Teil A

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Die gleichschenkligen Dreiecke $A_n B_n C_n$ haben die Basen $[A_n B_n]$ und die gemeinsame Höhe $[CM]$ . Die Winkel $A_n CB_n$ haben das Maß $\varphi$ mit $\varphi \in ]0°;180°[$ . Es gilt: $\overline{CM}=5\;\text{cm}$ .
Die Zeichnung zeigt das Dreieck $A_1 B_1 C$ für $\varphi =80°$
1. Zeichnen Sie das Dreieck $A_2 B_2 C$ für $\varphi =50°$ in die Zeichnung zur Aufgabenstellung ein. (1 P)
2. Zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt A der Dreiecke $A_n B_n C$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $A(\varphi)=25\cdot\tan\frac{\varphi}{2}\;\text{cm}^2$ . (2 P)
3. Der Flächeninhalt des Dreiecks $A_3 B_2 C$ ist um $25\ \%$ $%$ größer als der Flächeninhalt des Dreiecks $A_2 B_2 C$ . Berechnen Sie das Maß $\varphi$ des Winkels $A_3 CB_3$ des Dreiecks $A_3 B_3 C$ auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet. (2 P)
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Im Koordinatensystem ist der Graph der Funktion $f_1$ mit der Gleichung $y=10\cdot(x+3)^{-2}-2{,}5$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ eingezeichnet.
1. Der Graph zu $f_1$ wird durch orthogonale Affinität mit der x-Achse als Affinitätsachse und $k$ als Affinitätsmaßstab $(k\in\mathbb{R}\setminus\{0\})$ auf den Graphen der Funktion $f_2$ mit der Gleichung $y=-4\cdot(x+3)^{-2}+1$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ abgebildet.
  Bestimmen Sie den Affinitätsmaßstab $k$ und geben Sie die Gleichungen der Asymptoten von $f_2$ an.
  Zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f_2$ für $x\in[-6;4]$ in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein.
2. Punkte $A_n(x|10\cdot(x+3)^{-2}-2{,}5)$ auf dem Graphen zu $f_1$ und Punkte $M_n(x|-4\cdot(x+3)^{-2}+1=$ auf dem Graphen zu $f_2$ haben dieselbe Abszisse $x$ .
  Die Punkte $A_n$ sind für $x>-1$ zusammen mit Punkten $B_n,C_n$ und $D_n$ die Eckpunkte von Rauten $A_nB_nC_nD_n$ mit den Diagonalenschnittpunkten $M_n$ .
  Es gilt: $\overline{B_nD_n}=4~LE$
  Zeichnen Sie die Raute $A_1B_1C_1D_1$ mit dem Diagonalenschnittpunkt $M_1$ für $x=0{,}5$ in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein.
3. Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken $[A_nC_n]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ gilt: $\overline{A_nC_n}(x)=[-28\cdot(x+3)^{-2}+7]~LE$ .
4. Berechnen Sie den Flächeninhalt $A$ der Trapeze $AB_nC_nD_n$ in Abhängigkeit von $x$ .
  $[\text{Ergebnis:}~A(x)=(-0{,}5x^2-4{,}75x+27)~cm^2]$
5. Begründen Sie, dass die Rauten $A_nB_nC_nD_n$ stets einen kleineren Flächeninhalt als $14~FE$ besitzen.
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Punkte $C_n$ liegen auf dem Thaleskreis über der Strecke $[AB]$ mit dem Mittelpunkt $M$ . Die Winkel $BAC_n$ haben das Maß $\alpha$ mit $\alpha\in]0^\circ;90^\circ[$ . Die Punkte $A,B$ und $C_n$ sind die Eckpunkte von Dreiecken $ABC_n$ . Punkte $D_n$ sind die Fußpunkte der Lote von den Punkten $C_n$ auf die Strecke $[AB]$ .
Es gilt: $\overline{AB}=6~cm$
1. Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken $[C_nD_n]$ in Abhängigkeit von $\alpha$ gilt:
  $\overline{C_nD_n}(\alpha)=6\cdot\cos\alpha\sin\alpha~~\text{cm}$
2. Die Dreiecke $ABC_n$ rotieren um die Achse $AB$ .
  Begründen Sie rechnerisch, dass für das Volumen $V$ der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von $\alpha$ gilt: $V(\alpha)=72\cdot\pi\cos^2\alpha\cdot\sin^2\alpha~~~\text{cm}^3$
  Berechnen Sie sodann für $\alpha=30^\circ$ das Volumen des entstehenden Rotationskörpers.

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