Pflichtteil - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1

Für eine Funktion $h$ gilt: $h^{'} (x) = x^{2} - 2 x - 24$ .
Bestimmen Sie die Extremstellen des Graphen von $h$ . (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Ableitung $0$ setzen und Extremstellen bestimmen
$h^{'} (x)$ $=$ $x^{2} - 2 x - 24$
↓
0 setzen
$0$ $=$ $x^{2} - 2 x - 24$
↓
Lösen mit $p q$ -Formel.
$x_{1,2}$ $=$ $- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
↓
$p = - 2, q = - 24$
$=$ $- \frac{(- 2)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 2}{2})}^{2} - (- 24)}$
↓
Zusammenfassen
$=$ $1 \pm \sqrt{1 + 24}$
$=$ $1 \pm 5$
$x_{1}$ $=$ $6$
$x_{2}$ $=$ $- 4$
Die Extremstellen sind $x_{1} = 6$ und $x_{2} = - 4$ . Achte darauf, dass hier nicht nach den Extrempunkten gesucht ist. Die y-Koordinate kann ohne Weiteres auch nicht bestimmt werden.
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Setze die Ableitung $h^{'} (x)$ gleich 0.
Bestimme mithilfe dieser Gleichung die Stellen $x_{1,2}$ .
Eine ganzrationale Funktion $f$ hat die Nullstellen 1, 2 und -3.
Für $f$ gilt außerdem: $\lim_{x \to \infty} f (x) \to - \infty$ und $\lim_{x \to - \infty} f (x) \to - \infty$
Geben Sie eine Funktionsgleichung für $f$ an. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vielfachheit von Nullstellen
Funktionsterm in Nullstellenform/Produktform
Die Nullstellen können direkt in den Funktionsterm übersetzt werden:
$f (x) = a \cdot (x - 1)^{k_{1}} \cdot (x - 2)^{k_{2}} \cdot (x + 3)^{k_{3}}$
Anpassung des Funktionsterms
Die Funktion verläuft nach der Aufgabenstellung so: Sie kommt von unten und geht nach unten. Das bedeutet:
Der Grad der Funktion ist gerade.
Der Leitkoeffizient hat ein negatives Vorzeichen.
Eine mögliche Lösung wäre also:
$f (x) = - (x - 1)^{2} \cdot (x - 2) \cdot (x + 3)$
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Stelle den Funktionsterm in der Nullstellenform/Produktform auf.
Untersuche die Grenzwerte der Funktion und
passe das Vorzeichen an
passe die Vielfachheit der Nullstellen an

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das?

$h^{'} (x)$	$=$	$x^{2} - 2 x - 24$
	↓	0 setzen
$0$	$=$	$x^{2} - 2 x - 24$
	↓	Lösen mit $p q$ -Formel.
$x_{1,2}$	$=$	$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
	↓	$p = - 2, q = - 24$
	$=$	$- \frac{(- 2)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 2}{2})}^{2} - (- 24)}$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$1 \pm \sqrt{1 + 24}$
	$=$	$1 \pm 5$
$x_{1}$	$=$	$6$
$x_{2}$	$=$	$- 4$

Aufgabe 1

Ableitung 0 setzen und Extremstellen bestimmen

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Funktionsterm in Nullstellenform/Produktform

Anpassung des Funktionsterms

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Ableitung $0$ setzen und Extremstellen bestimmen