nach rechts und $1$ nach unten.)

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Punkte $A_n(\textrm{x}|-0{,}5\textrm{x}+1)$ auf der Geraden $g$ und Punkte

$B_n(\textrm{x}|0{,}1\textrm{x²}-\textrm{x}-2)$ auf der Parabel $p$ haben dieselbe Abszisse $\textrm{x}$ und sind zusammen mit Punkten $C_{n}$ und $D_{n}$ Eckpunkte von Trapezen $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ .

Es gilt: $[A_nB_n]||[C_nD_n] ;\overrightarrow{A_nD_n} =\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix} ;\overline{C_nD_n}=5\;\textrm{LE}$ .

Zeichnen Sie die Trapeze $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $\textrm{x}=-1$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 4$ in das Koordinatensystem zu a) ein.

Teilaufgabe b

Wir zeichnen als Erstes das Trapez $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ . Dafür benötigen wir die Koordinaten der Eckpunkte.

Der Punkt $A_n(x|-0{,}5x+1)$ für $x = - 1$ :

$\displaystyle y\left(-1\right)$	$=$	$\displaystyle -0{,}5\cdot\left(-1\right)+1$
	$=$	$\displaystyle 0{,}5+1$
	$=$	$\displaystyle 1{,}5$

$A_1(-1|1{,}5)$

Bei $B_n(x|0{,}1x² - x - 2)$ für $x = - 1$ :

$\displaystyle y\left(-1\right)$	$=$	$\displaystyle 0{,}1\cdot\left(-1\right)^2-\left(-1\right)-2$
	$=$	$\displaystyle 0{,}1\cdot1+1-2$
	$=$	$\displaystyle 0{,}1+1-2$
	$=$	$\displaystyle -0{,}9$

$B_1(-1|-0{,}9)$

Wir zeichnen nun die Punkte $A_1(-1|1{,}5)$ und $B_1(-1|-0{,}9)$ in das Koordinatensystem ein.

Den Punkt $D_{1}$ finden wir mithilfe des Vektors ${\overrightarrow{A_nD_n}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$ .

Da wir wissen, dass die Strecke $[CD] \; 5\;\textrm{LE}$ hat und parallel zu $[A B]$ ist, können wir diese nun mithilfe eines Geodreiecks einzeichnen.

Das gleiche Vorgehen ist für das zweite Trapez $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ mit $x = 4$ notwendig.

Der Punkt $A_n(x|-0{,}5x+1)$ für $x = 4$ : $A_{2} (4 ∣ - 1)$

Der Punkt $B_n(x|0{,}1x² - x - 2)$ für $x = 4$ :

$\displaystyle y\left(4\right)$	$=$	$\displaystyle 0{,}1\cdot\left(4\right)^2-4-2$
	$=$	$\displaystyle 0{,}1\cdot16-4-2$
	$=$	$\displaystyle 1{,}6-4-2$
	$=$	$\displaystyle -4{,}4$

$B_2(4|-4{,}4)$

Zeichne die Punkte $A$ und $B$ ein. Finde mithilfe des Vektors Punkt $D$ . Zeichne erneut eine parallele Seite zu $[A B]$ mit Anfangspunkt $D$ mit der Länge von $5\;\textrm{LE}$ .

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Ermitteln Sie rechnerisch, für welche Belegungen von $x$ es Trapeze $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ gibt.

Berechnen Sie den Flächeninhalt $A$ der Trapeze $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von $\textrm{x}$ . Bestimmen Sie sodann den maximalen Flächeninhalt $A_{max}$ der Trapeze $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ und geben Sie den zugehörigen Wert für $x$ an.

$[ \text{Zwischenergebnis:} ~ \overline{A_nB_n}(\textrm{x})=(-0{,}1\textrm{x}²+0{,}5\textrm{x}+3)\;\text{LE}]$

Teilaufgabe d

Flächeninhalt der Trapeze $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ :

$A_{Trapez}=\dfrac{\left(a+c\right)}{2}\cdot h$

Wir kennen $h=2\;\textrm{LE}$ (Vektor) und $c = \overline{CD} = 5\;\textrm{LE}$ .

Gesucht ist noch die Länge $a=\overline{A_nB_n}$ :

Dafür brauchen wir die Koordinaten $A_n(x|-0{,}5x+1)$ und $B_n(x|0{,}1x^2-x-2)$ . Die Länge berechnen wir, indem wir die y-Koordinaten voneinander abziehen.

