Teil A - lernen mit Serlo!

…

Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.

Punkte $C_n$ liegen auf dem Thaleskreis über der Strecke $[AB]$ mit dem Mittelpunkt $M$ . Die Winkel $BAC_n$ haben das Maß $\alpha$ mit $\alpha\in]0^\circ;90^\circ[$ . Die Punkte $A,B$ und $C_n$ sind die Eckpunkte von Dreiecken $ABC_n$ . Punkte $D_n$ sind die Fußpunkte der Lote von den Punkten $C_n$ auf die Strecke $[AB]$ .

Es gilt: $\overline{AB}=6~cm$

Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken $[C_nD_n]$ in Abhängigkeit von $\alpha$ gilt:

$\overline{C_nD_n}(\alpha)=6\cdot\cos\alpha\sin\alpha~~\text{cm}$

Teilaufgabe a

In dieser Teilaufgabe wendest du die trigonometrischen Beziehungen an, um die Länge $\overline{C_nD_n}$ in Abhängigkeit des Winkels $\alpha$ zu bestimmen. Zunächst benutzen wir die Formel

\displaystyle\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}

im linken kleinen Dreieck $AC_nD_n$ . Da der Winkel $\sphericalangle AD_nC_n$ rechtwinklig ist, darfst du die trigonometrischen Beziehungen anwenden. Hier ist die Strecke $[C_nD_n]$ die Gegenkathete und die Strecke $[AC_n]$ die Hypotenuse. Also gilt

$\displaystyle \displaystyle\sin(\alpha)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{C_nD_n}}{\overline{AD_n}}$	$\displaystyle \cdot \overline{AD_n}$
$\displaystyle \Rightarrow \overline{C_nD_n}$	$=$	$\displaystyle \sin (\alpha )\cdot \overline{AD_n}$

Jetzt benötigen wir jedoch noch einen Ausdruck für die unbekannte Länge $\overline{AD_n}$ . Dazu benutzen wir nun die Kosinusformel

\displaystyle\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}

im großen rechtwinkligen Dreieck $ABC_n$ . Erinnere dich, dass hier der Winkel $AC_n B$ gemäß dem Satz des Thales rechtwinklig ist. Folglich ist nun die Ankathete die Strecke $[AD_n]$ und die Strecke $[AB]$ die Hypotenuse. Also gilt

$\displaystyle \displaystyle\cos(\alpha)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{AD_n}}{\overline{AB}}$	$\displaystyle \cdot \overline{AB}$
$\displaystyle \Rightarrow \overline{AD_n}$	$=$	$\displaystyle \cos (\alpha )\cdot \overline{AB}$

Diese Beziehung setzen wir nun in die Gleichung $\overline{C_nD_n}=\sin(\alpha)\cdot\overline{AD_n}$ ein und erhalten abschließend

\displaystyle\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👇

Die Dreiecke $ABC_n$ rotieren um die Achse $AB$ .

Begründen Sie rechnerisch, dass für das Volumen $V$ der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von $\alpha$ gilt: $V(\alpha)=72\cdot\pi\cos^2\alpha\cdot\sin^2\alpha~~~\text{cm}^3$

Berechnen Sie sodann für $\alpha=30^\circ$ das Volumen des entstehenden Rotationskörpers.

Teilaufgabe b

Allgemeines

In dieser Aufgabe sollst du das Volumen des Rotationskörpers bestimmen und dabei zeigen, dass dieses mit $V(\alpha) = 72 \cdot \pi \cdot {\cos^2(\alpha) \cdot \sin^2(\alpha)\,\mathrm{cm}^3}$ berechnet werden kann.

Hierzu überlegst du dir zunächst, welche Figur bei der Rotation entsteht. Die Dreiecke $ABC_n$ rotieren um die Achse $[AB]$ . Dabei entstehen in Abhängigkeit von $\alpha$ Rotationskörper.

Das Dreieck wird in zwei Teildreiecke und unterteilt — Das Dreieck $ABC_n$ wird in zwei Teildreiecke $AD_nC_n$ und $D_nBC_n$ unterteilt

Für die Berechnung des Volumens der Rotationskörper ist es hilfreich, wenn du das Dreieck $ABC_n$ in die zwei Dreiecke $AD_nC_n$ und $D_nBC_n$ unterteilst.

(siehe Darstellung)

Durch die Rotation dieser Dreiecke entstehen zwei Kegel:

Durch $AD_nC_n$ entsteht ein Kegel mit dem Volumen $V_{\text{Kegel}1}$ .
Durch $D_nBC_n$ entsteht ein Kegel mit dem Volumen $V_{\text{Kegel}2}$ .

