Teil 2

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Aufgaben des Teil 2 der Realschulprüfung 2021. Zum Download hier.

Berechne die Länge der Seite x. (2 BE)

Die Abbildung zeigt einen Würfel mit der Kantenlänge $a = 4 ~\text{cm}$ .

Berechne die Länge der Flächendiagonalen d in der Grundfläche des

Würfels. (2 BE)

Berechne die Größe des Winkels α. (3 BE)

(Solltest du Teilaufgabe a) nicht gelöst haben, rechne mit $d = 7{,}07 ~\text{cm}$ weiter.)

Zeige mithilfe einer Rechnung, dass die Länge der Raumdiagonalen e mit der Formel $e=\sqrt{3}\cdot a$ berechnet werden kann. (2 BE)

Erik bestimmt mit einem Peildreieck die Höhe eines Baumes. Er steht 22,70 m vom Baum entfernt und hält die Unterkante des Peildreiecks in einer Höhe von 1,60 m.

Übertrage die fehlenden Größen in die Skizze. (1 BE)
(Skizze nicht maßstäblich)
Lösung
$1{,}6~\text{m}$ ist die Höhe des Kopfes links
$22{,}7~\text{m}$ ist der Abstand zum Baum
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Berechne die Höhe des Baumes. (3 BE)

Leonie will ein zweites Dreieck zeichnen.
Es soll zum abgebildeten Dreieck ähnlich sein.
Ergänze Leonies Satz. (1 BE)
„Wenn ich die Seite a verdopple, dann muss ich
$\underline{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}$ ,
damit die Dreiecke ähnlich sind."

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ähnlichkeit
Eine Möglichkeit für Leonies Satz kann sein:
„Wenn ich die Seite a verdopple, dann muss ich
$\color{blue}\text{die anderen Seiten auch verdoppeln}$ ,
damit die Dreiecke ähnlich sind."
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Mustafa möchte eine Kugelbahn bauen. Er hat

den abgebildeten Baustein hergestellt.

Nenne den Fachbegriff für den geometrischen Körper. (1 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prisma
Der dargestellte Körper ist ein Prisma.
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Berechne das Volumen des Bausteins. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenberechnung
Grundfläche $G$
Skizze aus Aufgabenstellung
Die Grundseite ist ein Dreieck mit den Maßen:
$g=15~\text{cm}$
$h=12~\text{cm}$
$A=\frac12\cdot 15\cdot 12=90$
Die Grundfläche ist $90~\text{cm}^2$ groß.
Volumen des Prismas
Mit der Formel für das Volumen gilt:
$\displaystyle V$ $=$ $\displaystyle G\cdot h$
$=$ $\displaystyle 90\cdot17$
$=$ $\displaystyle 1530$
Das Volumen des Prismas ist $V=1530~\text{cm}^3$ .
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Berechne die Fläche der Grundseite $G$ .
Berechne das Volumen mit der Formel $V=G\cdot h$ .

Aus dem Baustein höhlt Mustafa einen Tunnel für die Kugelbahn aus.

Mustafa bemalt die Vorderseite des Bausteins dunkelgrau. (3 BE)

Berechne den Flächeninhalt der vorderen Fläche des Bausteins.

Mustafa streicht die Wand des Tunnels.

Berechne den Flächeninhalt der zu streichenden Fläche. (2 BE)

Eine Kugel mit V = 15,59 cm³ soll durch den Tunnel gerollt werden.

Überprüfe, ob die Kugel durch den Tunnel passt. (3 BE)

In dem Koordinatensystem ist der Graph der linearen Funktion $y_1$ abgebildet.

Kreuze die passende Funktionsgleichung an. (1 BE)
- $y_1=2x+2$
- $y_1=-2x+2$
- $y_1=2x-2$
- $y_1=-2x-2$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Der y-Achsenabschnitt ist $b=2$
Die Steigung beträgt $m=-2$
Die richtige Gerade ist gegeben durch: $y=-2x+2$
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Lies den y-Achsenabschnitt ab aus der Skizze.
Lies die Steigung der Geraden ab.
Wähle die richtige Funktionsgleichung aus.

Eine weitere lineare Funktion mit der Gleichung $y_2=\frac{1}{2}x-3$ ist gegeben.

Gib die Koordinaten des Schnittpunktes der Funktionen $y_1$ und $y_2$ an. (3 BE)

Überprüfe mithilfe einer Rechnung, ob der Punkt P(–8|–7) auf dem Graphen der Funktion $y_2$ liegt. (3 BE)

Löse die quadratische Gleichung $x^2+14x+24=0$ . (3 BE)

In der Lösungsformel für quadratische Gleichungen fehlt eine Zahl für die Variable $q$ .