$\displaystyle \overline{A_nB_n}$	$=$	$\displaystyle \left(-0{,}5x+1-\left(0{,}1x^2-x-2\right)\right)\;\textrm{LE}$
	$=$	$\displaystyle \left(-0{,}5x+1-0{,}1x^2+x+2\right)\;\textrm{LE}$
	$=$	$\displaystyle \left(-0{,}1x^2+0{,}5x+3\right)\;\textrm{LE}$

Jetzt können wir alle Werte in die Formel einsetzen:

$\displaystyle A_{Trapez}$	$=$	$\displaystyle \frac{\left(a+c\right)}{2}\cdot h$
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{\left(\left(-0{,}1x^2+0{,}5x+3\right)+5\right)}{2}\cdot2\right)\;\textrm{FE}$
	$=$	$\displaystyle \left(-0{,}1x^2+0{,}5x+3+5\right)\;\textrm{FE}$
	$=$	$\displaystyle \left(-0{,}1x^2+0{,}5x+8\right)\;\textrm{FE}$

Den maximalen Flächeninhalt kann man bestimmen, indem die Fläche als Parabel aufgefasst wird, mit $y=-\ 0{,}1x^2+0{,}5x+8$ und dann ihren Scheitelpunkt (Extrempunkt) bestimme.

Den Scheitelpunkt kann man mithilfe der Formel oder der quadratischen Ergänzung bestimmen.

allgemein: $y\ =\ \ ax^2\ \ +\ \ \ \ bx\ \ \ \ +c$

In diesem Fall: $y=-\ 0{,}1x^2+0{,}5x+8$

Mit Formel: $x_S=-\dfrac{b}{2\cdot a}=-\dfrac{0{,}5}{2\cdot\left(-0{,}1\right)}=2{,}5$

$y_S=c-\dfrac{b^2}{4\cdot a}=8-\dfrac{0{,}5^2}{4\cdot\left(-0{,}1\right)}=8{,}63$

Mit quadratischer Ergänzung:

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -\ 0{,}1x^2+0{,}5+8$
	↓	Ausklammern.
	$=$	$\displaystyle -\ 0{,}1\left(x^2-5-80\right)$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle -\ 0{,}1\left(x^2-5+2{,}5^2-2{,}5^2-80\right)$
	↓	Binomische Formel.
	$=$	$\displaystyle -\ 0{,}1\left[\left(x-2{,}5\right)^2-2{,}5^2-80\right]$
	$=$	$\displaystyle -\ 0{,}1\left[(x-2{,}5)^2-86{,}25\right]$
	↓	Klammer auflösen.
	$=$	$\displaystyle -\ 0{,}1\left(x-2{,}5\right)^2+8{,}63$

Der Scheitelpunkt ist $S (2,5 ∣ 8,63)$ .

Das heißt $A_{\max}=8{,}63\;\textrm{FE}\;\textrm{ mit}\ x=2{,}5\;\textrm{LE}$ .

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Der Punkt $D_{3}$ des Trapezes $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ liegt auf der y-Achse.

Ermitteln Sie durch Rechnung die Koordinaten des Punktes $B_{3}$ .

Die kongruenten Trapeze $A_{4} B_{4} C_{4} D_{4}$ und $A_{5} B_{5} C_{5} D_{5}$ sind gleichschenklig. Zeigen Sie, dass die Strecken $[A_{4} B_{4}]$ und $[A_{5} B_{5}]$ jeweils $3\;\text{LE}$ lang sind. Berechnen Sie sodann das Maß $\gamma$ der Winkel $D_{4} C_{4} B_{4}$ bzw. $D_{5} C_{5} B_{5}$ .

Nebenstehende Skizze zeigt das Fünfeck $A B C D E$ , das aus dem Drachenviereck $A B C D$ mit der Symmetrieachse $A C$ und dem Dreieck $A D E$ besteht. Es gilt: $\overline{AB}=\overline{AD}=11\;\textrm{cm};\measuredangle{BAD}=45°;\measuredangle{CBA}=\measuredangle{ADC}=\measuredangle{BAE}=90°;[AB]||[ED]$ . Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie das Fünfeck $A B C D E$ sowie die Strecken $[A D]$ und $[A C]$ .
Teilaufgabe a
Zeichnung des Fünfecks ABCDE
$[AB] = 11\;\textrm{cm}$
$\measuredangle\mathrm{ABC}\;$ $= 45 °$
$[AD]=11\;\textrm{cm}$
45°-Winkel
Da [AB] parallel zu $[E D]$ ist, kann man eine Parallele $i$ , durch den Punkt $D$ konstruieren. Die Gerade $j$ steht senkrecht auf $[A B]$ .
Punkt $E$ ist der Schnittpunkt der Geraden $i$ und $j$ .
$\measuredangle\mathrm{ADC}\;$ = 90°
Winkelhalbierende $[A C [$ halbiert den Winkel $\measuredangle\mathrm{BAD}\;$
Punkt $C$ ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden und der Halbgeraden $[D C [$ .
Strecke $[C B]$
Da $[A B]$ parallel zu $[E D]$ ist, kann man eine Parallele $i$ , durch den Punkt $D$ konstruieren. Die Gerade $j$ steht senkrecht auf $[A B]$ .
Punkt $E$ ist der Schnittpunkt der Geraden $i$ und $j$ .
$\measuredangle\mathrm{ADC}\;$ = 90°
Winkelhalbierende $[A C [$ halbiert den Winkel $\measuredangle\mathrm{BAD}\;$
Punkt $C$ ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden und der Halbgeraden $[D C [$ .
Strecke $[C B]$
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Begründen Sie, weshalb $\measuredangle{EDC}=135°$ und $\overline{AE}=\overline{ED}$ .

Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke $[E D]$ .

$[$ Teilergebnis: $\overline{ED}=7{,}78\;\textrm{cm}$ $]$

Berechnen Sie die Länge der Strecke $[B C]$ und den prozentualen Anteil des Flächeninhalts des Drachenvierecks $A B C D$ am Flächeninhalt des Fünfecks $A B C D E$ .

$[$ Teilergebnis: $\overline{BC}=4{,}56\;\textrm{cm}$ $]$

Teilaufgabe c

Länge von $[B C]$ :

$\measuredangle BAC=45°:2=22{,}5°$

( $[A C]$ ist die Symmetrieachse des Drachenvierecks $A B C D$ )

$\displaystyle \tan(22{,}5°)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
$\displaystyle \tan(22{,}5°)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\overline{BC}}{\text{11 cm}}$	$\displaystyle \cdot11cm$
$\displaystyle \tan(22{,}5°)\cdot11\;\textrm{cm}$	$=$	$\displaystyle \overline{BC}$
$\displaystyle \overline{BC}$	$\approx ≈$	$\displaystyle 4{,}56\;\textrm{cm}$

Flächeninhalt des Drachenvierecks $A B C D$ :

Das Viereck $A B C D$ besteht aus zwei flächengleichen rechtwinkligen Dreiecken $A B C$ .

$\displaystyle A_D$	$=$	$\displaystyle \frac{\text{1}}{\text{2}}\cdot\overline{BC}\cdot\overline{AB}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\text{1}}{\text{2}}\cdot4{,}56\;\textrm{cm}\cdot11\;\textrm{cm}$
	$=$	$\displaystyle 25{,}08\;\textrm{cm}^3$

$\displaystyle A_F$	$=$	$\displaystyle A_D\cdot2$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 50{,}16\;\textrm{cm}^3$

Fläche des Fünfecks $A B C D E$ :

Die Fläche des Fünfecks $A B C D E$ , besteht aus dem Viereck $A B C D$ und dem rechtwinkligen Dreieck $A D E$ .

$\displaystyle A_D$	$=$	$\displaystyle \frac{\text{1}}{\text{2}}\cdot\overline{BC}\cdot\overline{AB}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\text{1}}{\text{2}}\cdot\overline{AE}\cdot\overline{ED}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\text{1}}{\text{2}}\cdot7{,}78\;\textrm{cm}\cdot7{,}78\;\textrm{cm}$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 30{,}26\;\textrm{cm}^2$

$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle A_D+A_F$
	$=$	$\displaystyle 50{,}16\;\textrm{cm}^2+30{,}26\;\textrm{cm}^2$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 80{,}42\;\textrm{cm}^2$

Prozentualer Flächenanteil des Drachenvierecks $A B C D$ am Fünfeck $A B C D E$ :

$\dfrac{50{,}16\;\textrm{cm}^2}{80{,}42\;\textrm{cm}^2}\cdot100\%\approx62{,}37\;\%$

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Auf der Strecke $[A E]$ liegen Punkte $S_{n}$ , für die gilt: $\overline{ES_n}(\textrm{x})=\textrm{x}\,\textrm{cm}$ mit $\textrm{x}\in\mathbb{R}),\textrm{x}\in]0;7{,}78[$ . Punkte $R_{n}$ liegen auf dem Kreisbogen $\overset\frown{AD}$ mit dem Mittelpunkt $E$ .
Ferner gilt: $[S_{n} R_{n}] ∣ ∣ [E D]$ .
Zeichnen Sie den Kreisbogen $\overset\frown{AD}$ und die Strecke $[S_{1} R_{1}]$ für $\textrm{x}=2$ in die Zeichnung zu Teilaufgabe a) ein.
Teilaufgabe d
Kreisbogen und die Strecke [ $S_{1} R_{1}$ ]:
$[ES_1]=2\;\textrm{cm}$
Kreisbogen $b$ von Punkt $A$ bis Punkt $D$ mit Mittelpunkt $E$ und $r=\left[ED\right]$ .
$[$ $S_{1} R_{1}$ $[$ ist parallel zu $[E D]$
$R_{1}$ ist der Schnittpunkt von $b$ und der Halbgeraden $[$ $S_{1} R_{1}$ $[$
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Der Punkt $R_{2}$ ist der Schnittpunkt des Kreisbogens $\overset\frown{AD}$ mit der Symmetrieachse $A C$ des Drachenvierecks $A B C D$ .

