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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Die gleichschenkligen DreieckeAnBnCnA_n B_n C_n haben die Basen [AnBn][A_n B_n]und die gemeinsame Höhe [CM][CM]. Die Winkel AnCBnA_n CB_n haben das Maß φ\varphi mit φ]0°;180°[\varphi \in ]0°;180°[. Es gilt: CM=5  cm\overline{CM}=5\;\text{cm}.

    Bild

    Die Zeichnung zeigt das Dreieck A1B1CA_1 B_1 C für φ=80°\varphi =80°

    1. Zeichnen Sie das Dreieck A2B2CA_2 B_2 C für φ=50°\varphi =50° in die Zeichnung zur Aufgabenstellung ein. (1 P)

    2. Zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt A der Dreiecke AnBnCA_n B_n C in Abhängigkeit von φ\varphi gilt: A(φ)=25tanφ2  cm2A(\varphi)=25\cdot\tan\frac{\varphi}{2}\;\text{cm}^2. (2 P)

    3. Der Flächeninhalt des Dreiecks A3B3CA_3 B_3 C ist um 25 %25\ \% % größer als der Flächeninhalt des Dreiecks A2B2CA_2 B_2 C. Berechnen Sie das Maß φ\varphi des Winkels A3CB3A_3 CB_3 des Dreiecks A3B3CA_3 B_3 C auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet. (2 P)

  2. 2

    Im Koordinatensystem ist der Graph der Funktion f1f_1 mit der Gleichung y=10(x+3)22,5y=10\cdot(x+3)^{-2}-2{,}5 (G=R×R)(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}) eingezeichnet.

    Bild
    1. Der Graph zu f1f_1 wird durch orthogonale Affinität mit der x-Achse als Affinitätsachse und kk als Affinitätsmaßstab (kR{0})(k\in\mathbb{R}\setminus\{0\}) auf den Graphen der Funktion f2f_2 mit der Gleichung y=4(x+3)2+1y=-4\cdot(x+3)^{-2}+1 (G=R×R)(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}) abgebildet.

      Bestimmen Sie den Affinitätsmaßstab kk und geben Sie die Gleichungen der Asymptoten von f2f_2 an.

      Zeichnen Sie sodann den Graphen zu f2f_2 für x[6;4]x\in[-6;4] in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein.

    2. Punkte An(x10(x+3)22,5)A_n(x|10\cdot(x+3)^{-2}-2{,}5) auf dem Graphen zu f1f_1 und Punkte Mn(x4(x+3)2+1=M_n(x|-4\cdot(x+3)^{-2}+1= auf dem Graphen zu f2f_2 haben dieselbe Abszisse xx.

      Die Punkte AnA_n sind für x>1x>-1 zusammen mit Punkten Bn,CnB_n,C_n und DnD_n die Eckpunkte von Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n mit den Diagonalenschnittpunkten MnM_n.

      Es gilt: BnDn=4 LE\overline{B_nD_n}=4~LE

      Zeichnen Sie die Raute A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 mit dem Diagonalenschnittpunkt M1M_1 für x=0,5x=0{,}5 in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein.

    3. Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken [AnCn][A_nC_n] in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n gilt: AnCn(x)=[28(x+3)2+7] LE\overline{A_nC_n}(x)=[-28\cdot(x+3)^{-2}+7]~LE.

    4. Berechnen Sie den Flächeninhalt AA der Trapeze ABnCnDnAB_nC_nD_n in Abhängigkeit von xx.

      [Ergebnis: A(x)=(0,5x24,75x+27) cm2][\text{Ergebnis:}~A(x)=(-0{,}5x^2-4{,}75x+27)~cm^2]

    5. Begründen Sie, dass die Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n stets einen kleineren Flächeninhalt als 14 FE14~FE besitzen.

  3. 3

    Punkte CnC_n liegen auf dem Thaleskreis über der Strecke [AB][AB] mit dem Mittelpunkt MM. Die Winkel BACnBAC_n haben das Maß α\alpha mit α]0;90[\alpha\in]0^\circ;90^\circ[. Die Punkte A,BA,B und CnC_n sind die Eckpunkte von Dreiecken ABCnABC_n. Punkte DnD_n sind die Fußpunkte der Lote von den Punkten CnC_n auf die Strecke [AB][AB].

    Bild

    Es gilt: AB=6 cm\overline{AB}=6~cm

    1. Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken [CnDn][C_nD_n] in Abhängigkeit von α\alpha gilt:

      CnDn(α)=6cosαsinα  cm\overline{C_nD_n}(\alpha)=6\cdot\cos\alpha\sin\alpha~~\text{cm}

    2. Die Dreiecke ABCnABC_n rotieren um die Achse ABAB.

      Begründen Sie rechnerisch, dass für das Volumen VV der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von α\alpha gilt: V(α)=72πcos2αsin2α   cm3V(\alpha)=72\cdot\pi\cos^2\alpha\cdot\sin^2\alpha~~~\text{cm}^3

      Berechnen Sie sodann für α=30\alpha=30^\circ das Volumen des entstehenden Rotationskörpers.


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