Teil 2 - lernen mit Serlo!

Die Abbildung zeigt einen Würfel mit der Kantenlänge $a = 4 cm$ .

Berechne die Länge der Flächendiagonalen d in der Grundfläche des
Würfels. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Rechtwinkliges Dreieck
Von oben gesehen liegen $d$ und $a$ in einem rechtwinkligen Dreieck (auf der Grundseite).
Skizze des Würfels von oben
Länge von $d$
Mit dem Satz des Pythagoras gilt:
$d^{2}$ $=$ $a^{2} + a^{2}$
$=$ $4^{2} + 4^{2}$
$=$ $32$ $\sqrt{}$
$d$ $=$ $\sqrt{32}$
$=$ $5,656...$
$\approx$ $5,66$
Die Diagonale hat etwa die Länge $d = 5,66 cm$ .
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Bestimme das rechtwinklige Dreieck, in dem $d$ und $a$ enthalten sind.
Berechne $d$ mit dem Satz des Pythagoras.
Berechne die Größe des Winkels α. (3 BE)
(Solltest du Teilaufgabe a) nicht gelöst haben, rechne mit $d = 7,07 cm$ weiter.)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
Rechtwinkliges Dreieck
Das graue Dreieck aus der Skizze der Aufgabenstellung enthält $α, d$ und $a$ .
Hier sind:
$d$ die Ankathete
$a$ die Gegenkathete
Skizze aus Aufgabenstellung
Wert von $α$
$\tan α$ $=$ $\frac{a}{d}$
↓
Einsetzen
$=$ $\frac{4}{5,66}$ $\tan^{- 1} ()$
↓
Nach $α$ auflösen
$α$ $=$ $\tan^{- 1} (\frac{4}{5,66})$
$=$ $35,249...$
$\approx$ $35,25$
$α$ ist etwa $35,25 °$ groß.
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Bestimme das rechtwinklige Dreieck, in dem $α$ , $d$ und $a$ enthalten sind.
Berechne den Winkel $α$ mit der geeigneten Winkelfunktion.
Zeige mithilfe einer Rechnung, dass die Länge der Raumdiagonalen e mit der Formel $e = \sqrt{3} \cdot a$ berechnet werden kann. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Länge von $d^{2}$
Mit dem Satz des Pythagoras gilt:
$d^{2}$ $=$ $a^{2} + a^{2}$
$=$ $2 a^{2}$
Länge von $e$
Mit dem Satz des Pythagoras gilt:
$e^{2}$ $=$ $d^{2} + a^{2}$
↓
$d^{2}$ von oben einsetzen
$=$ $2 a^{2} + a^{2}$
$=$ $3 a^{2}$ $\sqrt{}$
$e$ $=$ $\sqrt{3 a^{2}}$
$=$ $\sqrt{3} \cdot a^{}$
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Bestimme die Länge von $d^{2}$ in Abhängigkeit von $a$ .
Bestimme die Länge der Raumdiagonalen $e$ mithilfe von $d^{2}$ und $a^{2}$ .
Verwende den Satz des Pythagoras.

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das?

$d^{2}$	$=$	$a^{2} + a^{2}$
	$=$	$4^{2} + 4^{2}$
	$=$	$32$	$\sqrt{}$
$d$	$=$	$\sqrt{32}$
	$=$	$5,656...$
	$\approx$	$5,66$

$\tan α$	$=$	$\frac{a}{d}$
	↓	Einsetzen
	$=$	$\frac{4}{5,66}$	$\tan^{- 1} ()$
	↓	Nach $α$ auflösen
$α$	$=$	$\tan^{- 1} (\frac{4}{5,66})$
	$=$	$35,249...$
	$\approx$	$35,25$

$e^{2}$	$=$	$d^{2} + a^{2}$
	↓	$d^{2}$ von oben einsetzen
	$=$	$2 a^{2} + a^{2}$
	$=$	$3 a^{2}$	$\sqrt{}$
$e$	$=$	$\sqrt{3 a^{2}}$
	$=$	$\sqrt{3} \cdot a^{}$

Rechtwinkliges Dreieck

Länge von d

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Rechtwinkliges Dreieck

Wert von α

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Länge von d2

Länge von e

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Länge von $d$

Wert von $α$

Länge von $d^{2}$

Länge von $e$