Für das Volumen eines Kegels gilt mit der Grundfläche $G$ und der Höhe $h$ folgende Formel: $V= \frac13 \cdot G \cdot h$ . Es gilt für die Grundfläche $G = \pi \cdot r^2$ .

Sowohl für $V_{\text{Kegel}1}$ als auch für $V_{\text{Kegel}2}$ gilt $r = \overline{C_nD_n}$ und dementsprechend $G = \pi \cdot(\overline{C_nD_n})^2$ .

Für $V_{\text{Kegel}1}$ gilt $h = \overline{AD_n}$ und daraus folgt $V_{\text{Kegel1}} = \frac13\cdot \pi \cdot (\overline{C_nD_n})^2 \cdot \overline{AD_n}$ .

Ähnlich gilt für $V_{\text{Kegel}2}$ , dass $h = \overline{D_nB}$ und dementsprechend auch $V_{\text{Kegel}2} = \frac13\cdot \pi \cdot (\overline{C_nD_n})^2 \cdot \overline{D_nB}$ .

Für das Gesamtvolumen erhältst du nun

$\displaystyle V_{ges}$	$=$	$\displaystyle V_{Kegel_1}+V_{Kegel_2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot \pi (\overline{C_nD_n})^2\cdot \overline{AD_n}+\frac{1}{3}\cdot \pi (\overline{C_nD_n})^2\cdot \overline{D_nB}$

In Aufgabe a hast du gesehen, dass

\displaystyle\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}

Somit fehlen uns für die Darstellung der Lösung nur noch die Längen $\overline{AD_n}$ und $\overline{D_nB}$ .

Bestimmung von $\overline{AD_n}$

Mithilfe des Tangens stellt man in dem Dreieck $AD_nC_n$ folgende Formel auf:

\displaystyle\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}

Durch Umformung der Gleichung ergibt sich:

$\displaystyle \displaystyle \tan{\alpha}$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{C_nD_n}}{\overline{AD_n}}$	$\displaystyle \cdot \overline{AD_n}$
$\displaystyle \tan \alpha \cdot \overline{AD_n}$	$=$	$\displaystyle \overline{C_nD_n}$	$\displaystyle :\tan \alpha$
$\displaystyle \displaystyle \overline{AD_n}$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{C_nD_n}}{\tan \alpha }$

Da in der Gleichung aus der Angabe kein Tangens vorkommt, ist es sinnvoll diesen zu ersetzen. Diesen ersetzt du durch $\tan{\alpha} = \dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}$ .

Also ergibt sich (unter Anwendung der Rechenregel für Doppelbrüche):

$\displaystyle \overline{AD_n} = \frac{\overline{C_nD_n}}{\tan{\alpha}} = \frac{{\overline{C_nD_n}}\cdot \cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}$

Bestimmung von $\overline{D_nB}$ :

Für die Bestimmung von $\overline{D_nB}$ gibt es mehrere Möglichkeiten. Aus diesen Möglichkeiten ergeben sich verschiedene Lösungswege, um $V_{\text{Ges}}$ zu bestimmen. Im Folgenden sind zwei Lösungswege aufgeführt.

Lösungsweg 1 beschreibt einen kurzen Lösungsweg und ist eine elegante, kurze und zielführende Variante.

Lösungsweg 2 enthält einen ebenfalls zielführenden (aber längeren) Lösungsweg.

Lösungsweg 1:

In dem Dreieck $ABC_n$ gilt: $\overline{AB} = \overline{AD_n} + \overline{D_nB}$

Umgestellt nach $\overline{D_nB}$ ergibt sich: $\overline{D_nB} = \overline{AB} - \overline{AD_n}$

Da $\overline{AB} = 6 \,\mathrm{cm}$ , erhältst du $\overline{D_nB} = 6\,\mathrm{cm} - \overline{AD_n}$ .

Setzt man $\overline{AD_n} = \dfrac{{\overline{C_nD_n}}\cdot \cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}$ in $\overline{D_nB} = 6\,\mathrm{cm} - \overline{AD_n}$ ein, so erhält man:

$\overline{D_nB} = 6 \,\mathrm{cm} - \dfrac{{\overline{C_nD_n}}\cdot \cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}$

Nun kennst du für $\overline{D_nB}$ und für $\overline{AD_n}$ Ausdrücke in Abhängigkeit von $\overline{C_nD_n}$ .

