Teil B - lernen mit Serlo!

Die Parabel $p$ mit dem Scheitelpunkt $S(5|-4{,}5)$ hat eine Gleichung der Form $y=0{,}1\textrm{x}²+b\textrm{x}+c$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R};b,c\in\mathbb{R})$ . Die Gerade $g$ hat die Gleichung $\textrm{y}=-0{,}5\textrm{x}+1(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Gleichung der Parabel $p$ gilt:

$\textrm{y}=0{,}1\textrm{x}²-\textrm{x}-2$ .

Zeichnen Sie sodann die Parabel $p$ und die Gerade $g$ für $\textrm{x}\in[-4;9]$ in ein Koordinatensystem ein.

Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 \textrm{cm}; -4\leqq x \leqq9;-6\leqq y\leqq4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion, quadratische Funktionen, Vektoren,

Teilaufgabe a

Stelle mithilfe des Scheitelpunktes $S(5|-4{,}5)$ die Scheitelpunktform auf.

Normalform der Gleichung: $y=ax^2+bx+c$ . In diesem Fall: $a=0{,}1$

Scheitelpunktform allgemein: $y=a\left(x-d\right)+e$

In diesem Fall: $d=5$ und $e=-4{,}5$

Daraus ergibt sich folgende Scheitelpunktform:

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 0{,}1\left(x-5\right)^2-4{,}5$
	↓	Binomische Formel.
	$=$	$\displaystyle 0{,}1\left(x^2-10x+25\right)-4{,}5$
	↓	Klammer auflösen.
	$=$	$\displaystyle 0{,}1x^2-x+2{,}5-4{,}5$
	↓	Zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle 0{,}1x^2-x-2$

Stelle für das Zeichnen der Parabel eine Wertetabelle auf.

x	-4	-2	0	2	4	6	8	10	12
y	3,6	0,4	-2	-3,6	-4,4	-4,4	-3,6	-2	0,4

Trage die Wertepaare (Punkte) in das Koordinatensystem und verbinde sie.

Für das Einzeichnen der Gerade $y=-0{,}5x+1$ benötigst du ein Steigungsdreieck.

allgemeine Form: $y=m\cdot x+b$

Der y-Achsenabschnitt $b = +1$ , Schnittpunkt $A(0|1)$

Steigung $m=-0{,}5=\dfrac{-1}{2}$ (Das bedeutet, wir gehen $2$ nach rechts und $1$ nach unten.)

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Punkte $A_n(\textrm{x}|-0{,}5\textrm{x}+1)$ auf der Geraden $g$ und Punkte

$B_n(\textrm{x}|0{,}1\textrm{x²}-\textrm{x}-2)$ auf der Parabel $p$ haben dieselbe Abszisse $\textrm{x}$ und sind zusammen mit Punkten $C_n$ und $D_n$ Eckpunkte von Trapezen $A_nB_nC_nD_n$ .

Es gilt: $[A_nB_n]||[C_nD_n] ;\overrightarrow{A_nD_n} =\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix} ;\overline{C_nD_n}=5\;\textrm{LE}$ .

Zeichnen Sie die Trapeze $A_1B_1C_1D_1$ für $\textrm{x}=-1$ und $A_2B_2C_2D_2$ für $x=4$ in das Koordinatensystem zu a) ein.

Teilaufgabe b

Wir zeichnen als Erstes das Trapez $A_1B_1C_1D_1$ . Dafür benötigen wir die Koordinaten der Eckpunkte.

Der Punkt $A_n(x|-0{,}5x+1)$ für $x=-1$ :

$\displaystyle y\left(-1\right)$	$=$	$\displaystyle -0{,}5\cdot\left(-1\right)+1$
	$=$	$\displaystyle 0{,}5+1$
	$=$	$\displaystyle 1{,}5$

$A_1(-1|1{,}5)$

Bei $B_n(x|0{,}1x² - x - 2)$ für $x = -1$ :

$\displaystyle y\left(-1\right)$	$=$	$\displaystyle 0{,}1\cdot\left(-1\right)^2-\left(-1\right)-2$
	$=$	$\displaystyle 0{,}1\cdot1+1-2$
	$=$	$\displaystyle 0{,}1+1-2$
	$=$	$\displaystyle -0{,}9$

$B_1(-1|-0{,}9)$

Wir zeichnen nun die Punkte $A_1(-1|1{,}5)$ und $B_1(-1|-0{,}9)$ in das Koordinatensystem ein.

