Allgemeine Normalform: $f(x)=x^2+px+qf(x)=x^2+px+q$

Setze jeweils die Punkte $AA$ und $BB$ in die Gleichung ein.

(I) Punkt $AA$: $0={\mathrm{1,5}}^2+\mathrm{1,5}p+q0=1\{,\}5^2+1\{,\}5p+q$

(II) Punkt $BB$: $0=6^2+6p+q0=6^2+6p+q$

$\mathrm{2,25}+\mathrm{1,5}p+q=36+6p+q2\{,\}25+1\{,\}5p+q=36+6p+q$

$-\mathrm{33,75}=\mathrm{4,5}p-33\{,\}75=4\{,\}5p$

$p=-\mathrm{7,5}p=-7\{,\}5$

Setze $pp$ z.B in (II) ein.

$0=6^2+6\cdot (-\mathrm{7,5})+q0=6^2+6\backslash cdot\; (-7\{,\}5)+q$

$0=36-45+q0=36-45+q$

$q=9q=9$

$p_1:y=x^2-\mathrm{7,5}x+9p\_1:\; y=x^2-7\{,\}5x+9$

${\mathrm{p}}_2:\mathrm{y}=-{\mathrm{x}}^2-10\mathrm{x}-22\backslash mathrm\{\{p\_2\}:y\; =\; -x^2-\; 10x\; -\; 22\}$

Scheitelform: $f\left(x\right)=a(x-d{)}^2+ef\backslash left(x\backslash right)=a(x-d)^2+e$

Quadratische Ergänzung:

$f(x)=-(x+5{)}^2+3f(x)=-(x+5)^2+3$

Die Koordinaten des Scheitelpunktes lauten $x=-5x=-5$ und $y=3y=3$.

$S_2(-5\mathrm{\mid }3)S\_2(-5|3)$

$p_3:y=-(x+4{)}^2+9\{p\_3:\; y\; =\; -(x\; +\; 4)^2+\; 9\}$

$p_3:y=-x^2-8x-16+9p\_3:\; y\; =\; -x^2-8x-16+9$

$p_3:y=-(x^2+8x+7)p\_3:\; y\; =\; -(x^2+8x+7)$

$\Rightarrow p_4:y=x^2+8x+7\backslash Rightarrow\; p\_4:\; y\; =\; x^2+8x+7$

$p_3:y=-(x+4{)}^2+9p\_3:\; y=-(x+4)^2+9$

$p_3:y=-x^2-8x-16+9p\_3:\; y=-x^2-8x-16+9$

Setze $y=0y=0$: $0=-x^2-8x-70=-x^2-8x-7$

Mitternachtsformel: $x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}x\_\{1\{,\}2\}=\backslash dfrac\{-b\backslash pm\backslash sqrt\{b^2-4ac\}\}\{2a\}$

$x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{8\pm \sqrt{(-8{)}^2-4\cdot (-1)\cdot (-7)}}{-2}}x\_\{1\{,\}2\}=\backslash dfrac\{8\backslash pm\; \backslash sqrt\{(-8)^2-4\backslash cdot(-1)\backslash cdot\; (-7)\}\}\{-2\}$

$x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{8\pm \sqrt{(64-28)}}{-2}}={\displaystyle \frac{8\pm \sqrt{(36)}}{-2}}x\_\{1\{,\}2\}=\backslash dfrac\{8\backslash pm\; \backslash sqrt\{(64-28)\}\}\{-2\}=\backslash dfrac\{8\backslash pm\; \backslash sqrt\{(36)\}\}\{-2\}$

$x_1=-7x\_1=-7$

$x_2=-1x\_2=-1$

Die Koordinaten der beiden Schnittpunkte lauten: $N_1(-1\mathrm{\mid }0N\_1(-1|0$) und $N_2(-7\mathrm{\mid }0)N\_2(-7|0)$.

Die Funktionsgleichung $p_5:y=x^{2}p\_5:\; y=x^2$ ist eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt $S_5(0\mathrm{\mid }0)S\_5(0|0)$. Die Werte sind immer positiv. Die Parabel verläuft im 1. und 2. Quadranten.

Die Funktionsgleichung $p_6:y=-(x-2{)}^2-3p\_6\; :\; y\; =\; -(x\; -\; 2)^2-\; 3$ ist eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt $S_6(2\mathrm{\mid }-3)S\_6(2|-3)$. Sie verläuft im 3. und 4. Quadraten.

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ $p_{5}p\_5$ und $p_{6}p\_6$ können sich nicht schneiden.