Teil B - lernen mit Serlo!

Die Parabel $p$ mit dem Scheitelpunkt $S(5|-4{,}5)$ hat eine Gleichung der Form $y=0{,}1\textrm{x}²+b\textrm{x}+c$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R};b,c\in\mathbb{R})$ . Die Gerade $g$ hat die Gleichung $\textrm{y}=-0{,}5\textrm{x}+1(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Gleichung der Parabel $p$ gilt:
$\textrm{y}=0{,}1\textrm{x}²-\textrm{x}-2$ .
Zeichnen Sie sodann die Parabel $p$ und die Gerade $g$ für $\textrm{x}\in[-4;9]$ in ein Koordinatensystem ein.
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 \textrm{cm}; -4\leqq x \leqq9;-6\leqq y\leqq4$
Punkte $A_n(\textrm{x}|-0{,}5\textrm{x}+1)$ auf der Geraden $g$ und Punkte
$B_n(\textrm{x}|0{,}1\textrm{x²}-\textrm{x}-2)$ auf der Parabel $p$ haben dieselbe Abszisse $\textrm{x}$ und sind zusammen mit Punkten $C_n$ und $D_n$ Eckpunkte von Trapezen $A_nB_nC_nD_n$ .
Es gilt: $[A_nB_n]||[C_nD_n] ;\overrightarrow{A_nD_n} =\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix} ;\overline{C_nD_n}=5\;\textrm{LE}$ .
Zeichnen Sie die Trapeze $A_1B_1C_1D_1$ für $\textrm{x}=-1$ und $A_2B_2C_2D_2$ für $x=4$ in das Koordinatensystem zu a) ein.
Ermitteln Sie rechnerisch, für welche Belegungen von $x$ es Trapeze $A_nB_nC_nD_n$ gibt.
Berechnen Sie den Flächeninhalt $A$ der Trapeze $A_nB_nC_nD_n$ in Abhängigkeit von $\textrm{x}$ . Bestimmen Sie sodann den maximalen Flächeninhalt $A_{max}$ der Trapeze $A_nB_nC_nD_n$ und geben Sie den zugehörigen Wert für $x$ an.
$[ \text{Zwischenergebnis:} ~ \overline{A_nB_n}(\textrm{x})=(-0{,}1\textrm{x}²+0{,}5\textrm{x}+3)\;\text{LE}]$
Der Punkt $D_3$ des Trapezes $A_3B_3C_3D_3$ liegt auf der y-Achse.
Ermitteln Sie durch Rechnung die Koordinaten des Punktes $B_3$ .
Die kongruenten Trapeze $A_4B_4C_4D_4$ und $A_5B_5C_5D_5$ sind gleichschenklig. Zeigen Sie, dass die Strecken $[A_4B_4]$ und $[A_5B_5]$ jeweils $3\;\text{LE}$ lang sind. Berechnen Sie sodann das Maß $\gamma$ der Winkel $D_4C_4B_4$ bzw. $D_5C_5B_5$ .