Teil A

Zum Einzeichnen des Dreiecks mit $\phi =50°$ gehst du am besten so vor, dass du als Erstes $\frac{\phi }{2}=25°$ an beiden Seiten von $[\mathrm{CM}]$ anträgst (rote Winkel in der Zeichnung). Dadurch erhältst du einen Winkel von $\phi =50°$ und erfüllst die Aufgabenstellung.

Damit du die Höhe gleich bleibt sind die Eckpunkte des neuen Dreiecks die Schnittpunkte deiner "Winkelschenkel" (orangene Halbgeraden) mit der Strecke $[AB]$.

Das neue Dreieck $A_2{B}_{2}C$ ist in der Zeichnung orange hinterlegt.

Lösungsideen und Hinweise:

• In der Aufgabe steht, dass $\mathrm{A}(\phi )=25\cdot \tan \frac{\phi }{2}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$ ist. Das heißt allerdings nicht, dass man das verwenden darf, sondern nur, dass man es als Ergebnis herausbekommen soll, wenn man den Flächeninhalt der Dreiecke ${\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}\mathrm{C}$ bestimmt. $\to$ Rechne daher so, als sei der Flächeninhalt von Dreieck ${\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}\mathrm{C}$ gesucht und versuche, dabei auf die Formel zu kommen.

• "in Abhängigkeit von $\phi$" heißt, dass $\phi$ im Ergebnis stehen bleiben darf und kein Wert für $\phi$ eingesetzt werden soll (insbesondere also weder die 80° aus der Angabe zur Aufgabenstellung noch die $50°$ aus A.1.1).

Formel für Flächeninhalt $\mathrm{\Delta }{A}_n{B}_{n}C$ in Abhängigkeit von $\phi$ aufstellen

Es gibt verschiedenen Arten, um den Flächeninhalt eines Dreiecks zu berechnen. Hier in diesem Fall

• versuchst du es am besten mit der Formel $A_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h$

• und nimmst dabei

• als Grundlinie $g$ die Strecke $[{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}]$

• und als Höhe $h$ die Strecke $[\mathrm{CM}]$.

$A_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{2}\cdot \overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}}\cdot \overline{\mathrm{CM}}$

In der Aufgabe ist $\overline{\mathrm{CM}}=5\mathrm{cm}$ angegeben. Das ist unabhängig davon, wie groß $\phi$ ist.

$A_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{2}\cdot \overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}}\cdot 5\mathrm{cm}$

$\frac{1}{2}\cdot \overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}}$ kannst du zu $\overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}}$ zusammenfassen oder du setzt $\overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}}=2\cdot \overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}}$ in die Formel ein und vereinfachst:

Term für $\overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}}$ aufstellen

Zur Bestimmung von $\overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}}$ betrachte das Dreieck $\mathrm{\Delta }{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}\mathrm{C}$ (oranges Dreieck).

$\mathrm{\Delta }{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}\mathrm{C}$ ist rechtwinklig. Daher kannst du die Formeln für Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck verwenden.

Stelle den Tangens auf, weil dieser in der angegebenen Formel verwendet wird.

$\tan (\frac{\phi }{2})={\displaystyle \frac{\overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}}}{\overline{\mathrm{CM}}}}$

Die Formel für $\tan (\frac{\phi }{2})$ stellst du nach $\overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}}$ um, indem du mit $\overline{\mathrm{CM}}$ multiplizierst.

$\tan (\frac{\phi }{2})={\displaystyle \frac{\overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}}}{\overline{\mathrm{CM}}}}|\cdot \overline{\mathrm{CM}}$

$\tan (\frac{\phi }{2})\cdot \overline{\mathrm{CM}}=\overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}}$

Für $\overline{\mathrm{CM}}$ kannst du natürlich wieder $5\mathrm{cm}$ einsetzen.

$\overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}}=\tan (\frac{\phi }{2})\cdot 5\mathrm{cm}$

Dadurch erhältst du für $\overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}}$ einen Term, den du in den Term von oben

$A_{\mathrm{\Delta }}=\overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}}\cdot 5\mathrm{cm}$ einsetzen kannst.

