Teil B

Teilaufgabe a

Stelle mithilfe des Scheitelpunktes $S(5|-4{,}5)$ die Scheitelpunktform auf.

Normalform der Gleichung: $y=ax^2+bx+c$. In diesem Fall: $a=0{,}1$

Scheitelpunktform allgemein: $y=a\left(x-d\right)+e$

In diesem Fall: $d=5$ und $e=-4{,}5$

Daraus ergibt sich folgende Scheitelpunktform:

Stelle für das Zeichnen der Parabel eine Wertetabelle auf.

Trage die Wertepaare (Punkte) in das Koordinatensystem und verbinde sie.

Für das Einzeichnen der Gerade $y=-0{,}5x+1$ benötigst du ein Steigungsdreieck.

allgemeine Form: $y=m\cdot x+b$

Der y-Achsenabschnitt $b = +1$, Schnittpunkt $A(0|1)$

Steigung $m=-0{,}5=\dfrac{-1}{2}$ (Das bedeutet, wir gehen $2$ nach rechts und $1$ nach unten.)

Teilaufgabe b

Wir zeichnen als Erstes das Trapez $A_1B_1C_1D_1$. Dafür benötigen wir die Koordinaten der Eckpunkte.

Der Punkt $A_n(x|-0{,}5x+1)$ für $x=-1$:

$A_1(-1|1{,}5)$

Bei $B_n(x|0{,}1x² - x - 2)$ für $x = -1$:

$B_1(-1|-0{,}9)$

Wir zeichnen nun die Punkte $A_1(-1|1{,}5)$ und $B_1(-1|-0{,}9)$ in das Koordinatensystem ein.

Den Punkt $D_1$ finden wir mithilfe des Vektors ${\overrightarrow{A_nD_n}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$.

Da wir wissen, dass die Strecke $[CD] \; 5\;\textrm{LE}$ hat und parallel zu $[AB]$ ist, können wir diese nun mithilfe eines Geodreiecks einzeichnen.

Das gleiche Vorgehen ist für das zweite Trapez $A_2B_2C_2D_2$ mit $x=4$ notwendig.

Der Punkt $A_n(x|-0{,}5x+1)$ für $x=4$: $A_2(4|−1 )$

Der Punkt $B_n(x|0{,}1x² - x - 2)$ für $x = 4$:

$B_2(4|-4{,}4)$

Zeichne die Punkte $A$ und $B$ ein. Finde mithilfe des Vektors Punkt $D$. Zeichne erneut eine parallele Seite zu $[AB]$ mit Anfangspunkt $D$ mit der Länge von $5\;\textrm{LE}$.

Teilaufgabe c

Wir suchen die Schnittpunkte der Geraden$\ y=-0{,}5x+1$ und der Parabel $y=0{,}1x^2-x-2$. Da es nur Trapeze geben kann, wenn $A$ und $B$ jeweils zwischen den Schnittpunkten liegen.

Du kannst die Schnittpunkte finden, indem du die Gleichungen gleichsetzt:

Die folgende Gleichung kann man nun mithilfe der abc-Formel (Mitternachtsformel) lösen.

abc-Formel: $a = 0{,}1$ $b = -0{,}5$ $c = -3$

Für $x\in ]-3{,}52; 8{,}52[$ gibt es beliebig viele Trapeze $A_nB_nC_nD_n.$

Teilaufgabe d

Flächeninhalt der Trapeze $A_nB_nC_nD_n$:

$A_{Trapez}=\dfrac{\left(a+c\right)}{2}\cdot h$

Wir kennen $h=2\;\textrm{LE}$ (Vektor) und $c = \overline{CD} = 5\;\textrm{LE}$.

Gesucht ist noch die Länge $a=\overline{A_nB_n}$:

Dafür brauchen wir die Koordinaten $A_n​(x|-0{,}5x+1)$ und $B_n(x|0{,}1x^2-x-2)$. Die Länge berechnen wir, indem wir die y-Koordinaten voneinander abziehen.

Jetzt können wir alle Werte in die Formel einsetzen:

Den maximalen Flächeninhalt kann man bestimmen, indem die Fläche als Parabel aufgefasst wird, mit $y=-\ 0{,}1x^2+0{,}5x+8$ und dann ihren Scheitelpunkt (Extrempunkt) bestimme.