Den Punkt $D_1$ finden wir mithilfe des Vektors ${\overrightarrow{A_nD_n}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$ .

Da wir wissen, dass die Strecke $[CD] \; 5\;\textrm{LE}$ hat und parallel zu $[AB]$ ist, können wir diese nun mithilfe eines Geodreiecks einzeichnen.

Das gleiche Vorgehen ist für das zweite Trapez $A_2B_2C_2D_2$ mit $x=4$ notwendig.

Der Punkt $A_n(x|-0{,}5x+1)$ für $x=4$ : $A_2(4|−1 )$

Der Punkt $B_n(x|0{,}1x² - x - 2)$ für $x = 4$ :

$\displaystyle y\left(4\right)$	$=$	$\displaystyle 0{,}1\cdot\left(4\right)^2-4-2$
	$=$	$\displaystyle 0{,}1\cdot16-4-2$
	$=$	$\displaystyle 1{,}6-4-2$
	$=$	$\displaystyle -4{,}4$

$B_2(4|-4{,}4)$

Zeichne die Punkte $A$ und $B$ ein. Finde mithilfe des Vektors Punkt $D$ . Zeichne erneut eine parallele Seite zu $[AB]$ mit Anfangspunkt $D$ mit der Länge von $5\;\textrm{LE}$ .

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Ermitteln Sie rechnerisch, für welche Belegungen von $x$ es Trapeze $A_nB_nC_nD_n$ gibt.

Berechnen Sie den Flächeninhalt $A$ der Trapeze $A_nB_nC_nD_n$ in Abhängigkeit von $\textrm{x}$ . Bestimmen Sie sodann den maximalen Flächeninhalt $A_{max}$ der Trapeze $A_nB_nC_nD_n$ und geben Sie den zugehörigen Wert für $x$ an.

$[ \text{Zwischenergebnis:} ~ \overline{A_nB_n}(\textrm{x})=(-0{,}1\textrm{x}²+0{,}5\textrm{x}+3)\;\text{LE}]$

Teilaufgabe d

Flächeninhalt der Trapeze $A_nB_nC_nD_n$ :

$A_{Trapez}=\dfrac{\left(a+c\right)}{2}\cdot h$

Wir kennen $h=2\;\textrm{LE}$ (Vektor) und $c = \overline{CD} = 5\;\textrm{LE}$ .

Gesucht ist noch die Länge $a=\overline{A_nB_n}$ :

Dafür brauchen wir die Koordinaten $A_n(x|-0{,}5x+1)$ und $B_n(x|0{,}1x^2-x-2)$ . Die Länge berechnen wir, indem wir die y-Koordinaten voneinander abziehen.

$\displaystyle \overline{A_nB_n}$	$=$	$\displaystyle \left(-0{,}5x+1-\left(0{,}1x^2-x-2\right)\right)\;\textrm{LE}$
	$=$	$\displaystyle \left(-0{,}5x+1-0{,}1x^2+x+2\right)\;\textrm{LE}$
	$=$	$\displaystyle \left(-0{,}1x^2+0{,}5x+3\right)\;\textrm{LE}$

Jetzt können wir alle Werte in die Formel einsetzen:

$\displaystyle A_{Trapez}$	$=$	$\displaystyle \frac{\left(a+c\right)}{2}\cdot h$
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{\left(\left(-0{,}1x^2+0{,}5x+3\right)+5\right)}{2}\cdot2\right)\;\textrm{FE}$
	$=$	$\displaystyle \left(-0{,}1x^2+0{,}5x+3+5\right)\;\textrm{FE}$
	$=$	$\displaystyle \left(-0{,}1x^2+0{,}5x+8\right)\;\textrm{FE}$

Den maximalen Flächeninhalt kann man bestimmen, indem die Fläche als Parabel aufgefasst wird, mit $y=-\ 0{,}1x^2+0{,}5x+8$ und dann ihren Scheitelpunkt (Extrempunkt) bestimme.

