Teil B- Aufgabengruppe II

Die Gerade hat die Form

$f(x)=m \cdot x+t$

$m$ ist die Steigung der Geraden

$t$ ist der Achsenabschnitt der y-Achse

Um die Steigung zu bestimmen gehe z.B. von $3$ drei nach rechts und zwei nach oben, so erreichst du die Gerade. $\Rightarrow$ $m=\dfrac{2}{3}$

$t$ kannst du einfach aus der Zeichnung ablesen. $t=-2$

$\Rightarrow$ $y=\dfrac{2}{3}x-2$

Aus der Steigung $m$ erhält man den Steigungswinkel $α$ mithilfe des Tangens

$m=\tan(\alpha)$

$\tan(\alpha)=\dfrac{2}{3}$ $\Rightarrow$ $\alpha\approx33{,}7$

Die Geradengleichug lautet:

$f(x)=m \cdot x+t$

Gegeben sind die beiden Punkte $A(a_1|a_2)$ und $B(b_1|b_2)$, die auf einer Geraden liegen. Dann ergibt sich die Steigung der Geraden aus

$m=\dfrac{b_2-a_2}{b_1- a_1}$

$m=\dfrac{-2{,}5-5}{1-(-4)}$

$m=\dfrac{-7{,}5}{5}$

$m=-1{,}5$

$\Rightarrow$ $y=-1{,}5x+t$

Um den Achsenabschnitt $t$ zu bestimmen, setze einen beliebigen Punkt, z.B. A(-4|5) in die Geradengleichnung ein.

$5=-1{,}5\cdot (-4)+t$

$5=6+t$

$\Rightarrow t=-1$

$g_2: y=-1{,}5x-1$

Zwei Geraden stehen senkrecht aufeinander, wenn das Produkt ihrer Steigungen $-1$ ergibt.

$m_4 \cdot (-\dfrac{4}{5})=-1$

$m_4=\dfrac{5}{4}$

Für eine Ursprungsgerade gilt: $t=0$

$\Rightarrow$ $g_4: y=\dfrac{5}{4}x$

$g_3: y=-\dfrac{4}{5}x+2$

Für den Schnittpunkt der Geraden mit der $x$-Achse gilt: $y=0$

$0=-\dfrac{4}{5}x+2$

$-2=-\dfrac{4}{5}x$

$x=2{,}5$

$N_3(2{,}5|0)$

$g_3: y=-\dfrac{4}{5}x+2$

$g_3: y=0{,}8x+2$

$g_5: y=1{,}2x-3$

$-0{,}8x+2=1{,}2x-3$

$5=2x$

$x=2{,}5$

Setze $x=2{,}5$ zB. in $g_5$ ein

$y=1{,}2\cdot 2.5-3=3-3=0$

Die beiden Geraden $g_3$ und $g_5$ schneiden sich im Punkt $S(2{,}5|0)$. Der Schnittpunkt liegt also auf der $x$-Achse.

Die Formel für den exponentiellen Zerfall lautet:

$\hspace{40mm}\mathrm{N\left(t\right)=N_0\cdot a^t}$

$\mathrm{N_{0}=10{,}5\ g}$

$\ \ \ \mathrm{a\ =\ 0{,}5\ \quad \text{da es sich hier um die Halbwertzeit handelt}}$

$\ \ \ \ \mathrm{t\ =\frac{28650}{5730}\ =\ 5};\quad$d.h. $28650$ Jahre sind $5$ Halbwertzeiten.

Setze die Werte in die Formel ein.

$\hspace{40mm}\mathrm{N\left(5\right)=10{,}5\ g\cdot 0{,}5^{5}}$

$\hspace{40mm}\mathrm{N\left(5\right)\approx 0{,}33\ g}$

Nach $28650$ Jahren sind noch ca. $\boxed{\mathrm{0{,}33\ g}}$ der Ausgangsmasse vorhanden.

Die Formel für den exponentiellen Zerfall lautet:

$\hspace{40mm}\mathrm{N\left(t\right)=N_0\cdot a^t}$

$\mathrm{N_{t}=0{,}125\ mg}$

$\ \ \ \mathrm{a\ =\ 0{,}5\ \quad \text{da es sich hier um die Halbwertzeit handelt}}$

$\ \ \ \ \mathrm{t\ =\frac{48750}{5730}\ =\ 8{,}5};\quad$d.h. $48750$ Jahre sind $8{,}5$ Halbwertzeiten.

Setze die Werte in die Formel ein.

$\hspace{4.5cm}\mathrm{0{,}125\ mg=N_{0}\cdot 0{,}5^{8{,}5}}$

$\hspace{55mm}\mathrm{N_{0}=\dfrac{0{,}125\ mg}{0{,}5^{8{,}5}}}$

$\hspace{55mm}\mathrm{N_{0}\approx45{,}25\ mg}$

Die Masse des ursprünglich vorhandenen Kohlenstoffisotops $\mathrm{C14}$ betrug ca.:

$\hspace{50mm}\boxed{\mathrm{45{,}25\ mg}}$$\$

Die Formel für den exponentiellen Zerfall lautet:

$\hspace{40mm}\mathrm{N\left(t\right)=N_0\cdot a^t}$

Wir wissen, dass $\mathrm{N_t\ =0{,}63\cdot N_0}$ ist. Mit $\mathrm{a=0{,}5}$ ist also:

Berechne $\text{t}$ mit Hilfe des Logarithmus.

$\hspace{4.5cm}\mathrm{log_{0{,}5}(0{,}63)\ =\ t}$

$\hspace{4.5cm}\mathrm{t\ =\ \dfrac{\lg0{,}63}{\lg0{,}5}\ \Rightarrow\ t\ =\ \dfrac{-0{,}200}{-0{,}301}\ \Rightarrow\ t\approx\ 0{,}67}$

$\text{t}\$entspricht ungefähr $0{,}67$ Halbwertszeiten, um die Jahre zu erhalten, multipliziere $0{,}67$ mit $5730$, da die Halbwertszeit $5730$ Jahre entspricht.

