Teil A - lernen mit Serlo!

Punkte $C_{n}$ liegen auf dem Thaleskreis über der Strecke $[A B]$ mit dem Mittelpunkt $M$ . Die Winkel $B A C_{n}$ haben das Maß $α$ mit $α \in] 0^{\circ}; 90^{\circ} [$ . Die Punkte $A, B$ und $C_{n}$ sind die Eckpunkte von Dreiecken $A B C_{n}$ . Punkte $D_{n}$ sind die Fußpunkte der Lote von den Punkten $C_{n}$ auf die Strecke $[A B]$ .

Es gilt: $A B = 6 c m$

Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken $[C_{n} D_{n}]$ in Abhängigkeit von $α$ gilt:
$C_{n} D_{n} (α) = 6 \cdot \cos α \sin α cm$

Teilaufgabe a
In dieser Teilaufgabe wendest du die trigonometrischen Beziehungen an, um die Länge $C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit des Winkels $α$ zu bestimmen. Zunächst benutzen wir die Formel
$\sin (α) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$
im linken kleinen Dreieck $A C_{n} D_{n}$ . Da der Winkel $∢ A D_{n} C_{n}$ rechtwinklig ist, darfst du die trigonometrischen Beziehungen anwenden. Hier ist die Strecke $[C_{n} D_{n}]$ die Gegenkathete und die Strecke $[A C_{n}]$ die Hypotenuse. Also gilt
$\sin (α)$ $=$ $\frac{C_{n} D_{n}}{A D_{n}}$ $\cdot A D_{n}$
$\Rightarrow C_{n} D_{n}$ $=$ $\sin (α) \cdot A D_{n}$
Jetzt benötigen wir jedoch noch einen Ausdruck für die unbekannte Länge $A D_{n}$ . Dazu benutzen wir nun die Kosinusformel
$\cos (α) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$
im großen rechtwinkligen Dreieck $A B C_{n}$ . Erinnere dich, dass hier der Winkel $A C_{n} B$ gemäß dem Satz des Thales rechtwinklig ist. Folglich ist nun die Ankathete die Strecke $[A D_{n}]$ und die Strecke $[A B]$ die Hypotenuse. Also gilt
$\cos (α)$ $=$ $\frac{A D_{n}}{A B}$ $\cdot A B$
$\Rightarrow A D_{n}$ $=$ $\cos (α) \cdot A B$
Diese Beziehung setzen wir nun in die Gleichung $C_{n} D_{n} = \sin (α) \cdot A D_{n}$ ein und erhalten abschließend
$C_{n} D_{n} (α) = \sin (α) \cdot \cos (α) \cdot A B = 6 \cdot \sin (α) \cdot \cos (α) cm .$
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Die Dreiecke $A B C_{n}$ rotieren um die Achse $A B$ .

Begründen Sie rechnerisch, dass für das Volumen $V$ der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von $α$ gilt: $V (α) = 72 \cdot π \cos^{2} α \cdot \sin^{2} α {cm}^{3}$

Berechnen Sie sodann für $α = 30^{\circ}$ das Volumen des entstehenden Rotationskörpers.

Teilaufgabe b

Allgemeines

In dieser Aufgabe sollst du das Volumen des Rotationskörpers bestimmen und dabei zeigen, dass dieses mit $V (α) = 72 \cdot π \cdot \cos^{2} (α) \cdot \sin^{2} (α) {cm}^{3}$ berechnet werden kann.

Hierzu überlegst du dir zunächst, welche Figur bei der Rotation entsteht. Die Dreiecke $A B C_{n}$ rotieren um die Achse $[A B]$ . Dabei entstehen in Abhängigkeit von $α$ Rotationskörper.

Für die Berechnung des Volumens der Rotationskörper ist es hilfreich, wenn du das Dreieck $A B C_{n}$ in die zwei Dreiecke $A D_{n} C_{n}$ und $D_{n} B C_{n}$ unterteilst.

(siehe Darstellung)

Das Dreieck wird in zwei Teildreiecke und unterteilt — Das Dreieck $A B C_{n}$ wird in zwei Teildreiecke $A D_{n} C_{n}$ und $D_{n} B C_{n}$ unterteilt

Durch die Rotation dieser Dreiecke entstehen zwei Kegel:

Durch $A D_{n} C_{n}$ entsteht ein Kegel mit dem Volumen $V_{Kegel 1}$ .
Durch $D_{n} B C_{n}$ entsteht ein Kegel mit dem Volumen $V_{Kegel 2}$ .