Den Scheitelpunkt kann man mithilfe der Formel oder der quadratischen Ergänzung bestimmen.

allgemein: $y\ =\ \ ax^2\ \ +\ \ \ \ bx\ \ \ \ +c$

In diesem Fall: $y=-\ 0{,}1x^2+0{,}5x+8$

Mit Formel: $x_S=-\dfrac{b}{2\cdot a}=-\dfrac{0{,}5}{2\cdot\left(-0{,}1\right)}=2{,}5$

$y_S=c-\dfrac{b^2}{4\cdot a}=8-\dfrac{0{,}5^2}{4\cdot\left(-0{,}1\right)}=8{,}63$

Mit quadratischer Ergänzung:

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -\ 0{,}1x^2+0{,}5+8$
	↓	Ausklammern.
	$=$	$\displaystyle -\ 0{,}1\left(x^2-5-80\right)$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle -\ 0{,}1\left(x^2-5+2{,}5^2-2{,}5^2-80\right)$
	↓	Binomische Formel.
	$=$	$\displaystyle -\ 0{,}1\left[\left(x-2{,}5\right)^2-2{,}5^2-80\right]$
	$=$	$\displaystyle -\ 0{,}1\left[(x-2{,}5)^2-86{,}25\right]$
	↓	Klammer auflösen.
	$=$	$\displaystyle -\ 0{,}1\left(x-2{,}5\right)^2+8{,}63$

Der Scheitelpunkt ist $S (2{,}5|8{,}63)$ .

Das heißt $A_{\max}=8{,}63\;\textrm{FE}\;\textrm{ mit}\ x=2{,}5\;\textrm{LE}$ .

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Der Punkt $D_3$ des Trapezes $A_3B_3C_3D_3$ liegt auf der y-Achse.

Ermitteln Sie durch Rechnung die Koordinaten des Punktes $B_3$ .

Die kongruenten Trapeze $A_4B_4C_4D_4$ und $A_5B_5C_5D_5$ sind gleichschenklig. Zeigen Sie, dass die Strecken $[A_4B_4]$ und $[A_5B_5]$ jeweils $3\;\text{LE}$ lang sind. Berechnen Sie sodann das Maß $\gamma$ der Winkel $D_4C_4B_4$ bzw. $D_5C_5B_5$ .

$\displaystyle -0{,}5x+1$	$=$	$\displaystyle 0{,}1x^2-x-2$	$\displaystyle +0{,}5x-1$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 0{,}1x^2-0{,}5x-3$

$\displaystyle \ x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-(-0{,}5)\pm\sqrt{(-0{,}5)^2-4\cdot0{,}1\cdot\left(-3\right)}}{2\cdot0{,}1\ \ \ \ \ \ }$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{0{,}5\pm\sqrt{1{,}45}}{0{,}2\ \ \ \ \ }$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 8{,}52$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -3{,}52$

$\displaystyle \overline{A_4B_4}$	$=$	$\displaystyle \left(\overline{C_nD_n}-\overline{D_nF_n}-\overline{E_nC_n}\right)\;\textrm{LE}$
	$=$	$\displaystyle 5\;\textrm{LE}\ -\ 1\;\textrm{LE}\ -1\;\textrm{LE}$
	$=$	$\displaystyle 3\;\textrm{LE}$
	$=$	$\displaystyle \overline{A_5B_5}$

Teilaufgabe a

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Teilaufgabe b

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Teilaufgabe c

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Teilaufgabe d

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Teilaufgabe e

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Teilaufgabe f

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$\displaystyle y\left(-2\right)$	$=$	$\displaystyle 0{,}1\cdot\left(-2\right)^2-\left(-2\right)-2$
	↓	Ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle 0{,}4-\left(-2\right)-2$
	↓	Klammer auflösen.
	$=$	$\displaystyle 0{,}4+2-2$
	$=$	$\displaystyle 0{,}4$