Formel zusammensetzen

Damit hast du - wenn du die Faktoren vertauscht - das gewünschte Ergebnis erhalten und gezeigt, dass gilt:

$A(\phi )=25\cdot \tan \frac{\phi }{2}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$

Lösungsideen

Gegeben:

Der Flächeninhalt von ${\mathrm{A}}_3{\mathrm{B}}_3\mathrm{C}$ ist um $25\%$ größer als der Flächeninhalt von ${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2\mathrm{C}$

Lösungsplan:

1. Berechne zuerst den Flächeninhalt von ${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2\mathrm{C}$, indem du $\phi =50°$ in die Formel für $A(\phi )$ einsetzt.

• Berechne $125\%$ von der Zahl, die du als Flächeninhalt erhalten hast. Das ist dann der Wert des Flächeninhalts von ${\mathrm{A}}_3{\mathrm{B}}_3\mathrm{C}$.

• Setze diesen Wert mit dem Term aus der Formel von $A(\phi )$ gleich und löse dann nach $\phi$ auf.

Lösung

Fläche des Dreiecks ${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2\mathrm{C}$ berechnen

Für das Dreieck ${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2\mathrm{C}$ ist nach Aufgabe (a) der Wert von $\phi =50°$.

Setze $\phi =50°$ in die Formel $A(\phi )=25\cdot \tan \frac{\phi }{2}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$aus A.1.2 ein.

$A(50°)=25\cdot \tan \frac{50°}{2}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$

Rechne das mit dem Taschenrechner aus.

Du darfst das Ergebnis auf 2 Stellen nach dem Komma runden.

$A_{{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2\mathrm{C}}=A(50°)\approx \mathrm{11,66}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$

(Für die weitere Rechnung ist es aber besser, wenn du das Ergebnis ungerundet speicherst und damit weiterrechnest; auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet wird dann erst das Endergebnis.)

$25\%$ dazu rechnen

Um $25\%$ zu $A_{{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2\mathrm{C}}$ dazuzurechnen, kannst du entweder

• $25\%$ von $A_{{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2\mathrm{C}}$ ausrechnen und dann zu $A_{{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2\mathrm{C}}$ addieren,

oder

• gleich $100\%+25\%=125\%$ von $A_{{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2\mathrm{C}}$ berechnen.

$125\%$ von $A_{{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2\mathrm{C}}$ kannst du mit den Formeln zur Prozentrechnung oder mit dem Dreisatz berechnen. In jedem Fall erhältst du:

${\displaystyle \frac{125\cdot A_{{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2\mathrm{C}}}{100}}=\mathrm{1,25}\cdot A(50°)\approx \mathrm{14,57}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$

Anmerkung: Wenn du mit dem gerundeten Ergebnis $\mathrm{11,66}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$ für $A(50°)$ gerechnet hast, erhältst du jetzt nach Rundung $\mathrm{14,58}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$.

Winkel $\phi$ ausrechnen

Der gesuchte Winkel $\phi$ muss gerade so groß sein, dass sich der gewünschte Flächeninhalt ergibt:

Setze daher die "allgemeine" Formel $A(\phi )=25\cdot \tan \frac{\phi }{2}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$ gleich mit dem Wert, den die Fläche haben soll und löse nach $\phi$ auf.

$25\cdot \tan \frac{\phi }{2}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2=\mathrm{14,57}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$

So sieht die Gleichung aus, wenn du das gerundete Ergebnis verwendest. Teile durch $25$

$$\tan \frac{\phi }{2}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2={\displaystyle \frac{\mathrm{14,57}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2}{25}}$$

Wende ${\tan }^{-1}$ an. $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$ kannst du weglassen, weil es auf beiden Seiten steht.

$${\displaystyle \frac{\phi }{2}={\displaystyle {\tan }^{-1}\left(\frac{\mathrm{14,57}}{25}\right)}}$$

Multipliziere mit $2$

$${\displaystyle \phi ={\displaystyle {\tan }^{-1}\left(\frac{\mathrm{14,57}}{25}\right)\cdot 2=\mathrm{60,47}°}}$$

Wenn du statt des gerundeten Wertes $\mathrm{14,57}$ $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$ den originalen Wert einsetzt, erhältst du das Ergebnis in diesem Fall das gleiche Ergebnis $\mathrm{60,47}°$.

Lösung zur Teilaufgabe a

Für diese Aufgabe benötigst du Vorwissen über Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen.

