Teil A - lernen mit Serlo!

Im Koordinatensystem ist der Graph der Funktion $f_{1}$ mit der Gleichung $y=10\cdot(x+3)^{-2}-2{,}5$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ eingezeichnet.

Der Graph zu $f_{1}$ wird durch orthogonale Affinität mit der x-Achse als Affinitätsachse und $k$ als Affinitätsmaßstab $(k\in\mathbb{R}\setminus\{0\})$ auf den Graphen der Funktion $f_{2}$ mit der Gleichung $y=-4\cdot(x+3)^{-2}+1$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ abgebildet.
Bestimmen Sie den Affinitätsmaßstab $k$ und geben Sie die Gleichungen der Asymptoten von $f_{2}$ an.
Zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f_{2}$ für $x\in[-6;4]$ in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein.

Lösung zur Teilaufgabe a
Für diese Aufgabe benötigst du Vorwissen über Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen.
Gesucht ist ein Faktor $k\in\mathbb{R}\setminus \{0\}$ , sodass $f_2=k\cdot f_1$ . Durch Vergleich der Vorfaktoren des $(x+3)^{-2}$ -Terms erkennst du, dass
$\displaystyle k=-\frac{4}{10}=-\frac{2}{5}=-0{,}4.$
Du kannst dir das Ganze auch nochmal in dem Applet unten anschauen:
Von der Funktionsgleichung
$f_2(x)=-4\cdot(x+3)^{-2}+1$
erkennst du eine senkrechte Asymptote bei $x = - 3$ , denn dort erhältst du $x + 3 = 0$ , sodass du durch $0$ teilen würdest.
Für die waagerechte Asymptote benutzt du, dass im Term $(x+3)^{-2}$ der Nennergrad um zwei größer als der Zählergrad ist und daher dieser Term asymptotisch nichts beiträgt. Du folgerst daher, dass die Asymptote durch die Verschiebung in $y$ -Richtung, also hier $+ 1$ , gegeben ist. Zusammenfassend erhalten wir:
Waagrechte Asymptote
$y = 1$
Senkrechte Asymptote
$x = - 3$
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Punkte $A_n(x|10\cdot(x+3)^{-2}-2{,}5)$ auf dem Graphen zu $f_{1}$ und Punkte $M_n(x|-4\cdot(x+3)^{-2}+1=$ auf dem Graphen zu $f_{2}$ haben dieselbe Abszisse $x$ .
Die Punkte $A_{n}$ sind für $x > - 1$ zusammen mit Punkten $B_{n}, C_{n}$ und $D_{n}$ die Eckpunkte von Rauten $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ mit den Diagonalenschnittpunkten $M_{n}$ .
Es gilt: $\overline{B_nD_n}=4~LE$
Zeichnen Sie die Raute $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ mit dem Diagonalenschnittpunkt $M_{1}$ für $x = 0,5$ in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein.

Lösung zur Teilaufgabe b
In dieser Aufgabe verwendest du Resultate über Rauten; insbesondere musst du wissen, dass die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen sowie, dass die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind.
Du startest mit dem Eintragen des Punktes $A_1(0{,}5|10\cdot(0{,}5+3)^{-2}-2{,}5)$ in das Koordinatensystem. Natürlich kannst du die $y$ -Koordinate des Punktes $A_{1}$ auch explizit ausrechnen. Das ist hier jedoch gar nicht notwendig, denn der Punkt liegt per Definition auf dem Graphen der Funktion $f_{1}$ . Das heißt, du markierst den Punkt mit $x$ -Wert $x = 0,5$ auf dem Graphen von $f_{1}$ .
Genauso verfährst du für den Punkt $M_1(0{,}5|-4\cdot(0{,}5+3)^{-2}+1)$ , welcher auf dem Graphen von $f_{2}$ liegt. Nun spiegelst du die Strecke $[A_{1} M_{1}]$ an $M_{1}$ und erhältst so den Eckpunkt $C_{1}$ , welcher $A_{1}$ gegenüberliegt.
Abschließend zeichnest du eine auf der Strecke $[A_{1} C_{1}]$ senkrecht stehende Gerade, welche durch $M_{1}$ verläuft. Dort trägst du nun von $M_{1}$ ausgehend in beide Richtungen jeweils $\overline{B_1D_1}:2=4:2=2$ LE ab. Dies ergibt die verbliebenen Eckpunkte $B_{1}$ und $D_{1}$ .
Zusammengefasst siehst du die Konstruktion in der folgenden Skizze:
Die Raute eingezeichnet in ds Koordinatensystem
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Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken $[A_{n} C_{n}]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: $\overline{A_nC_n}(x)=[-28\cdot(x+3)^{-2}+7]~LE$ .

Berechnen Sie den Flächeninhalt $A$ der Trapeze $A B_{n} C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von $x$ .

$[\text{Ergebnis:}~A(x)=(-0{,}5x^2-4{,}75x+27)~cm^2]$

Begründen Sie, dass die Rauten $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ stets einen kleineren Flächeninhalt als $14 F E$ besitzen.

Lösung zur Teilaufgabe e
Hier musst du geschickt mit Ungleichungen rechnen.
Du nimmst die Formel von Teilaufgabe d
$\displaystyle A(x)=\left[-56\cdot(x+3)^{-2}+14\right]\,\mathrm{(FE)}$
und überlegst dir, dass für $x > - 1$ stets
$\displaystyle (x+3)^{-2}>0$
gilt. [In der Tat gilt das für alle reelle Zahlen, ⁣ mit $x\in\mathbb{R}$ , mit Ausnahme der Definitionslücke $x = - 3$ der linken Seite.]
Damit folgt nun
$A(x)=\big[\underbrace{-56\cdot\underbrace{(x+3)^{-2}}_{>0}}_{<0}+14\big]\,\mathrm{LE}<14\,\mathrm{(FE).}$
Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video noch eine Schritt-für-Schritt Lösung der Aufgabe anschauen.
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$\displaystyle \overline{A_nC_n}(x)$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\overline{A_nM_n}(x)$
	$=$	$\displaystyle 2\cdot(f_2(x)-f_1(x))$
	$=$	$\displaystyle 2\cdot[(-4\cdot(x+3)^{-2}+1)-(10\cdot(x+3)^{-2}-2{,}5)]$
	$=$	$\displaystyle 2\cdot(-14\cdot(x+3)^{-2}+3{,}5)$
	$=$	$\displaystyle [-28\cdot(x+3)^{-2}+7](\text{LE})$

$\displaystyle A(x)$	$=$	$\displaystyle 2\cdot A_{\Delta}(x)$
	$=$	$\displaystyle 2\cdot\frac{1}{2}\cdot\overline{A_nC_n}(x)\cdot2$
	$=$	$\displaystyle 2\cdot(-28\cdot(x+3)^{-2}+7)$
	$=$	$\displaystyle [-56\cdot(x+3)^{-2}+14]~(\text{FE})$

Lösung zur Teilaufgabe a

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Lösung zur Teilaufgabe b

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Lösung zur Teilaufgabe c

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Lösung zur Teilaufgabe d

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Lösung zur Teilaufgabe e

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