Allgemeine Normalform: $f(x)=x^2+px+q$

Setze jeweils die Punkte $A$ und $B$ in die Gleichung ein.

(I) Punkt $A$: $0={\mathrm{1,5}}^2+\mathrm{1,5}p+q$

(II) Punkt $B$: $0=6^2+6p+q$

$\mathrm{2,25}+\mathrm{1,5}p+q=36+6p+q$

$-\mathrm{33,75}=\mathrm{4,5}p$

$p=-\mathrm{7,5}$

Setze $p$ z.B in (II) ein.

$0=6^2+6\cdot (-\mathrm{7,5})+q$

$0=36-45+q$

$q=9$

$p_1:y=x^2-\mathrm{7,5}x+9$

${\mathrm{p}}_2:\mathrm{y}=-{\mathrm{x}}^2-10\mathrm{x}-22$

Scheitelform: $f\left(x\right)=a(x-d{)}^2+e$

Quadratische Ergänzung:

$f(x)=-(x+5{)}^2+3$

Die Koordinaten des Scheitelpunktes lauten $x=-5$ und $y=3$.

$S_2(-5|3)$

$p_3:y=-(x+4{)}^2+9$

$p_3:y=-x^2-8x-16+9$

$p_3:y=-(x^2+8x+7)$

$\Rightarrow p_4:y=x^2+8x+7$

$p_3:y=-(x+4{)}^2+9$

$p_3:y=-x^2-8x-16+9$

Setze $y=0$: $0=-x^2-8x-7$

Mitternachtsformel: $x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

$x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{8\pm \sqrt{(-8{)}^2-4\cdot (-1)\cdot (-7)}}{-2}}$

$x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{8\pm \sqrt{(64-28)}}{-2}}={\displaystyle \frac{8\pm \sqrt{(36)}}{-2}}$

$x_1=-7$

$x_2=-1$

Die Koordinaten der beiden Schnittpunkte lauten: $N_1(-1|0$) und $N_2(-7|0)$.

Die Funktionsgleichung $p_5:y=x^2$ ist eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt $S_5(0|0)$. Die Werte sind immer positiv. Die Parabel verläuft im 1. und 2. Quadranten.

Die Funktionsgleichung $p_6:y=-(x-2{)}^2-3$ ist eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt $S_6(2|-3)$. Sie verläuft im 3. und 4. Quadraten.

$\Rightarrow$ $p_5$ und $p_6$ können sich nicht schneiden.