Gesucht ist ein Faktor $k\in ℝ\setminus \{0\}$, sodass $f_2=k\cdot f_1$. Durch Vergleich der Vorfaktoren des $(x+3{)}^{-2}$-Terms erkennst du, dass

Du kannst dir das Ganze auch nochmal in dem Applet unten anschauen:

Von der Funktionsgleichung

$f_2(x)=-4\cdot (x+3{)}^{-2}+1$

erkennst du eine senkrechte Asymptote bei $x=-3$, denn dort erhältst du $x+3=0$, sodass du durch $0$ teilen würdest.

Für die waagerechte Asymptote benutzt du, dass im Term $(x+3{)}^{-2}$ der Nennergrad um zwei größer als der Zählergrad ist und daher dieser Term asymptotisch nichts beiträgt. Du folgerst daher, dass die Asymptote durch die Verschiebung in $y$-Richtung, also hier $+1$, gegeben ist. Zusammenfassend erhalten wir:

Waagrechte Asymptote

$y=1$

Senkrechte Asymptote

$x=-3$

Lösung zur Teilaufgabe b

In dieser Aufgabe verwendest du Resultate über Rauten; insbesondere musst du wissen, dass die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen sowie, dass die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind.

Du startest mit dem Eintragen des Punktes $A_1(\mathrm{0,5}|10\cdot (\mathrm{0,5}+3{)}^{-2}-\mathrm{2,5})$ in das Koordinatensystem. Natürlich kannst du die $y$-Koordinate des Punktes $A_1$ auch explizit ausrechnen. Das ist hier jedoch gar nicht notwendig, denn der Punkt liegt per Definition auf dem Graphen der Funktion $f_1$. Das heißt, du markierst den Punkt mit $x$-Wert $x=\mathrm{0,5}$ auf dem Graphen von $f_1$.

Genauso verfährst du für den Punkt $M_1(\mathrm{0,5}|-4\cdot (\mathrm{0,5}+3{)}^{-2}+1)$, welcher auf dem Graphen von $f_2$ liegt. Nun spiegelst du die Strecke $[A_1{M}_1]$ an $M_1$ und erhältst so den Eckpunkt $C_1$, welcher $A_1$ gegenüberliegt.

Abschließend zeichnest du eine auf der Strecke $[A_1{C}_1]$ senkrecht stehende Gerade, welche durch $M_1$ verläuft. Dort trägst du nun von $M_1$ ausgehend in beide Richtungen jeweils $\overline{B_1{D}_1}:2=4:2=2$ LE ab. Dies ergibt die verbliebenen Eckpunkte $B_1$ und $D_1$.

Zusammengefasst siehst du die Konstruktion in der folgenden Skizze:

Lösung zur Teilaufgabe c

Der Kernpunkt der Lösung ist die Tatsache, dass für die Länge der Strecke $[A_n{C}_n]$ gilt

$\overline{A_n{C}_n}=2\cdot \overline{A_n{M}_n}$.

Da die Punkte $A_n$ und $M_n$ stets die gleiche $x$-Koordinate besitzen, ist die Länge der Strecke $[A_n{M}_n]$ durch die Differenz der $y$-Koordinaten gegeben. Damit berechnest du:

Lösung zur Teilaufgabe d

Hier benötigst du Kenntnisse über Trapeze und die Berechnung des Flächeninhalts von Dreiecken.

Die Bezeichnung "Trapez" in der Aufgabenstellung ist nichts als eine allgemeinere Bezeichnung für "Raute" und du brauchst nicht die Formelsammlung zücken, um die Formel für den Flächeninhalt allgemeiner Trapeze nachzuschlagen. Stattdessen überlegst du dir zunächst, dass die Raute $A_n{B}_n{C}_n{D}_n$ aus den beiden kongruenten Dreiecken $A_n{B}_n{C}_n$ und $A_n{C}_n{D}_n$ besteht. Daher reicht es den Flächeninhalt des Dreiecks $A_n{B}_n{C}_n$ zu berechnen und diesen abschließend zu verdoppeln.

