Teil A - lernen mit Serlo!

Im Koordinatensystem ist der Graph der Funktion $f_{1}$ mit der Gleichung $y = 10 \cdot (x + 3)^{- 2} - 2,5$ $(𝔾 = ℝ \times ℝ)$ eingezeichnet.

Der Graph zu $f_{1}$ wird durch orthogonale Affinität mit der x-Achse als Affinitätsachse und $k$ als Affinitätsmaßstab $(k \in ℝ ∖ {0})$ auf den Graphen der Funktion $f_{2}$ mit der Gleichung $y = - 4 \cdot (x + 3)^{- 2} + 1$ $(𝔾 = ℝ \times ℝ)$ abgebildet.
Bestimmen Sie den Affinitätsmaßstab $k$ und geben Sie die Gleichungen der Asymptoten von $f_{2}$ an.
Zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f_{2}$ für $x \in [- 6; 4]$ in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein.

Lösung zur Teilaufgabe a
Für diese Aufgabe benötigst du Vorwissen über Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen.
Gesucht ist ein Faktor $k \in ℝ ∖ {0}$ , sodass $f_{2} = k \cdot f_{1}$ . Durch Vergleich der Vorfaktoren des $(x + 3)^{- 2}$ -Terms erkennst du, dass
$k = - \frac{4}{10} = - \frac{2}{5} = - 0,4.$
Du kannst dir das Ganze auch nochmal in dem Applet unten anschauen:
Von der Funktionsgleichung
$f_{2} (x) = - 4 \cdot (x + 3)^{- 2} + 1$
erkennst du eine senkrechte Asymptote bei $x = - 3$ , denn dort erhältst du $x + 3 = 0$ , sodass du durch $0$ teilen würdest.
Für die waagerechte Asymptote benutzt du, dass im Term $(x + 3)^{- 2}$ der Nennergrad um zwei größer als der Zählergrad ist und daher dieser Term asymptotisch nichts beiträgt. Du folgerst daher, dass die Asymptote durch die Verschiebung in $y$ -Richtung, also hier $+ 1$ , gegeben ist. Zusammenfassend erhalten wir:
Waagrechte Asymptote
$y = 1$
Senkrechte Asymptote
$x = - 3$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Punkte $A_{n} (x | 10 \cdot (x + 3)^{- 2} - 2,5)$ auf dem Graphen zu $f_{1}$ und Punkte $M_{n} (x | - 4 \cdot (x + 3)^{- 2} + 1 =$ auf dem Graphen zu $f_{2}$ haben dieselbe Abszisse $x$ .
Die Punkte $A_{n}$ sind für $x > - 1$ zusammen mit Punkten $B_{n}, C_{n}$ und $D_{n}$ die Eckpunkte von Rauten $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ mit den Diagonalenschnittpunkten $M_{n}$ .
Es gilt: $B_{n} D_{n} = 4 L E$
Zeichnen Sie die Raute $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ mit dem Diagonalenschnittpunkt $M_{1}$ für $x = 0,5$ in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein.

Lösung zur Teilaufgabe b
In dieser Aufgabe verwendest du Resultate über Rauten; insbesondere musst du wissen, dass die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen sowie, dass die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind.
Du startest mit dem Eintragen des Punktes $A_{1} (0,5 | 10 \cdot (0,5 + 3)^{- 2} - 2,5)$ in das Koordinatensystem. Natürlich kannst du die $y$ -Koordinate des Punktes $A_{1}$ auch explizit ausrechnen. Das ist hier jedoch gar nicht notwendig, denn der Punkt liegt per Definition auf dem Graphen der Funktion $f_{1}$ . Das heißt, du markierst den Punkt mit $x$ -Wert $x = 0,5$ auf dem Graphen von $f_{1}$ .
Genauso verfährst du für den Punkt $M_{1} (0,5 | - 4 \cdot (0,5 + 3)^{- 2} + 1)$ , welcher auf dem Graphen von $f_{2}$ liegt. Nun spiegelst du die Strecke $[A_{1} M_{1}]$ an $M_{1}$ und erhältst so den Eckpunkt $C_{1}$ , welcher $A_{1}$ gegenüberliegt.
Abschließend zeichnest du eine auf der Strecke $[A_{1} C_{1}]$ senkrecht stehende Gerade, welche durch $M_{1}$ verläuft. Dort trägst du nun von $M_{1}$ ausgehend in beide Richtungen jeweils $B_{1} D_{1} : 2 = 4 : 2 = 2$ LE ab. Dies ergibt die verbliebenen Eckpunkte $B_{1}$ und $D_{1}$ .
Zusammengefasst siehst du die Konstruktion in der folgenden Skizze:
Die Raute eingezeichnet in ds Koordinatensystem
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken $[A_{n} C_{n}]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: $A_{n} C_{n} (x) = [- 28 \cdot (x + 3)^{- 2} + 7] L E$ .

