Die gleichschenkligen Dreiecke haben die Basen und die gemeinsame Höhe . Die Winkel haben das Maß mit . Es gilt: .
Die Zeichnung zeigt das Dreieck für
Zeichnen Sie das Dreieck für in die Zeichnung zur Aufgabenstellung ein. (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Halbgerade
Zum Einzeichnen des Dreiecks mit gehst du am besten so vor, dass du als Erstes an beiden Seiten von anträgst (rote Winkel in der Zeichnung). Dadurch erhältst du einen Winkel von und erfüllst die Aufgabenstellung.
Damit du die Höhe gleich bleibt sind die Eckpunkte des neuen Dreiecks die Schnittpunkte deiner "Winkelschenkel" (orangene Halbgeraden) mit der Strecke .
Das neue Dreieck ist in der Zeichnung orange hinterlegt.
In der Aufgabe steht, dass ist. Das heißt allerdings nicht, dass man das verwenden darf, sondern nur, dass man es als Ergebnis herausbekommen soll, wenn man den Flächeninhalt der Dreiecke bestimmt.
Rechne daher so, als sei der Flächeninhalt von Dreieck gesucht und versuche, dabei auf die Formel zu kommen.
"in Abhängigkeit von " heißt, dass im Ergebnis stehen bleiben darf und kein Wert für eingesetzt werden soll (insbesondere also weder die 80° aus der Angabe zur Aufgabenstellung noch die aus A.1.1).
Formel für Flächeninhalt in Abhängigkeit von aufstellen
Der Flächeninhalt des Dreiecks ist um größer als der Flächeninhalt des Dreiecks . Berechnen Sie das Maß des Winkels des Dreiecks auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Lösungsideen
Gegeben:
Der Flächeninhalt von ist um größer als der Flächeninhalt von
Lösungsplan:
Berechne zuerst den Flächeninhalt von , indem du in die Formel für einsetzt.
Berechne von der Zahl, die du als Flächeninhalt erhalten hast.
Das ist dann der Wert des Flächeninhalts von .
Setze diesen Wert mit dem Term aus der Formel von gleich und löse dann nach auf.
Lösung
Fläche des Dreiecks berechnen
Für das Dreieck ist nach Aufgabe (a) der Wert von .
Setze in die Formel aus A.1.2 ein.
Rechne das mit dem Taschenrechner aus.
Du darfst das Ergebnis auf 2 Stellen nach dem Komma runden.
(Für die weitere Rechnung ist es aber besser, wenn du das Ergebnis ungerundet speicherst und damit weiterrechnest; auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet wird dann erst das Endergebnis.)
Im Koordinatensystem ist der Graph der Funktion mit der Gleichung eingezeichnet.
Der Graph zu wird durch orthogonale Affinität mit der x-Achse als Affinitätsachse und als Affinitätsmaßstab auf den Graphen der Funktion mit der Gleichung abgebildet.
Bestimmen Sie den Affinitätsmaßstab und geben Sie die Gleichungen der Asymptoten von an.
Zeichnen Sie sodann den Graphen zu für in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein.
Gesucht ist ein Faktor , sodass . Durch Vergleich der Vorfaktoren des -Terms erkennst du, dass
Du kannst dir das Ganze auch nochmal in dem Applet unten anschauen:
Von der Funktionsgleichung
erkennst du eine senkrechte Asymptote bei , denn dort erhältst du , sodass du durch teilen würdest.
Für die waagerechte Asymptote benutzt du, dass im Term der Nennergrad um zwei größer als der Zählergrad ist und daher dieser Term asymptotisch nichts beiträgt. Du folgerst daher, dass die Asymptote durch die Verschiebung in -Richtung, also hier , gegeben ist. Zusammenfassend erhalten wir:
Punkte auf dem Graphen zu und Punkte auf dem Graphen zu haben dieselbe Abszisse .
Die Punkte sind für zusammen mit Punkten und die Eckpunkte von Rauten mit den Diagonalenschnittpunkten .
Es gilt:
Zeichnen Sie die Raute mit dem Diagonalenschnittpunkt für in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein.
Lösung zur Teilaufgabe b
In dieser Aufgabe verwendest du Resultate über Rauten; insbesondere musst du wissen, dass die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen sowie, dass die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind.
Du startest mit dem Eintragen des Punktes in das Koordinatensystem. Natürlich kannst du die -Koordinate des Punktes auch explizit ausrechnen. Das ist hier jedoch gar nicht notwendig, denn der Punkt liegt per Definition auf dem Graphen der Funktion . Das heißt, du markierst den Punkt mit -Wert auf dem Graphen von .
Genauso verfährst du für den Punkt , welcher auf dem Graphen von liegt. Nun spiegelst du die Strecke an und erhältst so den Eckpunkt , welcher gegenüberliegt.
Abschließend zeichnest du eine auf der Strecke senkrecht stehende Gerade, welche durch verläuft. Dort trägst du nun von ausgehend in beide Richtungen jeweils LE ab. Dies ergibt die verbliebenen Eckpunkte und .
Zusammengefasst siehst du die Konstruktion in der folgenden Skizze:
Die Bezeichnung "Trapez" in der Aufgabenstellung ist nichts als eine allgemeinere Bezeichnung für "Raute" und du brauchst nicht die Formelsammlung zücken, um die Formel für den Flächeninhalt allgemeiner Trapeze nachzuschlagen. Stattdessen überlegst du dir zunächst, dass die Raute aus den beiden kongruenten Dreiecken und besteht. Daher reicht es den Flächeninhalt des Dreiecks zu berechnen und diesen abschließend zu verdoppeln.