Diese Ausdrücke setzt man nun in die Volumenformel ein:

$\displaystyle V_{\text{Ges}} = \frac13 \cdot \pi \cdot (\overline{C_nD_n})^2 \cdot \overline{AD_n} + \frac13\cdot \pi \cdot (\overline{C_nD_n})^2 \cdot \overline{D_nB}$

Damit ergibt sich:

$\displaystyle V_{\text{Ges}} = \frac13 \cdot \pi \cdot (\overline{C_nD_n})^2 \cdot \frac{{\overline{C_nD_n}}\cdot \cos{\alpha}}{\sin{\alpha}} + \frac13\cdot \pi \cdot (\overline{C_nD_n})^2 \cdot \left(6\,\mathrm{cm} - \frac{{\overline{C_nD_n}}\cdot \cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}\right)$

Wenn du $\dfrac13 \cdot \pi \cdot (\overline{C_nD_n})^2$ ausklammerst, erhältst du

$\displaystyle V_{Ges}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (\overline{C_nD_n})^2\cdot \left[\frac{\overline{C_nD_n}\cdot \cos \alpha }{\sin \alpha }+\left(6-\frac{\overline{C_nD_n}\cdot \cos \alpha }{\sin \alpha }\right)\right]$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (\overline{C_nD_n})^2\cdot 6$

Setzt du nun $\overline{C_nD_n}(\alpha)= 6\cdot\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)$ in die Gleichung ein, so ergibt sich:

$\displaystyle V_{Ges}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (6\cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha )^2\cdot 6$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 6^3\cdot \sin ^2\alpha \cdot \cos ^2\alpha$
	$=$	$\displaystyle 72\cdot \pi \cdot \cos ^2\alpha \cdot \sin ^2\alpha$

Und damit hat man die Formel aus der Angabe korrekt hergeleitet.

Für $\alpha = 30^\circ$ ergibt sich sodann $V_{\text{Ges}} = 72 \cdot \pi \cdot {\cos^2(30^\circ) \cdot \sin^2(30^\circ)\,} = 42{,}41 \,\mathrm{cm}^3.$

Lösungsweg 2:

$\overline{D_nB}$ liegt in dem Dreieck $D_nBC_n$ . Um $\overline{D_nB}$ in Abhängigkeit vom Winkel $\alpha$ darzustellen ist es also praktisch $\alpha$ in dem Dreieck $\overline{D_nB}$ zu suchen.

Winkel der Dreiecke , , — Winkel der Dreiecke $ABC_n$ , $AD_nC_n$ , $D_nBC_n$

Zunächst beginnst du in dem Dreieck, indem $\alpha$ vorzufinden ist: also in $AD_nC_n$ . Dort findest du den Winkel $\alpha$ und einen ${90^\circ}$ Winkel. Über die Winkelsumme im Dreieck kannst du also den Winkel $\sphericalangle D_nC_nA$ errechnen: $\sphericalangle D_nC_nA = {180^\circ} - {90^\circ} - \alpha$ daraus folgt $\sphericalangle D_nC_nA = {90^\circ} - \alpha$ .

Da das Dreieck $ABC_n$ mit $C_n$ stets auf dem Thaleskreis liegt gilt allgemein für die Winkel $BC_nA$ , dass $\sphericalangle BC_nA = {90^\circ}$ .

Mit Hilfe von $\sphericalangle D_nC_nA$ kannst du durch diesen Zusammenhang den Winkel $\sphericalangle BC_nD_n$ in Abhängigkeit von $\alpha$ darstellen:

$\sphericalangle BC_nD_n = {90^\circ} - \sphericalangle D_nC_nA = {90^\circ} - ({{90^\circ} - {\alpha}}) = \alpha$

Dadurch lässt sich $\overline{D_nB}$ in Abhängigkeit von $\alpha$ darstellen:

$\displaystyle \tan \alpha$	$=$	$\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{D_nB}}{\overline{C_nD_n}}$

Daraus folgt: $\overline{D_nB} = \tan{\alpha} \cdot \overline{C_nD_n}$

Da in der Endgleichung der Aufgabe kein Tangens vorkommt ist es sinnvoll diesen zu ersetzen. Diesen ersetzt du durch $\tan{\alpha} = \dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}$

Also ergibt sich:

$\overline{D_nB} = \dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} \cdot \overline{C_nD_n}$

Nun kennst du also $\overline{D_nB}$ und $\overline{AD_n}$ in Abhängigkeit von $\overline{C_nD_n}$ und du kannst die beiden Streckenlängen in die Volumengleichung

$V_\text{Ges}=\frac13\cdot\pi\cdot(\overline{C_nD_n})^2\cdot\overline{AD_n}+\frac13\cdot\pi\cdot(\overline{C_nD_n})^2\cdot\overline{D_nB}$

einsetzen.