Erinnere dich zunächst an die nützliche Formel

$A_{△}=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h$

zur Berechnung des Flächeninhalts von Dreiecken. Hier bezeichnet $g$ die Grundseite (also eine beliebige Seite des Dreiecks) und $h$ die zugehörige Höhe. Du wählst als Grundseite $[A_n{C}_n]$ und als Höhe $[M_n{B}_n]$. Die Formel für $\overline{A_n{C}_n}(x)$ hast du bereits in Teilaufgabe A2.4 bestimmt und für $\overline{M_n{B}_n}$ benutzt du das Resultat aus der Konstruktion von Teilaufgabe c, dass diese Strecke die Länge $2\mathrm{LE}$ hat.

Nun setzt du alles zusammen und erhältst

Lösung zur Teilaufgabe e

Hier musst du geschickt mit Ungleichungen rechnen.

Du nimmst die Formel von Teilaufgabe d

und überlegst dir, dass für $x>-1$ stets

gilt. [In der Tat gilt das für alle reelle Zahlen, ⁣ mit $x\in ℝ$, mit Ausnahme der Definitionslücke $x=-3$ der linken Seite.]

Damit folgt nun

$A(x)=[\underset{<0}{\underbrace{-56\cdot \underset{>0}{\underbrace{(x+3{)}^{-2}}}}}+14]\mathrm{LE}<14(\mathrm{F}\mathrm{E}).$

Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video noch eine Schritt-für-Schritt Lösung der Aufgabe anschauen.

Teilaufgabe a

In dieser Teilaufgabe wendest du die trigonometrischen Beziehungen an, um die Länge $\overline{C_n{D}_n}$ in Abhängigkeit des Winkels $\alpha$ zu bestimmen. Zunächst benutzen wir die Formel

im linken kleinen Dreieck $A{C}_n{D}_n$. Da der Winkel $\sphericalangle A{D}_n{C}_n$ rechtwinklig ist, darfst du die trigonometrischen Beziehungen anwenden. Hier ist die Strecke $[C_n{D}_n]$ die Gegenkathete und die Strecke $[A{C}_n]$ die Hypotenuse. Also gilt

Jetzt benötigen wir jedoch noch einen Ausdruck für die unbekannte Länge $\overline{A{D}_n}$. Dazu benutzen wir nun die Kosinusformel

im großen rechtwinkligen Dreieck $AB{C}_n$. Erinnere dich, dass hier der Winkel $A{C}_{n}B$ gemäß dem Satz des Thales rechtwinklig ist. Folglich ist nun die Ankathete die Strecke $[A{D}_n]$ und die Strecke $[AB]$ die Hypotenuse. Also gilt

Diese Beziehung setzen wir nun in die Gleichung $\overline{C_n{D}_n}=\sin (\alpha )\cdot \overline{A{D}_n}$ ein und erhalten abschließend

Teilaufgabe b

Allgemeines

In dieser Aufgabe sollst du das Volumen des Rotationskörpers bestimmen und dabei zeigen, dass dieses mit $V(\alpha )=72\cdot \pi \cdot {\cos }^2(\alpha )\cdot {\sin }^2(\alpha ){\mathrm{cm}}^3$ berechnet werden kann.

Hierzu überlegst du dir zunächst, welche Figur bei der Rotation entsteht. Die Dreiecke $AB{C}_n$ rotieren um die Achse $[AB]$. Dabei entstehen in Abhängigkeit von $\alpha$ Rotationskörper.

Durch die Rotation dieser Dreiecke entstehen zwei Kegel:

• Durch $A{D}_n{C}_n$ entsteht ein Kegel mit dem Volumen $V_{\text{Kegel}1}$.

• Durch $D_{n}B{C}_n$ entsteht ein Kegel mit dem Volumen $V_{\text{Kegel}2}$.

Für das Volumen eines Kegels gilt mit der Grundfläche $G$ und der Höhe $h$ folgende Formel: $V=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h$. Es gilt für die Grundfläche $G=\pi \cdot r^2$.

Sowohl für $V_{\text{Kegel}1}$ als auch für $V_{\text{Kegel}2}$ gilt $r=\overline{C_n{D}_n}$ und dementsprechend $G=\pi \cdot (\overline{C_n{D}_n}{)}^2$.

Für $V_{\text{Kegel}1}$ gilt $h=\overline{A{D}_n}$ und daraus folgt $V_{\text{Kegel1}}=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (\overline{C_n{D}_n}{)}^2\cdot \overline{A{D}_n}$.