Den Scheitelpunkt kann man mithilfe der Formel oder der quadratischen Ergänzung bestimmen.

allgemein: $y\ =\ \ ax^2\ \ +\ \ \ \ bx\ \ \ \ +c$

In diesem Fall: $y=-\ 0{,}1x^2+0{,}5x+8$

Mit Formel: $x_S=-\dfrac{b}{2\cdot a}=-\dfrac{0{,}5}{2\cdot\left(-0{,}1\right)}=2{,}5$

$y_S=c-\dfrac{b^2}{4\cdot a}=8-\dfrac{0{,}5^2}{4\cdot\left(-0{,}1\right)}=8{,}63$

Mit quadratischer Ergänzung:

Der Scheitelpunkt ist $S (2{,}5|8{,}63)$.

Das heißt $A_{\max}=8{,}63\;\textrm{FE}\;\textrm{ mit}\ x=2{,}5\;\textrm{LE}$.

Teilaufgabe e

Wenn $D_3$ auf der y-Achse liegt, hat die x-Koordinate von $D_3$ den Wert $0$.

Aufgrund des Gegenvektors hat $A_3$ und $B_{3\ }$den x-Wert $- 2$.

Gesucht ist der Punkt $B_3$:

$B_n(x|0{,}1x^2-x-2)\;\textrm{mit}\ x=-2$

Der Punkt $B_3$ hat die y-Koordinate $0{,}4$ und $B_3(-2|0{,}4)$.

Teilaufgabe f

Gegeben: $\overline{C_nD_n}= 5\;\textrm{LE}$ und ${\overrightarrow{A_nD_n}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$

$\overline{A_4B_4}=\overline{A_5B_5}=3\;\textrm{LE}$

Maß der Winkel $D_4C_4B_4$ bzw. $D_5C_5B_5$ :

Der Winkel $\gamma$ liegt in dem rechtwinkligen Dreieck $EBC$ mit $\overline{EC} = 1\;\textrm{LE}$ und $\overline{BE} = 2\;\textrm{LE}$.

Tangens: $\tan(\gamma)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\dfrac{\overline{BE}}{\overline{EC}}=\dfrac{2}{1}=2$

$\gamma=\tan^{-1}(2)=63{,}43°$

Teilaufgabe a

Teilaufgabe b

$\measuredangle EDC=135°$und $[AE] = [ED]$:

1. Da $\measuredangle BAE$ = 90° und $[AB]$ parallel zu $[ED]$ ist, ist auch$$ $\measuredangle AED = 90°$.

2. Da $\measuredangle BAE = 90°$ und $∡ BAD = 45°$ ist, ist $\measuredangle DAE=45$°.

3. Innenwinkelsumme im Dreieck $ADE$: $\measuredangle EDA=180°-90°-45°=45°$

4. $\measuredangle EDC=\measuredangle ADC+\measuredangle EDA=90°+45°=135°$

$\measuredangle DAE=\measuredangle EDA=45°$

Das rechtwinklige Dreieck $ADE$ hat zwei gleich große Winkel, es ist damit gleichschenklig mit $\overline{ED}=\overline{AE}$.

Länge von $[AE]$ und $[ED]$:

Teilaufgabe c

Länge von $[BC]$:

$\measuredangle BAC=45°:2=22{,}5°$

($[AC]$ ist die Symmetrieachse des Drachenvierecks $ABCD$)

Flächeninhalt des Drachenvierecks $ABCD$:

Das Viereck $ABCD$ besteht aus zwei flächengleichen rechtwinkligen Dreiecken $ABC$.

Fläche des Fünfecks $ABCDE$:

Die Fläche des Fünfecks $ABCDE$, besteht aus dem Viereck $ABCD$ und dem rechtwinkligen Dreieck $ADE$.

Prozentualer Flächenanteil des Drachenvierecks $ABCD$ am Fünfeck $ABCDE$:

$\dfrac{50{,}16\;\textrm{cm}^2}{80{,}42\;\textrm{cm}^2}\cdot100\%\approx62{,}37\;\%$

Teilaufgabe d

Kreisbogen und die Strecke [$S_1R_1$]:

Länge der Strecke $\left[S_2R_2\right]$:

Da $\left[AB\right]\parallel\left[ED\right]\parallel\left[S_2R_2\right]$ und $\measuredangle BAE=90°$, ist auch der Winkel $\measuredangle R_2S_2E=90°.$ Das heißt, das Dreieck ist rechtwinklig.

Der Winkel $\measuredangle S_2ER_2$:

Innenwinkelsumme im Dreieck $AR_2E$:

Teilaufgabe f

$\measuredangle R_3ED$ mit Bogenlänge $b=3\;\textrm{cm}$, Mittelpunkt $E$:

Bogenlänge allgemein: $b=U\cdot\frac{\alpha}{360^{\circ}}=2\cdot r\cdot\pi\cdot\frac{\alpha}{360^{\circ}}$