Also: $V_\text{Ges}= \frac13 \cdot \pi \cdot (\overline{C_nD_n})^2 \cdot \frac{{\overline{C_nD_n}}\cdot \cos{\alpha}}{\sin{\alpha}} +\frac13 \cdot \pi \cdot (\overline{C_nD_n})^2 \cdot \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} \cdot \overline{C_nD_n}$

Zusammengefasst ergibt das:

$V_\text{Ges}= \frac13 \cdot \pi \cdot (\overline{C_nD_n})^3 \cdot \frac{ \cos{\alpha}}{\sin{\alpha}} +\frac13 \cdot \pi \cdot (\overline{C_nD_n})^3 \cdot \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}$

Zum einfachen Rechnen klammert man aus: $V_\text{Ges}= \frac13 \cdot \pi \cdot (\overline{C_nD_n})^3 \cdot [\frac{ \cos{\alpha}}{\sin{\alpha}} + \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}]$

$[ \frac{ \cos{\alpha}}{\sin{\alpha}} + \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} ]$ lässt sich zusammenfassen, dafür erweitern wir beide Brüche mit dem jeweils anderen Nenner (siehe auch Addition ungleichnamiger Brüche):

$\displaystyle \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }+\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$	$=$	$\displaystyle \frac{\cos \alpha \cdot \cos \alpha }{\sin \alpha \cdot \cos \alpha }+\frac{\sin \alpha \cdot \sin \alpha }{\cos \alpha \cdot \sin \alpha }$
	$=$	$\displaystyle \frac{(\cos \alpha )^2}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha }+\frac{(\sin \alpha )^2}{\cos \alpha \cdot \sin \alpha }$
	$=$	$\displaystyle \frac{(\cos \alpha )^2+(\sin \alpha )^2}{\cos \alpha \cdot \sin \alpha }$

Mit $(\cos{\alpha})^2 + (\sin{\alpha})^2 = 1$ (Trigonometrischer Pythagoras) ergibt sich dann für $V_{Ges}$ folgender Ausdruck:

$V_\text{Ges}= \frac13 \cdot \pi \cdot (\overline{C_nD_n})^3 \cdot \frac{1}{\sin{\alpha}\cdot\cos{\alpha}}$

Wegen $\overline{C_nD_n}(\alpha)=6\cdot\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)\,\mathrm{cm}$ erhält man den Ausdruck $V_\text{Ges}= \frac13 \cdot \pi \cdot (6\cdot\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)\,\mathrm{cm})^3 \cdot \frac{1}{\sin{\alpha}\cdot\cos{\alpha}}$

Ausmultipliziert und zusammengefasst, ergibt sich:

$V_\text{Ges}= \frac13 \cdot \pi \cdot \frac{(6\cdot\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)\,\mathrm{cm})^3}{\sin{\alpha}\cdot\cos{\alpha}}$

$= \frac13 \cdot \pi \cdot \frac{6^3\cdot(\sin(\alpha))^3\cdot(\cos(\alpha))^3\,(\mathrm{cm}^3)}{\sin{\alpha}\cdot\cos{\alpha}}$

$= \frac13 \cdot \pi \cdot {6^3\cdot(\sin(\alpha))^2\cdot(\cos(\alpha))^2\,(\mathrm{cm}^3)}$

$= 72 \cdot \pi \cdot {\cos^2(\alpha) \cdot \sin^2(\alpha)\,\mathrm{cm}^3}$

Und somit hat man das gewünschte Ergebnis hergeleitet.

Für $\alpha = 30^\circ$ ergibt sich sodann $V_{\text{Ges}} = 72 \cdot \pi \cdot {\cos^2(30^\circ) \cdot \sin^2(30^\circ)\,\mathrm{cm}^3} = 42{,}41 \,\mathrm{cm}^3$ .

Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video noch eine Schritt-für-Schritt Lösung der Aufgabe anschauen.

Mit einem Klick auf Bild oder Button oben stimmst du zu, dass externe Inhalte von YouTube geladen werden. Dabei können persönliche Daten zu diesem Service übertragen werden – entsprechend unserer Datenschutzerklärung.

[https://youtu.be/eLJSXyNtzHU]

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👇

Teilaufgabe a

Hast du eine Frage oder Feedback?

Teilaufgabe b

Allgemeines

Bestimmung von ADn‾\overline{AD_n}ADn​​

Bestimmung von DnB‾\overline{D_nB}Dn​B​:

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bestimmung von $\overline{AD_n}$

Bestimmung von $\overline{D_nB}$ :