Erinnere dich zunächst an die nützliche Formel
zur Berechnung des Flächeninhalts von Dreiecken. Hier bezeichnet die Grundseite (also eine beliebige Seite des Dreiecks) und die zugehörige Höhe. Du wählst als Grundseite und als Höhe . Die Formel für hast du bereits in Teilaufgabe A2.4 bestimmt und für benutzt du das Resultat aus der Konstruktion von Teilaufgabe c, dass diese Strecke die Länge hat.
Punkte liegen auf dem Thaleskreis über der Strecke mit dem Mittelpunkt . Die Winkel haben das Maß mit . Die Punkte und sind die Eckpunkte von Dreiecken . Punkte sind die Fußpunkte der Lote von den Punkten auf die Strecke .
Es gilt:
Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken in Abhängigkeit von gilt:
Teilaufgabe a
In dieser Teilaufgabe wendest du die trigonometrischen Beziehungen an, um die Länge in Abhängigkeit des Winkels zu bestimmen. Zunächst benutzen wir die Formel
im linken kleinen Dreieck . Da der Winkel rechtwinklig ist, darfst du die trigonometrischen Beziehungen anwenden. Hier ist die Strecke die Gegenkathete und die Strecke die Hypotenuse. Also gilt
Jetzt benötigen wir jedoch noch einen Ausdruck für die unbekannte Länge . Dazu benutzen wir nun die Kosinusformel
im großen rechtwinkligen Dreieck . Erinnere dich, dass hier der Winkel gemäß dem Satz des Thales rechtwinklig ist. Folglich ist nun die Ankathete die Strecke und die Strecke die Hypotenuse. Also gilt
Diese Beziehung setzen wir nun in die Gleichung ein und erhalten abschließend
Begründen Sie rechnerisch, dass für das Volumen der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von gilt:
Berechnen Sie sodann für das Volumen des entstehenden Rotationskörpers.
Teilaufgabe b
Allgemeines
In dieser Aufgabe sollst du das Volumen des Rotationskörpers bestimmen und dabei zeigen, dass dieses mit berechnet werden kann.
Hierzu überlegst du dir zunächst, welche Figur bei der Rotation entsteht. Die Dreiecke rotieren um die Achse . Dabei entstehen in Abhängigkeit von Rotationskörper.
Für die Berechnung des Volumens der
Rotationskörper ist es hilfreich, wenn du
das Dreieck in die zwei Dreiecke und unterteilst.
(siehe Darstellung)
Das Dreieck wird in zwei Teildreiecke und unterteilt
Durch die Rotation dieser Dreiecke entstehen zwei Kegel:
Durch entsteht ein Kegel mit dem Volumen .
Durch entsteht ein Kegel mit dem Volumen .
Für das Volumen eines Kegels gilt mit der Grundfläche und der Höhe folgende Formel: . Es gilt für die Grundfläche .
Sowohl für als auch für gilt und dementsprechend .
Für gilt und daraus folgt .
Ähnlich gilt für , dass und dementsprechend auch.
Für das Gesamtvolumen erhältst du nun
In Aufgabe a hast du gesehen, dass
Somit fehlen uns für die Darstellung der Lösung nur noch die Längen und .
Bestimmung von
Mithilfe des Tangens stellt man in dem Dreieck folgende Formel auf:
Durch Umformung der Gleichung ergibt sich:
Da in der Gleichung aus der Angabe kein Tangens vorkommt, ist es sinnvoll diesen zu ersetzen. Diesen ersetzt du durch .
Für die Bestimmung von gibt es mehrere Möglichkeiten. Aus diesen Möglichkeiten ergeben sich verschiedene Lösungswege, um zu bestimmen. Im Folgenden sind zwei Lösungswege aufgeführt.
Lösungsweg 1 beschreibt einen kurzen Lösungsweg und ist eine elegante, kurze und zielführende Variante.
Lösungsweg 2 enthält einen ebenfalls zielführenden (aber längeren) Lösungsweg.
Lösungsweg 1:
In dem Dreieck gilt:
Umgestellt nach ergibt sich:
Da , erhältst du .
Setzt man in ein, so erhält man:
Nun kennst du für und für Ausdrücke in Abhängigkeit von .
Diese Ausdrücke setzt man nun in die Volumenformel ein:
Damit ergibt sich:
Wenn du ausklammerst, erhältst du
Setzt du nun in die Gleichung ein, so ergibt sich:
Und damit hat man die Formel aus der Angabe korrekt hergeleitet.
Für ergibt sich sodann
Lösungsweg 2:
liegt in dem Dreieck . Um in Abhängigkeit vom Winkel darzustellen ist es also praktisch in dem Dreieck zu suchen.
Zunächst beginnst du in dem Dreieck, indem vorzufinden ist: also in . Dort findest du den Winkel und einen Winkel. Über die Winkelsumme im Dreieck kannst du also den Winkel errechnen:
daraus folgt .
Da das Dreieck mit stets auf dem Thaleskreis liegt gilt allgemein für die Winkel , dass .
Winkel der Dreiecke , ,
Mit Hilfe von kannst du durch diesen Zusammenhang den Winkel in Abhängigkeit von darstellen:
Dadurch lässt sich in Abhängigkeit von darstellen:
Daraus folgt:
Da in der Endgleichung der Aufgabe kein Tangens vorkommt ist es sinnvoll diesen zu ersetzen. Diesen ersetzt du durch
Also ergibt sich:
Nun kennst du also und in Abhängigkeit von und du kannst die beiden Streckenlängen in die Volumengleichung
einsetzen.
Also:
Zusammengefasst ergibt das:
Zum einfachen Rechnen klammert man aus:
lässt sich zusammenfassen, dafür erweitern wir beide Brüche mit dem jeweils anderen Nenner (siehe auch Addition ungleichnamiger Brüche):