Ähnlich gilt für $V_{\text{Kegel}2}$, dass $h=\overline{D_{n}B}$ und dementsprechend auch$V_{\text{Kegel}2}=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (\overline{C_n{D}_n}{)}^2\cdot \overline{D_{n}B}$.

Für das Gesamtvolumen erhältst du nun

In Aufgabe a hast du gesehen, dass

Somit fehlen uns für die Darstellung der Lösung nur noch die Längen $\overline{A{D}_n}$ und $\overline{D_{n}B}$.

Bestimmung von $\overline{A{D}_n}$

Mithilfe des Tangens stellt man in dem Dreieck $A{D}_n{C}_n$ folgende Formel auf:

Durch Umformung der Gleichung ergibt sich:

Da in der Gleichung aus der Angabe kein Tangens vorkommt, ist es sinnvoll diesen zu ersetzen. Diesen ersetzt du durch $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}$.

Also ergibt sich (unter Anwendung der Rechenregel für Doppelbrüche):

$${\displaystyle \overline{A{D}_n}=\frac{\overline{C_n{D}_n}}{\tan \alpha }=\frac{\overline{C_n{D}_n}\cdot \cos \alpha }{\sin \alpha }}$$

Bestimmung von $\overline{D_{n}B}$:

Für die Bestimmung von $\overline{D_{n}B}$ gibt es mehrere Möglichkeiten. Aus diesen Möglichkeiten ergeben sich verschiedene Lösungswege, um $V_{\text{Ges}}$ zu bestimmen. Im Folgenden sind zwei Lösungswege aufgeführt.

Lösungsweg 1:

In dem Dreieck $AB{C}_n$ gilt: $\overline{AB}=\overline{A{D}_n}+\overline{D_{n}B}$

Umgestellt nach $\overline{D_{n}B}$ ergibt sich: $\overline{D_{n}B}=\overline{AB}-\overline{A{D}_n}$

Da $\overline{AB}=6\mathrm{cm}$, erhältst du $\overline{D_{n}B}=6\mathrm{cm}-\overline{A{D}_n}$.

Setzt man $\overline{A{D}_n}={\displaystyle \frac{\overline{C_n{D}_n}\cdot \cos \alpha }{\sin \alpha }}$ in $\overline{D_{n}B}=6\mathrm{cm}-\overline{A{D}_n}$ ein, so erhält man:

$\overline{D_{n}B}=6\mathrm{cm}-{\displaystyle \frac{\overline{C_n{D}_n}\cdot \cos \alpha }{\sin \alpha }}$

Nun kennst du für $\overline{D_{n}B}$ und für $\overline{A{D}_n}$ Ausdrücke in Abhängigkeit von $\overline{C_n{D}_n}$.

Diese Ausdrücke setzt man nun in die Volumenformel ein:

$${\displaystyle V_{\text{Ges}}=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (\overline{C_n{D}_n}{)}^2\cdot \overline{A{D}_n}+\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (\overline{C_n{D}_n}{)}^2\cdot \overline{D_{n}B}}$$

Damit ergibt sich:

$${\displaystyle V_{\text{Ges}}=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (\overline{C_n{D}_n}{)}^2\cdot \frac{\overline{C_n{D}_n}\cdot \cos \alpha }{\sin \alpha }+\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (\overline{C_n{D}_n}{)}^2\cdot (6\mathrm{cm}-\frac{\overline{C_n{D}_n}\cdot \cos \alpha }{\sin \alpha })}$$

Wenn du ${\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \pi \cdot (\overline{C_n{D}_n}{)}^2$ ausklammerst, erhältst du

Setzt du nun $\overline{C_n{D}_n}(\alpha )=6\cdot \sin (\alpha )\cdot \cos (\alpha )$ in die Gleichung ein, so ergibt sich:

Und damit hat man die Formel aus der Angabe korrekt hergeleitet.

Für $\alpha ={30}^{\circ }$ ergibt sich sodann $V_{\text{Ges}}=72\cdot \pi \cdot {\cos }^2({30}^{\circ })\cdot {\sin }^2({30}^{\circ })=\mathrm{42,41}{\mathrm{cm}}^3.$

Lösungsweg 2:

$\overline{D_{n}B}$ liegt in dem Dreieck $D_{n}B{C}_n$. Um $\overline{D_{n}B}$ in Abhängigkeit vom Winkel $\alpha$ darzustellen ist es also praktisch $\alpha$ in dem Dreieck $\overline{D_{n}B}$ zu suchen.