\displaystyle x_{1/2}=-\frac{6}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{6}{2}\right)^2-q}

Gib eine Zahl für $q$ an, sodass die Lösungsformel genau ein Ergebnis hat. (1 BE)

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$\displaystyle \tan\left(52°\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{x}{7{,}3}$	$\displaystyle \cdot7{,}3$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \tan\left(52°\right)\cdot7{,}3$
	$=$	$\displaystyle 9{,}343...$
	$≈$	$\displaystyle 9{,}34$

$\displaystyle d^2$	$=$	$\displaystyle a^2+a^2$
	$=$	$\displaystyle 4^2+4^2$
	$=$	$\displaystyle 32$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle d$	$=$	$\displaystyle \sqrt{32}$
	$=$	$\displaystyle 5{,}656...$
	$≈$	$\displaystyle 5{,}66$

$\displaystyle \tan\alpha$	$=$	$\displaystyle \frac{a}{d}$
	↓	Einsetzen
	$=$	$\displaystyle \frac{4}{5{,}66}$	$\displaystyle \tan^{-1}\left(\right)$
	↓	Nach $\alpha$ auflösen
$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle \tan^{-1}\left(\frac{4}{5{,}66}\right)$
	$=$	$\displaystyle 35{,}249...$
	$≈$	$\displaystyle 35{,}25$

$\displaystyle d^2$	$=$	$\displaystyle a^2+a^2$
	$=$	$\displaystyle 2a^2$

$\displaystyle e^2$	$=$	$\displaystyle d^2+a^2$
	↓	$d^2$ von oben einsetzen
	$=$	$\displaystyle 2a^2+a^2$
	$=$	$\displaystyle 3a^2$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle e$	$=$	$\displaystyle \sqrt{3a^2}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{3}\cdot a^{ }$

Teil 2

Bestimmung der gegebenen Seiten

Berechnung von $x$

Rechtwinkliges Dreieck

Länge von $d$

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Rechtwinkliges Dreieck

Wert von $\alpha$

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Länge von $d^2$

Länge von $e$

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Grundfläche $G$

Volumen des Prismas

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Fläche des Halbkreises

Fläche der Vorderseite

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Mantelfläche des Zylinders

Oberfläche der Tunnelwand

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Durchmesser der Kugel

Vergleich mit dem Tunneleingang

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x-Wert des Schnittpunkts

y-Wert des Schnittpunkts

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$\displaystyle \frac{x}{0{,}12}$	$=$	$\displaystyle \frac{22{,}7}{0{,}3}$	$\displaystyle \cdot0{,}12$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{22{,}7}{0{,}3}\cdot0{,}12$
	$=$	$\displaystyle 9{,}08$

$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle G\cdot h$
	$=$	$\displaystyle 90\cdot17$
	$=$	$\displaystyle 1530$

$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\pi\cdot r^2$
	↓	$r=3$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\pi\cdot3^2$
	$=$	$\displaystyle 14{,}137...$
	$≈$	$\displaystyle 14{,}14$

$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle 2\pi\cdot r\cdot h$
	↓	$r=3$ , $h=17$ einsetzen
	$=$	$\displaystyle 2\pi\cdot3\cdot17$
	$=$	$\displaystyle 320{,}442...$
	$≈$	$\displaystyle 320{,}44$

$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{3}\pi\cdot r^3$
	↓	Einsetzen
$\displaystyle 15{,}59$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{3}\pi\cdot r^3$	$\displaystyle \cdot\frac{3}{4}$
$\displaystyle \frac{3}{4}\cdot15{,}59$	$=$	$\displaystyle \pi\cdot r^3$	$\displaystyle :\pi$
$\displaystyle r^3$	$=$	$\displaystyle 3{,}721...$	$\displaystyle \sqrt[3]{}$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle 1{,}549...$

$\displaystyle y_1$	$=$	$\displaystyle y_2$
$\displaystyle -2x+2$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x-3$	$\displaystyle +3$
	↓	Sortiere die Gleichung
$\displaystyle -2x+5$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x$	$\displaystyle +2x$
$\displaystyle 5$	$=$	$\displaystyle 2{,}5\ x$	$\displaystyle :2{,}5$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2$

$\displaystyle y_1$	$=$	$\displaystyle -2x+2$
	↓	x-Wert einsetzen
	$=$	$\displaystyle -2\cdot2+2$
	$=$	$\displaystyle -2$

$\displaystyle y_2$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot x-3$
	↓	x-Wert einsetzen
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\left(-8\right)-3$
	$=$	$\displaystyle -4-3$
	$=$	$\displaystyle -7$

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2+14x+24$
	↓	$p=14$ , $q=24$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Einsetzen
	$=$	$\displaystyle -\frac{14}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{14}{2}\right)^2-24}$
	↓	$7^2=49$
	$=$	$\displaystyle -7\pm\sqrt{49-24}$
	$=$	$\displaystyle -7\pm5$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -12$

$\displaystyle \left(\frac{6}{2}\right)^2-q$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +q$
$\displaystyle q$	$=$	$\displaystyle \left(\frac{6}{2}\right)^2$
	↓	$3^2=9$
	$=$	$\displaystyle 9$

Teil 2

Bestimmung der gegebenen Seiten

Berechnung von xxx

Rechtwinkliges Dreieck

Länge von ddd

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Rechtwinkliges Dreieck

Wert von α\alphaα

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Länge von d2d^2d2

Länge von eee

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Grundfläche GGG

Volumen des Prismas

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Fläche des Halbkreises

Fläche der Vorderseite

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Mantelfläche des Zylinders

Oberfläche der Tunnelwand

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Durchmesser der Kugel

Vergleich mit dem Tunneleingang

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x-Wert des Schnittpunkts

y-Wert des Schnittpunkts

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Berechnung von $x$

Länge von $d$

Wert von $\alpha$

Länge von $d^2$

Länge von $e$

Grundfläche $G$