$\mathrm{0{,}67\cdot 5730\ Jahre\ =\ 3839\ Jahre}$

Das Alter des Knochens beträgt ca. $\boxed{3839}$ Jahre.

$V=\dfrac43 \cdot \pi \cdot r^3$

$r=1cm-0{,}15cm=0{,}85cm$

$V_{Nougat}=\dfrac43 \cdot \pi \cdot 0{,}85^3$

$V_{Nougat}=\dfrac43 \cdot 3{,}14 \cdot 0{,}85^3\approx 2{,}57$

Nougatvolumen einer Kugel: $2{,}57cm^3$.

Nougatvolumen von 80 Kugeln: $2{,}57cm^3\cdot80=205{,}60cm^3$.

Nougatmasse von 80 Kugeln: $m= 205{,}60\cdot 0{,}6g=123{,}36g$

$V_{Kugel}=\frac43 \cdot \pi \cdot 1^3\approx 4{,}19$

$V_{Nougat}=\dfrac43 \cdot 3{,}14 \cdot 0{,}85^3\approx 2{,}57$

$V_{weiße Schokolade}=4{,}19-2{,}57=1{,}62$

$V_{weiße Schokolade 80 Kugeln}=80\cdot 1{,}62=129{,}6$

Für 80 Kugeln werden $129{,}6cm^3$ weiße Schokolade benötigt.

$O_{{Kugel}}=4\cdot\pi \cdot r^2$

$O_{{weiße Kugel}}=4\cdot\pi \cdot 0{,}85^2\approx 9{,}07$

Die zu bestreichende Oberfläche hat $9{,}07cm^2$.

Allgemeine Normalform: $f(x)=x^2+px+q$

Setze jeweils die Punkte $A$ und $B$ in die Gleichung ein.

(I) Punkt $A$: $0=1{,}5^2+1{,}5p+q$

(II) Punkt $B$: $0=6^2+6p+q$

$2{,}25+1{,}5p+q=36+6p+q$

$-33{,}75=4{,}5p$

$p=-7{,}5$

Setze $p$ z.B in (II) ein.

$0=6^2+6\cdot (-7{,}5)+q$

$0=36-45+q$

$q=9$

$p_1: y=x^2-7{,}5x+9$

$\mathrm{{p_2}:y = −x^2− 10x − 22}$

Scheitelform: $f\left(x\right)=a(x-d)^2+e$

Quadratische Ergänzung:

$f(x)=-(x+5)^2+3$

Die Koordinaten des Scheitelpunktes lauten $x=-5$ und $y=3$.

$S_2(-5|3)$

${p_3: y = −(x + 4)^2+ 9}$

$p_3: y = −x^2-8x-16+9$

$p_3: y = −(x^2+8x+7)$

$\Rightarrow p_4: y = x^2+8x+7$

$p_3: y=-(x+4)^2+9$

$p_3: y=-x^2-8x-16+9$

Setze $y=0$: $0=-x^2-8x-7$

Mitternachtsformel: $x_{1{,}2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x_{1{,}2}=\dfrac{8\pm \sqrt{(-8)^2-4\cdot(-1)\cdot (-7)}}{-2}$

$x_{1{,}2}=\dfrac{8\pm \sqrt{(64-28)}}{-2}=\dfrac{8\pm \sqrt{(36)}}{-2}$

$x_1=-7$

$x_2=-1$

Die Koordinaten der beiden Schnittpunkte lauten: $N_1(-1|0$) und $N_2(-7|0)$.

Die Funktionsgleichung $p_5: y=x^2$ ist eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt $S_5(0|0)$. Die Werte sind immer positiv. Die Parabel verläuft im 1. und 2. Quadranten.

Die Funktionsgleichung $p_6 : y = −(x − 2)^2− 3$ ist eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt $S_6(2|-3)$. Sie verläuft im 3. und 4. Quadraten.

$\Rightarrow$ $p_5$ und $p_6$ können sich nicht schneiden.

Berechnen der Wahrscheinlichkeit, dass beim Verkauf der ersten beiden Eintrittskarten genau eine Gewinnerkarte verkauft wird.

$\mathrm{P(G)=\dfrac{2}{500}\cdot\dfrac{498}{499}+\dfrac{498}{500}\cdot\dfrac{2}{499}=\dfrac{498}{62375}}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass beim Verkauf der ersten beiden Eintrittskarten genau eine Gewinnerkarte verkauft wird, beträgt:

$\hspace{40mm} \dfrac{498}{62375}$ oder $\approx 0{,}8\ \%$

Berechnen der Wahrscheinlichkeit, dass beim Verkauf der nächsten drei Karten beide Gewinnerkarten dabei sind.

$\mathrm{P(2G)=\dfrac{2}{300}\cdot\dfrac{1}{299}\cdot\dfrac{298}{298}+\dfrac{2}{300}\cdot\dfrac{298}{299}\cdot\dfrac{1}{298}+\dfrac{298}{300}\cdot\dfrac{2}{299}\cdot\dfrac{1}{298}=\dfrac{1}{14950}}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass beim Verkauf der nächsten drei Karten beide Gewinnerkarten dabei sind, beträgt:

$\hspace{40mm} \dfrac{1}{14950}$ oder$\ \approx0{,}007\ \%$

Berechnen der Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten für die Auswahl der ersten drei Städte:

$10\cdot9\cdot8=720$

Es gibt $\boxed{720}$ Kombinationsmöglichkeiten für die Auswahl der ersten drei Städte.