Lösung zur Teilaufgabe c
Der Kernpunkt der Lösung ist die Tatsache, dass für die Länge der Strecke $[A_{n} C_{n}]$ gilt
$A_{n} C_{n} = 2 \cdot A_{n} M_{n}$ .
Da die Punkte $A_{n}$ und $M_{n}$ stets die gleiche $x$ -Koordinate besitzen, ist die Länge der Strecke $[A_{n} M_{n}]$ durch die Differenz der $y$ -Koordinaten gegeben. Damit berechnest du:
$A_{n} C_{n} (x)$ $=$ $2 \cdot A_{n} M_{n} (x)$
$=$ $2 \cdot (f_{2} (x) - f_{1} (x))$
$=$ $2 \cdot [(- 4 \cdot (x + 3)^{- 2} + 1) - (10 \cdot (x + 3)^{- 2} - 2,5)]$
$=$ $2 \cdot (- 14 \cdot (x + 3)^{- 2} + 3,5)$
$=$ $[- 28 \cdot (x + 3)^{- 2} + 7] (LE)$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Berechnen Sie den Flächeninhalt $A$ der Trapeze $A B_{n} C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von $x$ .
$[Ergebnis: A (x) = (- 0,5 x^{2} - 4,75 x + 27) c m^{2}]$

Lösung zur Teilaufgabe d
Hier benötigst du Kenntnisse über Trapeze und die Berechnung des Flächeninhalts von Dreiecken.
Die Bezeichnung "Trapez" in der Aufgabenstellung ist nichts als eine allgemeinere Bezeichnung für "Raute" und du brauchst nicht die Formelsammlung zücken, um die Formel für den Flächeninhalt allgemeiner Trapeze nachzuschlagen. Stattdessen überlegst du dir zunächst, dass die Raute $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ aus den beiden kongruenten Dreiecken $A_{n} B_{n} C_{n}$ und $A_{n} C_{n} D_{n}$ besteht. Daher reicht es den Flächeninhalt des Dreiecks $A_{n} B_{n} C_{n}$ zu berechnen und diesen abschließend zu verdoppeln.
Erinnere dich zunächst an die nützliche Formel
$A_{△} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
zur Berechnung des Flächeninhalts von Dreiecken. Hier bezeichnet $g$ die Grundseite (also eine beliebige Seite des Dreiecks) und $h$ die zugehörige Höhe. Du wählst als Grundseite $[A_{n} C_{n}]$ und als Höhe $[M_{n} B_{n}]$ . Die Formel für $A_{n} C_{n} (x)$ hast du bereits in Teilaufgabe A2.4 bestimmt und für $M_{n} B_{n}$ benutzt du das Resultat aus der Konstruktion von Teilaufgabe c, dass diese Strecke die Länge $2 LE$ hat.
Nun setzt du alles zusammen und erhältst
$A (x)$ $=$ $2 \cdot A_{Δ} (x)$
$=$ $2 \cdot \frac{1}{2} \cdot A_{n} C_{n} (x) \cdot 2$
$=$ $2 \cdot (- 28 \cdot (x + 3)^{- 2} + 7)$
$=$ $[- 56 \cdot (x + 3)^{- 2} + 14] (FE)$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Begründen Sie, dass die Rauten $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ stets einen kleineren Flächeninhalt als $14 F E$ besitzen.

Lösung zur Teilaufgabe e
Hier musst du geschickt mit Ungleichungen rechnen.
Du nimmst die Formel von Teilaufgabe d
$A (x) = [- 56 \cdot (x + 3)^{- 2} + 14] (F E)$
und überlegst dir, dass für $x > - 1$ stets
$(x + 3)^{- 2} > 0$
gilt. [In der Tat gilt das für alle reelle Zahlen, ⁣ mit $x \in ℝ$ , mit Ausnahme der Definitionslücke $x = - 3$ der linken Seite.]
Damit folgt nun
$A (x) = [\underset{< 0}{\underset{⏟}{- 56 \cdot \underset{> 0}{\underset{⏟}{(x + 3)^{- 2}}}}} + 14] LE < 14 (F E) .$
Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video noch eine Schritt-für-Schritt Lösung der Aufgabe anschauen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$A_{n} C_{n} (x)$	$=$	$2 \cdot A_{n} M_{n} (x)$
	$=$	$2 \cdot (f_{2} (x) - f_{1} (x))$
	$=$	$2 \cdot [(- 4 \cdot (x + 3)^{- 2} + 1) - (10 \cdot (x + 3)^{- 2} - 2,5)]$
	$=$	$2 \cdot (- 14 \cdot (x + 3)^{- 2} + 3,5)$
	$=$	$[- 28 \cdot (x + 3)^{- 2} + 7] (LE)$

$A (x)$	$=$	$2 \cdot A_{Δ} (x)$
	$=$	$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot A_{n} C_{n} (x) \cdot 2$
	$=$	$2 \cdot (- 28 \cdot (x + 3)^{- 2} + 7)$
	$=$	$[- 56 \cdot (x + 3)^{- 2} + 14] (FE)$

Lösung zur Teilaufgabe a

Hast du eine Frage oder Feedback?

Lösung zur Teilaufgabe b

Hast du eine Frage oder Feedback?

Lösung zur Teilaufgabe c

Hast du eine Frage oder Feedback?

Lösung zur Teilaufgabe d

Hast du eine Frage oder Feedback?

Lösung zur Teilaufgabe e

Hast du eine Frage oder Feedback?