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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Die gleichschenkligen DreieckeAnBnCn haben die Basen [AnBn]und die gemeinsame Höhe [CM]. Die Winkel AnCBn haben das Maß φ mit φ]0°;180°[. Es gilt: CM=5cm.

    Bild

    Die Zeichnung zeigt das Dreieck A1B1C für φ=80°

    1. Zeichnen Sie das Dreieck A2B2C für φ=50° in die Zeichnung zur Aufgabenstellung ein. (1 P)

    2. Zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt A der Dreiecke AnBnC in Abhängigkeit von φ gilt: A(φ)=25tanφ2cm2. (2 P)

    3. Der Flächeninhalt des Dreiecks A3B3C ist um 25 % größer als der Flächeninhalt des Dreiecks A2B2C. Berechnen Sie das Maß φ des Winkels A3CB3 des Dreiecks A3B3C auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet. (2 P)

  2. 2

    Im Koordinatensystem ist der Graph der Funktion f1 mit der Gleichung y=10(x+3)22,5 (𝔾=×) eingezeichnet.

    Bild
    1. Der Graph zu f1 wird durch orthogonale Affinität mit der x-Achse als Affinitätsachse und k als Affinitätsmaßstab (k{0}) auf den Graphen der Funktion f2 mit der Gleichung y=4(x+3)2+1 (𝔾=×) abgebildet.

      Bestimmen Sie den Affinitätsmaßstab k und geben Sie die Gleichungen der Asymptoten von f2 an.

      Zeichnen Sie sodann den Graphen zu f2 für x[6;4] in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein.

    2. Punkte An(x|10(x+3)22,5) auf dem Graphen zu f1 und Punkte Mn(x|4(x+3)2+1= auf dem Graphen zu f2 haben dieselbe Abszisse x.

      Die Punkte An sind für x>1 zusammen mit Punkten Bn,Cn und Dn die Eckpunkte von Rauten AnBnCnDn mit den Diagonalenschnittpunkten Mn.

      Es gilt: BnDn=4 LE

      Zeichnen Sie die Raute A1B1C1D1 mit dem Diagonalenschnittpunkt M1 für x=0,5 in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein.

    3. Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken [AnCn] in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte An gilt: AnCn(x)=[28(x+3)2+7] LE.

    4. Berechnen Sie den Flächeninhalt A der Trapeze ABnCnDn in Abhängigkeit von x.

      [Ergebnis: A(x)=(0,5x24,75x+27) cm2]

    5. Begründen Sie, dass die Rauten AnBnCnDn stets einen kleineren Flächeninhalt als 14 FE besitzen.

  3. 3

    Punkte Cn liegen auf dem Thaleskreis über der Strecke [AB] mit dem Mittelpunkt M. Die Winkel BACn haben das Maß α mit α]0;90[. Die Punkte A,B und Cn sind die Eckpunkte von Dreiecken ABCn. Punkte Dn sind die Fußpunkte der Lote von den Punkten Cn auf die Strecke [AB].

    Es gilt: AB=6 cm

    Bild
    1. Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken [CnDn] in Abhängigkeit von α gilt:

      CnDn(α)=6cosαsinα  cm

    2. Die Dreiecke ABCn rotieren um die Achse AB.

      Begründen Sie rechnerisch, dass für das Volumen V der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von α gilt: V(α)=72πcos2αsin2α   cm3

      Berechnen Sie sodann für α=30 das Volumen des entstehenden Rotationskörpers.


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