Mit Hilfe von $\sphericalangle D_n{C}_{n}A$ kannst du durch diesen Zusammenhang den Winkel $\sphericalangle B{C}_n{D}_n$ in Abhängigkeit von $\alpha$ darstellen:

$\sphericalangle B{C}_n{D}_n={90}^{\circ }-\sphericalangle D_n{C}_{n}A={90}^{\circ }-({90}^{\circ }-\alpha )=\alpha$

Dadurch lässt sich $\overline{D_{n}B}$ in Abhängigkeit von $\alpha$ darstellen:

Daraus folgt: $\overline{D_{n}B}=\tan \alpha \cdot \overline{C_n{D}_n}$

Da in der Endgleichung der Aufgabe kein Tangens vorkommt ist es sinnvoll diesen zu ersetzen. Diesen ersetzt du durch $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}$

Also ergibt sich:

$\overline{D_{n}B}={\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}\cdot \overline{C_n{D}_n}$

Nun kennst du also $\overline{D_{n}B}$ und $\overline{A{D}_n}$ in Abhängigkeit von $\overline{C_n{D}_n}$ und du kannst die beiden Streckenlängen in die Volumengleichung

$V_{\text{Ges}}=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (\overline{C_n{D}_n}{)}^2\cdot \overline{A{D}_n}+\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (\overline{C_n{D}_n}{)}^2\cdot \overline{D_{n}B}$

einsetzen.

Also: $V_{\text{Ges}}=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (\overline{C_n{D}_n}{)}^2\cdot \frac{\overline{C_n{D}_n}\cdot \cos \alpha }{\sin \alpha }+\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (\overline{C_n{D}_n}{)}^2\cdot \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\cdot \overline{C_n{D}_n}$

Zusammengefasst ergibt das:

$V_{\text{Ges}}=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (\overline{C_n{D}_n}{)}^3\cdot \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }+\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (\overline{C_n{D}_n}{)}^3\cdot \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$

Zum einfachen Rechnen klammert man aus: $V_{\text{Ges}}=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (\overline{C_n{D}_n}{)}^3\cdot [\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }+\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }]$

$[\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }+\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }]$ lässt sich zusammenfassen, dafür erweitern wir beide Brüche mit dem jeweils anderen Nenner (siehe auch Addition ungleichnamiger Brüche):

Mit $(\cos \alpha {)}^2+(\sin \alpha {)}^2=1$ (Trigonometrischer Pythagoras) ergibt sich dann für $V_{Ges}$ folgender Ausdruck:

$V_{\text{Ges}}=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (\overline{C_n{D}_n}{)}^3\cdot \frac{1}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha }$

Wegen $\overline{C_n{D}_n}(\alpha )=6\cdot \sin (\alpha )\cdot \cos (\alpha )\mathrm{cm}$ erhält man den Ausdruck $V_{\text{Ges}}=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (6\cdot \sin (\alpha )\cdot \cos (\alpha )\mathrm{cm}{)}^3\cdot \frac{1}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha }$

Ausmultipliziert und zusammengefasst, ergibt sich:

$V_{\text{Ges}}=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot \frac{(6\cdot \sin (\alpha )\cdot \cos (\alpha )\mathrm{cm}{)}^3}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha }$

$=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot \frac{6^3\cdot (\sin (\alpha ){)}^3\cdot (\cos (\alpha ){)}^3({\mathrm{cm}}^3)}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha }$

$=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 6^3\cdot (\sin (\alpha ){)}^2\cdot (\cos (\alpha ){)}^2({\mathrm{cm}}^3)$

$=72\cdot \pi \cdot {\cos }^2(\alpha )\cdot {\sin }^2(\alpha ){\mathrm{cm}}^3$

Und somit hat man das gewünschte Ergebnis hergeleitet.

Für $\alpha ={30}^{\circ }$ ergibt sich sodann $V_{\text{Ges}}=72\cdot \pi \cdot {\cos }^2({30}^{\circ })\cdot {\sin }^2({30}^{\circ }){\mathrm{cm}}^3=\mathrm{42,41}{\mathrm{cm}}^3$.

Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video noch eine Schritt-für-Schritt Lösung der Aufgabe anschauen.