Ergänzen Sie die Zeichnung zu Teilaufgabe a) um das Dreieck $S_{2} R_{2} E$ und berechnen Sie die Länge der Strecke $[S_{2} R_{2}]$ .

$[$ Zwischenergebnis: $\measuredangle R_2AE=\measuredangle ER_2A=67{,}5°]$

Das Dreieck $S_{2} R_{2} E$ :

Länge der Strecke $\left[S_2R_2\right]$ :

Da $\left[AB\right]\parallel\left[ED\right]\parallel\left[S_2R_2\right]$ und $\measuredangle BAE=90°$ , ist auch der Winkel $\measuredangle R_2S_2E=90°.$ Das heißt, das Dreieck ist rechtwinklig.

Der Winkel $\measuredangle S_2ER_2$ :

Das Dreieck $A R_{2} E$ ist gleichschenklig, da $[A E] = [R_{2} E]$ . Somit sind auch die Winkel $\measuredangle R_2AE=\measuredangle ER_2A$ .

$\displaystyle \measuredangle R_2AE$	$=$	$\displaystyle \measuredangle BAE-\measuredangle BAC$
	$=$	$\displaystyle 90°-22{,}5°$
	$=$	$\displaystyle 67{,}5°$
	$=$	$\displaystyle \measuredangle ER_2A$

Innenwinkelsumme im Dreieck $A R_{2} E$ :

$\displaystyle \measuredangle AER_2$	$=$	$\displaystyle 180°-\measuredangle R_2AE-\measuredangle ER_2A$
	$=$	$\displaystyle 180°-67{,}5°-67{,}5°$
	$=$	$\displaystyle 45°$

$\displaystyle \sin(45°)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
	↓	einsetzen
$\displaystyle \sin(45°)$	$\approx ≈$	$\displaystyle \dfrac{\overline{R_2S_2}}{\overline{EA}}$
$\displaystyle \sin(45°)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\overline{R_2S_2}}{7{,}78\;\textrm{cm}}$	$\displaystyle \cdot7{,}78\;\textrm{cm}$
$\displaystyle \overline{R_2S_2}$	$=$	$\displaystyle \sin(45°)\cdot7{,}78\;\textrm{cm}$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 5{,}50\;\textrm{cm}$

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Die Bogenlänge $b$ des Kreisbogens $\overset\frown{R_3D}$ mit dem Mittelpunkt $E$ beträgt $3\,\textrm{cm}$ . Berechnen Sie das Maß des Winkels $R_{3} E D$ und den zugehörigen Wert für $\textrm{x}$ .

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle -0{,}5x+1$	$=$	$\displaystyle 0{,}1x^2-x-2$	$\displaystyle +0{,}5x-1$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 0{,}1x^2-0{,}5x-3$

$\displaystyle \ x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-(-0{,}5)\pm\sqrt{(-0{,}5)^2-4\cdot0{,}1\cdot\left(-3\right)}}{2\cdot0{,}1\ \ \ \ \ \ }$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{0{,}5\pm\sqrt{1{,}45}}{0{,}2\ \ \ \ \ }$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 8{,}52$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -3{,}52$

$\displaystyle \overline{A_4B_4}$	$=$	$\displaystyle \left(\overline{C_nD_n}-\overline{D_nF_n}-\overline{E_nC_n}\right)\;\textrm{LE}$
	$=$	$\displaystyle 5\;\textrm{LE}\ -\ 1\;\textrm{LE}\ -1\;\textrm{LE}$
	$=$	$\displaystyle 3\;\textrm{LE}$
	$=$	$\displaystyle \overline{A_5B_5}$

$\displaystyle \sin(45°)$	$=$	$\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\displaystyle \sin(45°)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\overline{ED}}{\text{11 cm}}$	$\displaystyle \cdot 11\;\textrm{cm}$
$\displaystyle \sin(45°)\cdot11\;\textrm{cm}$	$=$	$\displaystyle \overline{ED}$
$\displaystyle \overline{ED}$	$\approx ≈$	$\displaystyle 7{,}78cm$

Bekannte Werte einsetzen:
	↓
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle 2\cdot7{,}78\cdot\pi\cdot\dfrac{\alpha}{360^{\circ}}$	$\displaystyle 360^\circ$
$\displaystyle 1080^\circ$	$=$	$\displaystyle 15{,}56\cdot\pi\cdot\alpha$	$\displaystyle :\ \left(15{,}56\cdot\pi\right)$
$\displaystyle \alpha$	$\approx ≈$	$\displaystyle 22{,}09^\circ$