Für das Volumen eines Kegels gilt mit der Grundfläche $G$ und der Höhe $h$ folgende Formel: $V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$ . Es gilt für die Grundfläche $G = π \cdot r^{2}$ .

Sowohl für $V_{Kegel 1}$ als auch für $V_{Kegel 2}$ gilt $r = C_{n} D_{n}$ und dementsprechend $G = π \cdot (C_{n} D_{n})^{2}$ .

Für $V_{Kegel 1}$ gilt $h = A D_{n}$ und daraus folgt $V_{Kegel1} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot (C_{n} D_{n})^{2} \cdot A D_{n}$ .

Ähnlich gilt für $V_{Kegel 2}$ , dass $h = D_{n} B$ und dementsprechend auch $V_{Kegel 2} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot (C_{n} D_{n})^{2} \cdot D_{n} B$ .

Für das Gesamtvolumen erhältst du nun

$V_{g e s}$	$=$	$V_{K e g e l_{1}} + V_{K e g e l_{2}}$
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot π (C_{n} D_{n})^{2} \cdot A D_{n} + \frac{1}{3} \cdot π (C_{n} D_{n})^{2} \cdot D_{n} B$

In Aufgabe a hast du gesehen, dass

C_{n} D_{n} (α) = 6 \cdot \sin (α) \cdot \cos (α) cm .

Somit fehlen uns für die Darstellung der Lösung nur noch die Längen $A D_{n}$ und $D_{n} B$ .

Bestimmung von $A D_{n}$

Mithilfe des Tangens stellt man in dem Dreieck $A D_{n} C_{n}$ folgende Formel auf:

\tan α = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} = \frac{C_{n} D_{n}}{A D_{n}}

Durch Umformung der Gleichung ergibt sich:

$\tan α$	$=$	$\frac{C_{n} D_{n}}{A D_{n}}$	$\cdot A D_{n}$
$\tan α \cdot A D_{n}$	$=$	$C_{n} D_{n}$	$: \tan α$
$A D_{n}$	$=$	$\frac{C_{n} D_{n}}{\tan α}$

Da in der Gleichung aus der Angabe kein Tangens vorkommt, ist es sinnvoll diesen zu ersetzen. Diesen ersetzt du durch $\tan α = \frac{\sin α}{\cos α}$ .

Also ergibt sich (unter Anwendung der Rechenregel für Doppelbrüche):

$A D_{n} = \frac{C_{n} D_{n}}{\tan α} = \frac{C_{n} D_{n} \cdot \cos α}{\sin α}$

Bestimmung von $D_{n} B$ :

Für die Bestimmung von $D_{n} B$ gibt es mehrere Möglichkeiten. Aus diesen Möglichkeiten ergeben sich verschiedene Lösungswege, um $V_{Ges}$ zu bestimmen. Im Folgenden sind zwei Lösungswege aufgeführt.

Lösungsweg 1 beschreibt einen kurzen Lösungsweg und ist eine elegante, kurze und zielführende Variante.

Lösungsweg 2 enthält einen ebenfalls zielführenden (aber längeren) Lösungsweg.

Lösungsweg 1:

In dem Dreieck $A B C_{n}$ gilt: $A B = A D_{n} + D_{n} B$

Umgestellt nach $D_{n} B$ ergibt sich: $D_{n} B = A B - A D_{n}$

Da $A B = 6 cm$ , erhältst du $D_{n} B = 6 cm - A D_{n}$ .

Setzt man $A D_{n} = \frac{C_{n} D_{n} \cdot \cos α}{\sin α}$ in $D_{n} B = 6 cm - A D_{n}$ ein, so erhält man:

$D_{n} B = 6 cm - \frac{C_{n} D_{n} \cdot \cos α}{\sin α}$

Nun kennst du für $D_{n} B$ und für $A D_{n}$ Ausdrücke in Abhängigkeit von $C_{n} D_{n}$ .

