Teil 2 - lernen mit Serlo!

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Niedersächsisches Kultusministerium (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen

Die Abbildung zeigt einen Würfel mit der Kantenlänge $a = 4 ~\text{cm}$ .

Berechne die Länge der Flächendiagonalen d in der Grundfläche des

Würfels. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras

Rechtwinkliges Dreieck

Von oben gesehen liegen $d$ und $a$ in einem rechtwinkligen Dreieck (auf der Grundseite).

Länge von $d$

Mit dem Satz des Pythagoras gilt:

$\displaystyle d^2$	$=$	$\displaystyle a^2+a^2$
	$=$	$\displaystyle 4^2+4^2$
	$=$	$\displaystyle 32$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle d$	$=$	$\displaystyle \sqrt{32}$
	$=$	$\displaystyle 5{,}656...$
	$≈$	$\displaystyle 5{,}66$

Die Diagonale hat etwa die Länge $d=5{,}66~\text{cm}$ .

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Bestimme das rechtwinklige Dreieck, in dem $d$ und $a$ enthalten sind.
Berechne $d$ mit dem Satz des Pythagoras.

Berechne die Größe des Winkels α. (3 BE)

(Solltest du Teilaufgabe a) nicht gelöst haben, rechne mit $d = 7{,}07 ~\text{cm}$ weiter.)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens

Rechtwinkliges Dreieck

Das graue Dreieck aus der Skizze der Aufgabenstellung enthält $\alpha,d$ und $a$ .

Hier sind:

$d$ die Ankathete
$a$ die Gegenkathete

Wert von $\alpha$

$\displaystyle \tan\alpha$	$=$	$\displaystyle \frac{a}{d}$
	↓	Einsetzen
	$=$	$\displaystyle \frac{4}{5{,}66}$	$\displaystyle \tan^{-1}\left(\right)$
	↓	Nach $\alpha$ auflösen
$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle \tan^{-1}\left(\frac{4}{5{,}66}\right)$
	$=$	$\displaystyle 35{,}249...$
	$≈$	$\displaystyle 35{,}25$

$\alpha$ ist etwa $35{,}25°$ groß.

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Bestimme das rechtwinklige Dreieck, in dem $\alpha$ , $d$ und $a$ enthalten sind.
Berechne den Winkel $\alpha$ mit der geeigneten Winkelfunktion.

Zeige mithilfe einer Rechnung, dass die Länge der Raumdiagonalen e mit der Formel $e=\sqrt{3}\cdot a$ berechnet werden kann. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras

Länge von $d^2$

Mit dem Satz des Pythagoras gilt:

$\displaystyle d^2$	$=$	$\displaystyle a^2+a^2$
	$=$	$\displaystyle 2a^2$

Länge von $e$

Mit dem Satz des Pythagoras gilt:

$\displaystyle e^2$	$=$	$\displaystyle d^2+a^2$
	↓	$d^2$ von oben einsetzen
	$=$	$\displaystyle 2a^2+a^2$
	$=$	$\displaystyle 3a^2$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle e$	$=$	$\displaystyle \sqrt{3a^2}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{3}\cdot a^{ }$

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Bestimme die Länge von $d^2$ in Abhängigkeit von $a$ .
Bestimme die Länge der Raumdiagonalen $e$ mithilfe von $d^2$ und $a^2$ .

Verwende den Satz des Pythagoras.

Rechtwinkliges Dreieck

Länge von ddd

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Rechtwinkliges Dreieck

Wert von α\alphaα

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Länge von d2d^2d2

Länge von eee

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Länge von $d$

Wert von $\alpha$

Länge von $d^2$

Länge von $e$