Diese Ausdrücke setzt man nun in die Volumenformel ein:

$V_{Ges} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot (C_{n} D_{n})^{2} \cdot A D_{n} + \frac{1}{3} \cdot π \cdot (C_{n} D_{n})^{2} \cdot D_{n} B$

Damit ergibt sich:

$V_{Ges} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot (C_{n} D_{n})^{2} \cdot \frac{C_{n} D_{n} \cdot \cos α}{\sin α} + \frac{1}{3} \cdot π \cdot (C_{n} D_{n})^{2} \cdot (6 cm - \frac{C_{n} D_{n} \cdot \cos α}{\sin α})$

Wenn du $\frac{1}{3} \cdot π \cdot (C_{n} D_{n})^{2}$ ausklammerst, erhältst du

$V_{G e s}$	$=$	$\frac{1}{3} \cdot π \cdot (C_{n} D_{n})^{2} \cdot [\frac{C_{n} D_{n} \cdot \cos α}{\sin α} + (6 - \frac{C_{n} D_{n} \cdot \cos α}{\sin α})]$
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot π \cdot (C_{n} D_{n})^{2} \cdot 6$

Setzt du nun $C_{n} D_{n} (α) = 6 \cdot \sin (α) \cdot \cos (α)$ in die Gleichung ein, so ergibt sich:

$V_{G e s}$	$=$	$\frac{1}{3} \cdot π \cdot (6 \cdot \sin α \cdot \cos α)^{2} \cdot 6$
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot π \cdot 6^{3} \cdot \sin^{2} α \cdot \cos^{2} α$
	$=$	$72 \cdot π \cdot \cos^{2} α \cdot \sin^{2} α$

Und damit hat man die Formel aus der Angabe korrekt hergeleitet.

Für $α = 30^{\circ}$ ergibt sich sodann $V_{Ges} = 72 \cdot π \cdot \cos^{2} (30^{\circ}) \cdot \sin^{2} (30^{\circ}) = 42,41 {cm}^{3} .$

Lösungsweg 2:

$D_{n} B$ liegt in dem Dreieck $D_{n} B C_{n}$ . Um $D_{n} B$ in Abhängigkeit vom Winkel $α$ darzustellen ist es also praktisch $α$ in dem Dreieck $D_{n} B$ zu suchen.

Zunächst beginnst du in dem Dreieck, indem $α$ vorzufinden ist: also in $A D_{n} C_{n}$ . Dort findest du den Winkel $α$ und einen $90^{\circ}$ Winkel. Über die Winkelsumme im Dreieck kannst du also den Winkel $∢ D_{n} C_{n} A$ errechnen: $∢ D_{n} C_{n} A = 180^{\circ} - 90^{\circ} - α$ daraus folgt $∢ D_{n} C_{n} A = 90^{\circ} - α$ .

Da das Dreieck $A B C_{n}$ mit $C_{n}$ stets auf dem Thaleskreis liegt gilt allgemein für die Winkel $B C_{n} A$ , dass $∢ B C_{n} A = 90^{\circ}$ .

Winkel der Dreiecke , , — Winkel der Dreiecke $A B C_{n}$ , $A D_{n} C_{n}$ , $D_{n} B C_{n}$

Mit Hilfe von $∢ D_{n} C_{n} A$ kannst du durch diesen Zusammenhang den Winkel $∢ B C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von $α$ darstellen:

$∢ B C_{n} D_{n} = 90^{\circ} - ∢ D_{n} C_{n} A = 90^{\circ} - (90^{\circ} - α) = α$

Dadurch lässt sich $D_{n} B$ in Abhängigkeit von $α$ darstellen:

$\tan α$	$=$	$\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$
	$=$	$\frac{D_{n} B}{C_{n} D_{n}}$

Daraus folgt: $D_{n} B = \tan α \cdot C_{n} D_{n}$

Da in der Endgleichung der Aufgabe kein Tangens vorkommt ist es sinnvoll diesen zu ersetzen. Diesen ersetzt du durch $\tan α = \frac{\sin α}{\cos α}$

Also ergibt sich:

$D_{n} B = \frac{\sin α}{\cos α} \cdot C_{n} D_{n}$

Nun kennst du also $D_{n} B$ und $A D_{n}$ in Abhängigkeit von $C_{n} D_{n}$ und du kannst die beiden Streckenlängen in die Volumengleichung

$V_{Ges} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot (C_{n} D_{n})^{2} \cdot A D_{n} + \frac{1}{3} \cdot π \cdot (C_{n} D_{n})^{2} \cdot D_{n} B$

einsetzen.

Also: $V_{Ges} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot (C_{n} D_{n})^{2} \cdot \frac{C_{n} D_{n} \cdot \cos α}{\sin α} + \frac{1}{3} \cdot π \cdot (C_{n} D_{n})^{2} \cdot \frac{\sin α}{\cos α} \cdot C_{n} D_{n}$

Zusammengefasst ergibt das:

$V_{Ges} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot (C_{n} D_{n})^{3} \cdot \frac{\cos α}{\sin α} + \frac{1}{3} \cdot π \cdot (C_{n} D_{n})^{3} \cdot \frac{\sin α}{\cos α}$

Zum einfachen Rechnen klammert man aus: $V_{Ges} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot (C_{n} D_{n})^{3} \cdot [\frac{\cos α}{\sin α} + \frac{\sin α}{\cos α}]$

$[\frac{\cos α}{\sin α} + \frac{\sin α}{\cos α}]$ lässt sich zusammenfassen, dafür erweitern wir beide Brüche mit dem jeweils anderen Nenner (siehe auch Addition ungleichnamiger Brüche):

$\frac{\cos α}{\sin α} + \frac{\sin α}{\cos α}$	$=$	$\frac{\cos α \cdot \cos α}{\sin α \cdot \cos α} + \frac{\sin α \cdot \sin α}{\cos α \cdot \sin α}$
	$=$	$\frac{(\cos α)^{2}}{\sin α \cdot \cos α} + \frac{(\sin α)^{2}}{\cos α \cdot \sin α}$
	$=$	$\frac{(\cos α)^{2} + (\sin α)^{2}}{\cos α \cdot \sin α}$

Mit $(\cos α)^{2} + (\sin α)^{2} = 1$ (Trigonometrischer Pythagoras) ergibt sich dann für $V_{G e s}$ folgender Ausdruck:

$V_{Ges} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot (C_{n} D_{n})^{3} \cdot \frac{1}{\sin α \cdot \cos α}$

Wegen $C_{n} D_{n} (α) = 6 \cdot \sin (α) \cdot \cos (α) cm$ erhält man den Ausdruck $V_{Ges} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot (6 \cdot \sin (α) \cdot \cos (α) cm)^{3} \cdot \frac{1}{\sin α \cdot \cos α}$

Ausmultipliziert und zusammengefasst, ergibt sich:

$V_{Ges} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot \frac{(6 \cdot \sin (α) \cdot \cos (α) cm)^{3}}{\sin α \cdot \cos α}$

$= \frac{1}{3} \cdot π \cdot \frac{6^{3} \cdot (\sin (α))^{3} \cdot (\cos (α))^{3} ({cm}^{3})}{\sin α \cdot \cos α}$

$= \frac{1}{3} \cdot π \cdot 6^{3} \cdot (\sin (α))^{2} \cdot (\cos (α))^{2} ({cm}^{3})$

$= 72 \cdot π \cdot \cos^{2} (α) \cdot \sin^{2} (α) {cm}^{3}$

Und somit hat man das gewünschte Ergebnis hergeleitet.

Für $α = 30^{\circ}$ ergibt sich sodann $V_{Ges} = 72 \cdot π \cdot \cos^{2} (30^{\circ}) \cdot \sin^{2} (30^{\circ}) {cm}^{3} = 42,41 {cm}^{3}$ .

Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video noch eine Schritt-für-Schritt Lösung der Aufgabe anschauen.

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[https://youtu.be/eLJSXyNtzHU]

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Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$\sin (α)$	$=$	$\frac{C_{n} D_{n}}{A D_{n}}$	$\cdot A D_{n}$
$\Rightarrow C_{n} D_{n}$	$=$	$\sin (α) \cdot A D_{n}$

$\cos (α)$	$=$	$\frac{A D_{n}}{A B}$	$\cdot A B$
$\Rightarrow A D_{n}$	$=$	$\cos (α) \cdot A B$

Teilaufgabe a

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Teilaufgabe b

Allgemeines

Bestimmung von ADn

Bestimmung von DnB:

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Bestimmung von $A D_{n}$

Bestimmung von $D_{n} B$ :